Mécanique

Vitesse et accélération s'obtiennent par dérivation temporelle du vecteur position. En cartésien, chaque dérivation fait sortir un facteur $\omega$ (ou $1/\tau$) que les propositions fausses oublient ; en polaires, on mobilise directement les composantes du cours au lieu de tout reprojeter.

Déclencheur : une question demandant $\mathbf{v}$, $\mathbf{a}$, leur norme, ou le moment cinétique à partir d'équations horaires.

Geste : en cartésien, dériver composante par composante ; en polaires, écrire $v_r=\dot{r}$, $v_{\theta }=r\dot{\theta }$, $a_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2$, $a_{\theta }=r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }$, et $\mathbf{L}=m{r}^2\dot{\theta }{\mathbf{e}}_z$.

Instances :
(i) Facteur $\omega$ à chaque dérivation : dériver $R[\omega t-\sin (\omega t)]$ donne $R\omega [1-\cos (\omega t)]$, une dérivation de plus donne $R{\omega }^2\sin (\omega t)$ ; une proposition sans le bon facteur $\omega$ est fausse ;
(ii) Signe de la composante radiale : sur une spirale rentrante $r=r_0{e}^{-t/\tau }$, $\theta =\Omega t$, $v_r=\dot{r}=-\frac{r_0}{\tau }{e}^{-t/\tau }<0$, et $v_{\theta }=r_0\Omega e^{-t/\tau }$ garde l'exponentielle ;
(iii) Norme et interprétation : $v=\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}$ après simplification de $[1-\cos {]}^2+{\sin }^2=2[1-\cos ]$, et le centre d'une roue qui roule avance en ligne droite de $x_C=R\omega t$.