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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2007

2007

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
On désigne par $j$ le nombre complexe $e^{2 iπ /3}$ . On considère le système $(E)$ $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = a x + j y + j^{2} z = b x + j^{2} y + j z = c$ où $a$ , $b$ , $c$ désignent trois nombres complexes donnés.
Le nombre complexe $j$ vérifie
A $j^{2} = 1$
B $j^{3} - 1 = 0$
C $1 + j + j^{2} = 0$
Nombres complexes
Les nombres complexes $x$ , $y$ et $z$ vérifiant le système $(E)$ sont tels que
A $3 y + (x + z) (1 + j + j^{2}) = a + b j^{2} + c j$
Nombres complexes
Le système $(E)$
An'admet pas de solution
Badmet au moins deux solutions
Cadmet une solution unique $x = (a + b + c) /3$ $y = (a + b j^{2} + c j) /3$ $z = (a + bj + c j^{2}) /3$
Nombres complexes
Une condition nécessaire et suffisante pour que $x$ , $y$ , $z$ vérifiant le système $(E)$ soient des nombres réels est
A $a$ , $b$ , $c$ réels
B $a$ , $b$ , $c$ complexes non réels
C $a$ réel et $b = c = 0$
Nombres complexes
Partie II
$n$ étant un entier naturel et $α$ un nombre réel non nul on pose $u_{n} = \int_{0}^{π} e^{α x} cos n x d x et v_{n} = \int_{0}^{π} e^{α x} sin n x d x$
$u_{n}$ vérifie pour tout $n$ entier naturel
A $u_{n} = (1/ α n) [e^{α x} sin n x]_{0}^{π}$ pour $n$ entier strictement positif et $u_{0} = (e^{α π} - 1) / α$
Intégration
$v_{n}$ satisfait, pour tout $n$ entier naturel non nul
A $v_{n} = (1/ α n) [- e^{α x} cos n x]_{0}^{π}$
Intégration
La valeur absolue de $u_{n}$ est, pour tout $n$ entier naturel, majorée par (propositions A et B), et celle de $v_{n}$ est majorée par (propositions C et D)
A $∣ α ∣/ (n^{2} + α^{2})$
Intégration
La suite $(v_{2 k})$ , $k$ entier strictement positif, est équivalente à la suite de terme général
A $(1 - e^{α π}) / (2 k)$
B $(1 + e^{α π}) / k$
Intégration
Ales suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ne peuvent être convergentes car elles ne sont pas de signe constant
Bles suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent car toute suite majorée est convergente
Suites et séries numériques
Partie III
On considère les fonctions $φ_{1}$ qui à $u$ élément du segment $I = [0, π /2]$ associe $φ_{1} (u) = 1/ (x^{2} (cos u)^{2} + (sin u)^{2})$ et $φ_{2}$ qui à $u$ élément du segment $I$ associe $φ_{2} (u) = (sin u) / (x^{2} (cos u)^{2} + (sin u)^{2})$ , $x$ étant un paramètre réel.
La fonction $φ_{1}$
Aest définie sur $I$ pour tout $x$ réel
Best définie sur $I$ pour tout $x$ réel positif ou nul
Cest définie et continue sur $I$ pour $x$ réel strictement positif
Dest continue sur $I$ uniquement pour $x$ réel strictement positif
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $φ_{2}$
Aest dérivable sur $I$ pour tout $x$ réel non nul
Best dérivable sur $I$ pour tout $x$ réel
Cest dérivable sur $] 0, π /2]$ pour tout $x$ réel et a pour dérivée $φ_{2}^{'} (u) = (x^{2} (cos u)^{3} + 2 (x^{2} - 1/2) (cos u) (sin u)^{2}) / (x^{2} (cos u)^{2} + (sin u)^{2})^{2}$
Fonctions, limites et développements limités
Les intégrales $\int_{0}^{π /2} φ_{1} (u) d u$ et $\int_{0}^{π /2} φ_{2} (u) d u$
Intégration
La fonction $F$ définie par $F (X) = \int_{0}^{X} (1/ (1 + t^{2})) d t$
An'est pas définie sur $R$
Intégration
On pose $J (x) = \int_{0}^{π /2} φ_{1} (u) d u$ et $K (x) = \int_{0}^{π /2} φ_{2} (u) d u$ , $x$ appartenant à $] 0, 1 [$ . On obtient en utilisant les changements de variable $t = (tan u) / x$ et $v = cos u$
Intégration
On rappelle que, pour $x$ appartenant à $] 0, 1 [$ , $K (x) = \int_{0}^{π /2} φ_{2} (u) d u$ (question 14). La fonction $K (x)$ est équivalente au voisinage de 0 à la fonction
Fonctions, limites et développements limités
On considère l'application $f$ définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = x \int_{0}^{π /2} u φ_{1} (u) d u$ . La fonction $f$ vérifie
Intégration
La fonction $h$ définie sur $R$ par $h (u) = u - (π sin u) /2$ vérifie
A $h$ est indéfiniment dérivable sur $R$
B $h$ est dérivable mais n'est pas deux fois dérivable sur $R$
C $h$ est positive sur $[0, π /2]$ car $h^{'}$ est strictement positive sur ce segment
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que, pour $x$ appartenant à $] 0, 1 [$ , $K (x) = \int_{0}^{π /2} φ_{2} (u) d u$ (question 14), et que $f$ est l'application définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = x \int_{0}^{π /2} u φ_{1} (u) d u$ (question 16). On a pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0, 1 [$
Intégration
On rappelle que $f$ est l'application définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = x \int_{0}^{π /2} u φ_{1} (u) d u$ (question 16). Lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , $f (x)$ a pour limite, si elle existe,
Intégration
Soit $g$ la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $g (x) = \int_{0}^{π /2} (u / (x (cos u)^{2} + (sin u)^{2})) d u$ . $x$ désignant un réel strictement positif et $k$ un réel tel que $0 < ∣ k ∣ < x /2$ , on pose, pour tout $u$ appartenant au segment $I$ $P = x (cos u)^{2} + (sin u)^{2}$ et $Q = k (cos u)^{2}$ . On a
Intégration
On rappelle que $f$ est l'application définie sur $] 0, + \infty [$ par $f (x) = x \int_{0}^{π /2} u φ_{1} (u) d u$ (question 16), et que $g$ est la fonction définie sur $] 0, + \infty [$ par $g (x) = \int_{0}^{π /2} (u / (x (cos u)^{2} + (sin u)^{2})) d u$ (question 20). On a
Intégration
Partie IV
Dans l'espace vectoriel $F$ des fonctions réelles définies et indéfiniment dérivables sur $R$ , on considère l'ensemble $E$ des fonctions de la forme $P (x) ch x + Q (x) sh x$ où $P$ et $Q$ sont deux fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On désigne par $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ , $f_{5}$ , $f_{6}$ les fonctions définies sur $R$ par $f_{1} (x) = ch x$ , $f_{2} (x) = sh x$ , $f_{3} (x) = x ch x$ , $f_{4} (x) = x sh x$ , $f_{5} (x) = x^{2} ch x$ , $f_{6} (x) = x^{2} sh x$ .
L'ensemble $E$
Aest un anneau
Best un sous-espace vectoriel de $F$
Cn'est pas un sous-espace vectoriel de $F$
Dgroupe pour la loi de multiplication des fonctions
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
On pose $f (x) = (λ_{1} + λ_{2} x + λ_{3} x^{2}) ch x + (μ_{1} + μ_{2} x + μ_{3} x^{2}) e^{x}$
Algèbre linéaire et matrices
La famille des six fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ , $f_{5}$ , $f_{6}$
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$
A $D$ est une application linéaire de $E$ dans $F$ mais n'est pas un endomorphisme de $E$
B $D$ n'est pas un endomorphisme de $F$
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . La matrice de $D$ dans une base de $E$ constituée à l'aide des fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ , $f_{5}$ , $f_{6}$ est
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . L'application $D$
Aréalise une bijection de $E$ sur lui-même
Bne réalise pas une bijection de $E$ sur lui-même car elle n'est pas injective
Cne réalise pas une bijection de $F$ sur lui-même car $D (f + k) = D (f)$ avec $k$ est une fonction constante donnée
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . On note $i d$ l'application identique de $F$ dans lui-même.
Al'image de $E$ par l'application $(D^{2} - i d)$ est l'espace vectoriel de dimension 4 engendré par la famille $(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})$
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . On note $i d$ l'application identique de $F$ dans lui-même. Le noyau de l'application $(D^{2} - i d)$
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . On note $i d$ l'application identique de $F$ dans lui-même. Le noyau de l'application $(D^{2} - i d)^{2}$
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . On note $i d$ l'application identique de $F$ dans lui-même. Le noyau de l'application $(D^{2} - i d)^{3}$
Algèbre linéaire et matrices
On note $D$ l'application de $F$ dans $F$ qui à une fonction $f$ associe sa dérivée $f^{'}$ . On note $i d$ l'application identique de $F$ dans lui-même. L'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire $y^{(6)} - 3 y^{(4)} + 3 y^{(2)} - y = 0$
Algèbre linéaire et matrices
Partie V
Soit $n$ un entier positif ou nul, on note $E_{n}$ l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée $X$ à coefficients réels de degré au plus égal à $n$ . Il existe, pour tout $n$ entier naturel, un et un seul polynôme $P_{n}$ appartenant à $E_{n}$ qui vérifie $cos (n x) = P_{n} (cos x) pour tout x r \overset{e}{ˊ} el$
On a pour tout entier $n$ strictement positif
A $P_{n + 1} + P_{n - 1} = X P_{n}$
Polynômes
Ces polynômes vérifient pour tout $n$ , $P_{n}^{'}$ désignant le polynôme dérivé de $P_{n}$ ,
A $P_{n} (0) = 1$ et $P_{n}$ est pair si $n$ est pair
Polynômes
Pour $n > 0$ , lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , la fonction polynôme $P_{n} (x)$ est équivalente à
A $2^{n} x^{n}$
B
Polynômes
Les polynômes $P_{3}$ et $P_{4}$ sont
A $P_{3} = 4 X^{3} - 3 X$ et $P_{4} = 8 X^{4} + 8 X^{2} + 1$
Polynômes

1 - j - j^{2} = 0

EAucune des propositions n'est exacte

3 y + (x + z) (1 + j + j^{2}) = a + b + c

3 y + (x + z) (1 + j + j^{2}) = a + bj + c j^{2}

3 x + (y + z) (1 + j + j^{2}) = a + b j^{2} + c j

EAucune des propositions n'est exacte

Dadmet une solution unique

x = (a + b + c) /3

y = (a + bj + c j^{2}) /3

z = (a + b j^{2} + c j) /3

EAucune des propositions n'est exacte

a

réel et

b

c

complexes conjugués car

j^{2}

(- j)

sont complexes conjugués

EAucune des propositions n'est exacte

u_{n} = (1/ α) [e^{α x} (cos n x - (n / α) sin α x)]_{0}^{π} + (n^{2} / α^{2}) u_{n}

u_{n} = (1/ (n^{2} + α^{2})) [e^{α x} (α cos n x + n sin n x)]_{0}^{π}

u_{n} = (1/ (n^{2} - α^{2})) ((- 1)^{n} e^{α π} α - α)

EAucune des propositions n'est exacte

v_{n} = (1/ α) [e^{α x} (sin n x - (n / α) cos n x)]_{0}^{π} - (n^{2} / α^{2}) v_{n}

v_{n} = (1/ (n^{2} - α^{2})) [e^{α x} (n cos n x - α sin n x)]_{0}^{π}

v_{n} = (1/ (n^{2} + α^{2})) ((- 1)^{n + 1} n e^{α π} + n)

EAucune des propositions n'est exacte

∣ α ∣/ (1 + e^{α π}) /∣ n^{2} - α^{2} ∣

n (1 - e^{α π}) / (n^{2} + α^{2})

(1 + e^{α π}) / (α n)

EAucune des propositions n'est exacte

Cla suite

(u_{n})

converge vers 0

Dla suite

(u_{n})

diverge car la suite de terme général

cos n x

n'admet pas de limite

EAucune des propositions n'est exacte

Da pour dérivée pour tout

u

appartenant

I

et pour tout

x

réel strictement positif

φ_{2}^{'} (u) = (cos u) / (1 - x^{2}) (sin 2 u)

EAucune des propositions n'est exacte

Asont définies pour tout $x$ réel car toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment
Bsont définies pour tout $x$ réel non nul car toute fonction définie sur un segment est intégrable sur ce segment
Csont définies pour $x$ réel strictement positif car toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment
Dsont définies pour tout $x$ réel non nul car toute fonction continue sur un segment est intégrable sur ce segment
EAucune des propositions n'est exacte

Best définie et continue sur

R_{+}

Ca pour limite

π /2

lorsque

X

tend vers

+ \infty

Da pour limite

+ \infty

lorsque

X

tend vers

+ \infty

EAucune des propositions n'est exacte

A $J (x) = \int_{0}^{π /2} x (1 + x^{2} t^{2}) / ((1 + x^{2} t^{2}) (1 + t^{2}) x^{2}) d t$
B $J (x) = \int_{0}^{1} (1/ (1 + t^{2})) d t = π /2$
C $K (x) = \int_{0}^{1} (1/ (x^{2} v^{2} + 1 - v^{2})) d v$
D $K (x) = \int_{0}^{1} (1/ (1 - (1 - x^{2}) v^{2})) d v = (1/ (2 (1 - x^{2})^{1/2})) ln ((1 + (1 - x^{2})^{1/2}) / (1 - (1 - x^{2})^{1/2}))$
EAucune des propositions n'est exacte

A $ln x$
B $- ln x$
C $1/ x$
D $- 2 ln x$
EAucune des propositions n'est exacte

A $f (1) = 0$
B $f (1) = π^{2} /8$
C $f (x) + f (1/ x) = x π^{2} /4$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0, + \infty [$
D $f (x) + f (1/ x) = π^{2} /4$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0, + \infty [$
EAucune des propositions n'est exacte

h

est négative ou nulle sur

[0, π /2]

car

h

est décroissante puis croissante sur ce segment

EAucune des propositions n'est exacte

A $x K (x) π /2 ⩽ f (x)$
B $0 ⩽ f (x) ⩽ x K (x) π /2$
C $x \to 0 lim f (x) = 0$ car $K (x)$ est équivalent à $- 2 ln x$ en 0
D $π /2 ⩽ x \to 0 lim f (x)$
EAucune des propositions n'est exacte

A $+ \infty$
B $- \infty$
C $π^{2} /4$
D $π^{2} /4 - π /2$
EAucune des propositions n'est exacte

A $1/ (P + Q) = (1/ P) - (Q / P^{2}) + (Q^{2} / (P^{2} (P + Q)))$
B $1/ (P + Q) = (1/ P) + (Q / P^{2}) - (Q^{2} / (P^{2} (P + Q)))$
C $((g (x + k) - g (x)) / k) + \int_{0}^{π /2} u (cos u)^{2} / (x (cos u)^{2} + (sin u)^{2})^{2} d u ⩽ ∣ k ∣ \int_{0}^{π /2} u (cos u)^{4} / ((x /2) (cos u)^{2} + (sin u)^{2})^{3} d u$
D $g$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ et a pour dérivée $g^{'} (x) = \int_{0}^{π /2} u (cos u)^{2} / (x (cos u)^{2} + (sin u)^{2})^{2} d u$
EAucune des propositions n'est exacte

A $f (x) = xg (x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0, + \infty [$
B $f (x) = xg (x^{2})$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] 0, + \infty [$
C $f$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ et a pour dérivée $f^{'} (x) = g (x^{2}) + 2 x^{2} g^{'} (x^{2}) = \int_{0}^{π /2} u (3 x^{2} (cos u)^{2} + (sin u)^{2}) / (x^{2} (cos u)^{2} + (sin u)^{2})^{2} d u$
D $f$ n'est pas dérivable sur $] 0, + \infty [$
EAucune des propositions n'est exacte

Ala fonction $f (x) e^{- x}$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ quelque soit les réels $λ_{1}$ , $λ_{2}$ , $λ_{3}$ , $μ_{1}$ , $μ_{2}$ , $μ_{3}$
Bla fonction $f (x) e^{- x}$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ si et seulement si $λ_{1} + μ_{1} = λ_{2} + μ_{2} = λ_{3} + μ_{3} = 0$
Cla fonction $f (x) e^{x}$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $- \infty$ quelque soit les réels $λ_{1}$ , $λ_{2}$ , $λ_{3}$ , $μ_{1}$ , $μ_{2}$ , $μ_{3}$
Dla fonction $f (x) e^{x}$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ si et seulement si $λ_{1} - μ_{1} = λ_{2} - μ_{2} = λ_{3} - μ_{3} = 0$
EAucune des propositions n'est exacte

Aest une famille génératrice et liée de $E$
Best libre mais n'est pas une base de $E$
Cest une base de $E$
Dn'est ni libre ni génératrice dans $E$
EAucune des propositions n'est exacte

D

est un endomorphisme de

E

D

n'est pas une application linéaire

EAucune des propositions n'est exacte

Aune matrice carrée d'ordre 5
Bune matrice carrée d'ordre 6 symétrique réelle
Cune matrice carrée d'ordre 6 antisymétrique réelle
Dune matrice à 5 lignes et 6 colonnes
EAucune des propositions n'est exacte

Dréalise une bijection de

F

sur lui-même

EAucune des propositions n'est exacte

Bl'image de

E

par l'application

(D^{2} - i d)

est un espace vectoriel de dimension 3

Cl'image de

E

par l'application

(D^{2} - i d)^{2}

est un espace vectoriel de dimension 3

Dl'image de

E

par l'application

(D^{2} - i d)^{p}

, pour

p

entier supérieur ou égal à 3 est l'espace réduit au vecteur nul

EAucune des propositions n'est exacte

Aest réduit à l'application nulle car $(D^{2} - i d)$ est une application linéaire injective
Best l'espace des solutions de l'équation différentielle $f^{''} - f = 0$
Cest l'espace des solutions de l'équation différentielle $(f^{'})^{2} - f = 0$
Dest l'espace de dimension 2 engendré par la famille $(f_{1}, f_{2})$
EAucune des propositions n'est exacte

Aest réduit à l'application nulle car $(D^{2} - i d)$ est une application linéaire injective
Best l'espace des solutions de l'équation différentielle $f^{''} - f = 0$
Cest l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle $f^{''} - f = λ ch x + μ sh x$ où $λ$ et $μ$ sont des constantes réelles
Dest l'espace de dimension 4 engendré par la famille $(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})$
EAucune des propositions n'est exacte

Aest l'espace des solutions de l'équation différentielle $f^{''} - f = 0$
Best l'espace de dimension 2 des solutions de l'équation différentielle $f^{''} - f = λ_{1} ch x + μ_{1} sh x + λ_{2} x ch x + μ_{2} x sh x$ où $λ_{1}$ , $λ_{2}$ , $μ_{1}$ , $μ_{2}$ sont des constantes réelles
Cest l'espace de dimension 4 engendré par la famille $(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})$
Dest réduit à l'application nulle car $(D^{2} - i d)$ est une application linéaire injective
EAucune des propositions n'est exacte

Aest égal à $Ker ((D^{2} - i d)^{3})$
Best égal à $Ker ((D^{2} - i d)^{4})$
Cest l'espace vectoriel, de dimension 6, $E$
Dest égal à $Im ((D^{3} - i d)^{2})$
EAucune des propositions n'est exacte

P_{n + 1} - P_{n - 1} = 2 X P_{n}

P_{n} = 0 ⩽ 2 p ⩽ n \sum (- 1)^{p} (p n) X^{n - 2 p} (1 - X^{2})^{p}

P_{n} = 0 ⩽ 2 p ⩽ n \sum (2 p n) X^{n - 2 p} (X^{2} - 1)^{p}

EAucune des propositions n'est exacte

P_{n} (- 1) = 0

P_{n}

est impair si

n

est impair

P_{2 n} (0) = (- 1)^{n}

P_{2 n + 1}^{'} (0) = (- 1)^{n} (2 n + 1)

P_{n} (- 1) = (- 1)^{n}

P_{n}^{'} (- 1) = 0

EAucune des propositions n'est exacte

P_{3} = 4 X^{3} + 3 X

P_{4} = 8 X^{4} - 8 X^{2} + 1

P_{3} = 3 X^{3} - 4 X

P_{4} = 12 X^{4} + 8 X^{2} + 1

P_{3} = 6 X^{3} - 4 X

P_{4} = 12 X^{4} - 8 X^{2} + 1

EAucune des propositions n'est exacte

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