Nombres complexes

Pour déterminer le module et un argument d'une somme complexe du type $1+e^{i\theta }$ ou $1+\cos \theta +i\sin \theta$, factoriser par l'angle moitié $e^{i\theta /2}$. De même, pour des expressions rationnelles en $\tan \alpha$, factoriser par $1+{\tan }^2\alpha$ pour faire apparaître $\cos 2\alpha$ et $\sin 2\alpha$.

Déclencheur : présence de $1+e^{i\theta }$, de $1+\cos \theta +i\sin \theta$, ou d'expressions polynomiales en $\tan \alpha$ dont on cherche le module ou l'argument.

Instances :
(i) $1+e^{i\theta }=2\cos (\theta /2)e^{i\theta /2}$ : fait apparaître directement le module $2\cos (\theta /2)$ et l'argument $\theta /2$ sous réserve que $\cos (\theta /2)>0$ ;
(ii) $(1+e^{i\theta }{)}^n=2^n{\cos }^n(\theta /2)e^{in\theta /2}$ : simplifie les calculs de puissances et de sommes binomiales complexes ;
(iii) $1-{\tan }^2\alpha +2i\tan \alpha =(1+{\tan }^2\alpha )(\cos 2\alpha +i\sin 2\alpha )$ : transforme directement l'expression sous la forme exponentielle $(1+{\tan }^2\alpha )e^{2i\alpha }$.