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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2008

2008

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Dans les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?
A $\forall θ \in R, cos 5 θ = 16 cos^{5} θ + 5 cos θ$ .
B $\forall θ \in R, cos 5 θ = 16 cos^{5} θ - 20 cos^{3} θ + 5 cos θ$ .
Trigonométrie
Soit le plan rapporté à un repère orthonormé direct $(O, i, j)$ . On considère alors les points $I (1, 2)$ , $M (2, 3)$ et $M^{'} (3, 3 + 3)$ . La similitude de centre $I$ qui transforme $M$ en $M^{'}$ est alors :
Nombres complexes
Soit $n \in N^{*}$ . On cherche à résoudre $k = 1 \sum n (k n) cos (2 k θ) = 0$ où $θ$ est une inconnue réelle.
Trigonométrie
On considère l'application $f$ qui à tout complexe $z \neq = i$ associe $f (z) = \frac{z + i}{z - i}$ . On note $U = {z \in C, ∣ z ∣ = 1}$ et $i R = {z \in C, Re (z) = 0}$ .
Nombres complexes
On cherche le lieu des points d'affixe $z$ tels que $z$ , $z^{2}$ et $z^{5}$ soient les affixes de trois points alignés. On note $H$ cet ensemble de points et $H_{c}$ l'ensemble de leurs affixes.
A $z \in H_{c} \Leftrightarrow z \in i R$ ou $z^{3} + z^{2} + z$ est imaginaire pur.
Nombres complexes
On considère les suites $(u_{n})_{n ⩾ 2}$ et $(v_{n})_{n ⩾ 2}$ définies par : $\forall n ⩾ 2, u_{n} = k = 2 \prod n cos \frac{π}{2 ^{k}} et v_{n} = u_{n} sin \frac{π}{2 ^{n}}$
Suites et séries numériques
Soit la fonction réelle $f$ de la variable $t$ définie par : $\forall t > 0, f (t) = ln (1 + t) + \frac{t ^{2}}{1 + t ^{2}}$
Fonctions, limites et développements limités
Soit la fonction réelle $f$ de la variable $t$ définie par : $\forall t > 0, f (t) = ln (1 + t) + \frac{t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ En utilisant $f$ définie en question 7), on peut montrer que $\forall n \in N^{*}, \exists! a_{n}, f (a_{n}) = \frac{1}{n}$ .
Suites et séries numériques
On suppose que $f$ est une fonction continue sur $R$ admettant une limite $ℓ$ en $+ \infty$ et $a$ un réel strictement positif.
A $y \mapsto \int_{0}^{y} f (t) d t$ est continue sur $[y, y + a]$ et dérivable sur $] y, y + a [$ , $\forall y \in R$ .
Intégration
On cherche à comparer $e^{x}$ avec son développement limité :
A $\exists θ \in] 0, 1 [, \forall n \in N, e^{x} = k = 0 \sum n + 1 \frac{x ^{k}}{k !} + \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 )!} e^{θ x}$ .
Fonctions, limites et développements limités
Soient $a$ et $b$ deux fonctions réelles à valeurs strictement positives de la variable réelle $x$ et $α \in R$ telles que $a (x) α \sim b (x)$ .
AIl existe une fonction $ϵ$ définie sur un voisinage de $α$ avec $x \to α lim ϵ (x) = 0$ et $ln (a (x)) = ln (b (x)) + ln (1 + ϵ (x))$ .
Fonctions, limites et développements limités
Quelques limites en utilisant des équivalents :
APour $β \neq = 0$ et $α$ réels $x \to 0 lim \frac{ln cos α x}{ln cos β x} = - \frac{α ^{2}}{β ^{2}}$ .
Fonctions, limites et développements limités
Soit la fonction réelle $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $\forall x \neq = 0, f (x) = e^{\frac{x - 1}{x ^{2}}} et f (0) = 0.$
Fonctions, limites et développements limités
Soit la fonction réelle $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $f (x) = e^{\frac{1}{x}} x (x + 2) .$
Fonctions, limites et développements limités
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle réel $[a, b]$ ( $a < b$ ).
A $n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
Intégration
On considère la fonction réelle $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $f (x) = \int_{0}^{x} 3^{- [t]} d t o \overset{u}{ˋ} [t] d \overset{e}{ˊ} signe la partie enti \overset{e}{ˋ} re du r \overset{e}{ˊ} el t .$
Intégration
On cherche à déterminer les fonctions $g$ de classe $C^{1}$ sur $R^{+*}$ et vérifiant : $(P) \forall x > 0, g^{'} (x) = g (\frac{1}{x}) .$
Fonctions, limites et développements limités
Si $c > 0$ , on cherche à résoudre l'équation aux dérivées partielles $(E)$ : $c^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} - \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0$ où $f$ est une fonction de $R^{2}$ à valeurs réelles admettant des dérivées partielles secondes. On posera $u (x, y) = x + cy$ et $v (x, y) = x - cy$ . On notera $g (u, v) = f (x (u, v), y (u, v))$ .
Fonctions, limites et développements limités
On considère le domaine $D = {(x, y) \in R^{2}, x ⩾ 0, y ⩾ 0, x^{2} + y^{2} ⩽ 1 et x^{2} + y^{2} - 2 y > 0}$ dont on veut calculer l'aire $A_{D}$ . Si on note $φ : R^{2} \to R^{2}, (ρ, θ) \mapsto (ρ cos θ, ρ sin θ)$
Intégration
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls et $x$ un entier relatif non nul et non égal à 1. Pour C) et D), on cherche l'ensemble $U$ des entiers relatifs $x$ tels que $\forall n ⩾ 2$ , 6 divise $x^{n} - x$ .
A $\forall n ⩾ 1$ , $x^{n - 1} - 1$ et $x$ sont premiers entre eux en utilisant le théorème de Bézout.
Polynômes
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments ( $n \in N^{*}$ ). On va dénombrer des parties de $E$ , $(X, Y, Z)$ sur lesquelles on posera certaines contraintes :
ALe nombre de couples $(X, Y)$ tels que $X \cap Y = \emptyset$ est $3^{n}$ .
Probabilités et dénombrement
A propos des structures :
AL'ensemble des polynômes de degrés égaux à $n$ ( $n > 1$ ) pour l'addition usuelle des polynômes est un groupe.
BL'ensemble des matrices carrées de taille $n$ ( $n > 1$ ) pour la multiplication usuelle des matrices est un corps.
CL'ensemble des suites convergeant vers 0 pour la multiplication usuelle des suites est un groupe.
DSi $G$ est un groupe pour une loi $T$ donnée et $a \in G$ , l'ensemble $a G = {a T x, x \in G}$ est un groupe pour $T$ .
Algèbre linéaire et matrices
On considère $P$ un polynôme non nul tel que $P (X^{2}) - P (X + 1) P (X) = 0$ .
ASi $a$ est une racine de $P$ , $\forall n \in N^{*}$ , $a^{2 n}$ est encore une racine de $P$ .
Polynômes
Soit $P = k = 0 \sum n a_{k} X^{k}$ avec $\forall k \in [[0, n]], a_{k} \in Z$ .
Polynômes
Les polynômes de Tchebychev $(T_{n})_{n \in N}$ vérifient $T_{n} (cos θ) = cos (n θ)$ , $\forall θ \in R$ .
Polynômes
Racines multiples :
A $\forall n \in N ∖ {0, 1, 2}$ , $P_{n} (X) = k = 0 \sum n \frac{X ^{k}}{k !}$ possède au moins une racine multiple car $P_{n}^{'} = P_{n - 1}$ .
Polynômes
On se place dans $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $R^{*}$ dans $R^{*}$ .
A $\forall n \in N$ , $(1, cos x, cos (2 x), \dots, cos (n x))$ est une famille libre.
Algèbre linéaire et matrices
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ .
ASupposons l'existence d'un $x \in F$ et $x \in / G$ , alors $\forall g \in G$ , $F \cup G$ sous-espace vectoriel de $E ⟹ x + g \in F$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soient $H$ et $K$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $(e_{1}, \dots, e_{k})$ une base de $K$ et $a \in H$ .
Algèbre linéaire et matrices
$E$ est un espace vectoriel de dimension finie. $f \in L (E)$ , ensemble des endomorphismes de $E$ . Les conditions suivantes sont équivalentes à $ker f \oplus Im f = E$ :
A $ker f \subset ker f^{2}$ .
Algèbre linéaire et matrices
$E$ est un espace vectoriel de dimension finie. $f \in L (E)$ , tel que $\exists n \in N ∖ {0, 1}$ , $f \circ f \circ \dots \circ f = f^{n} = 0$ et $f^{n - 1} \neq = 0$ . Pour C) et D), on supposera que $n = dim E$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $(M, N) \in (M_{n} (R))^{2}$ espace vectoriel des matrices carrées de taille $n$ telles que $\forall (i, j) \in [[1, n]]^{2}$ , $M (i, j) = 1$ et $N (i, i) = 3$ , $N (i, j) = 1$ si $i \neq = j$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n \in N$ . On se place dans $R_{n} [X]$ espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ .
A $dim (R_{n} [X]) = n$ .
B
Algèbre linéaire et matrices
Soit $f : M_{n} (R) \to R$ et vérifiant $f (A B) = f (A) f (B)$ , $\forall (A, B) \in (M_{n} (R))^{2}$ . Pour D), on rappelle que si $r = rang (A) < n$ , $\exists J_{r} \in M_{n} (R)$ telle que $J^{n - r} = 0_{n}$ , $(P, Q) \in [M_{n} (R)]^{2}$ inversibles telles que $A = P J_{r} Q$ .
Algèbre linéaire et matrices
$E$ est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 dont une base est $B$ et dont on note le produit scalaire $⟨ ., . ⟩$ . On note $u = (a, b, c)_{B}$ un vecteur normé fixé de $E$ et $a$ un scalaire. On définit $f_{a}$ par $\forall x \in E$ , $f_{a} (x) = x + a ⟨ x, u ⟩ u$ .
Algèbre linéaire et matrices
L'espace $E$ est rapporté à un repère orthonormal $(O, i, j, k)$ . L'espace vectoriel associé $E$ est rapporté à la base $(i, j, k)$ . Soit $D$ la droite de $E$ dont la représentation paramétrique est donné par : $⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 1 - 2 t z = 1 + t$ .
Géométrie

cos \frac{π}{10} = \frac{5 + 5}{8}

cos \frac{π}{10} = \frac{5 - 5}{8}

car

cos \frac{π}{10} ⩽ cos \frac{π}{3}

EAucune des propositions n'est exacte

Ade rapport 2,
Bd'angle $\frac{π}{4}$ ,
Cde rapport $\frac{1}{2}$ ,
Dd'angle $\frac{π}{3}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

ASi $θ$ est solution alors $k = 1 \sum n (k n) sin^{2} (k θ) = 2^{n}$ .
B $k = 1 \sum n (k n) cos (2 k θ) = cos (n θ) (\frac{cos θ}{2})^{n}$ .
CL'ensemble des solutions est ${\frac{π}{n} + \frac{k π}{n}, k \in Z} \cup {\frac{π}{2} + k π, k \in Z}$ .
DIl n'y a pas de solution à cette équation.
EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est une bijection de $C ∖ {i}$ dans $C$ .
B $f (i R) = U$ .
C $f (U) = i R ∖ {i}$ .
D $f (i R) = R$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Im (z^{3} + z^{2} + z) = 3 (Re (z))^{2} - (Im (z))^{2} + 2 Re (z) + 1

H

est une hyperbole équilatère centrée en

(- \frac{1}{3}, 0)

de grand axe parallèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe

\frac{2}{3}

H

contient une hyperbole centrée en

(- \frac{1}{3}, 0)

de grand axe parallèle à l'axe des imaginaires, de demi grand axe

\frac{2}{3}

et dont les asymptotes ont comme coefficients directeurs

3

- 3

EAucune des propositions n'est exacte

A $(u_{n})_{n ⩾ 2}$ est croissante et majorée par 1. Elle converge donc.
B $(v_{n})_{n ⩾ 2}$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .
C $(u_{n})_{n ⩾ 2}$ et $(v_{n})_{n ⩾ 2}$ sont adjacentes.
D $(u_{n})_{n ⩾ 2}$ converge vers $\frac{1}{2}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition, croissante et concave
BLa courbe représentative de $f$ admet une asymptote oblique en $+ \infty$ car $t \to + \infty lim \frac{f ( t )}{t} = 1$ .
C $f$ réalise une bijection de $R^{+}$ sur $R^{+}$ et sa réciproque est dérivable sur $R^{+}$ car $\forall t > 0, f^{'} (t) \neq = 0$ .
D $f$ réalise une bijection de $R^{+}$ sur $R^{+}$ et sa réciproque est dérivable sur $R^{+}$ car toute bijection dérivable admet une réciproque dérivable.
EAucune des propositions n'est exacte

A $(a_{n})_{n \in N^{*}}$ est une suite croissante car $f^{- 1}$ est décroissante et $(\frac{1}{n})_{n \in N^{*}}$ est décroissante
B $(a_{n})_{n \in N^{*}}$ converge vers 0 puisque $f^{- 1}$ est continue en 0.
C $(a_{n})_{n \in N^{*}}$ converge vers 0 puisque $(a_{n})_{n \in N^{*}}$ est une suite décroissante et $\forall n \in N^{*}, a_{n} ⩾ 0$ .
D $a_{n} n \to + \infty \sim \frac{1}{n}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

y \to + \infty lim \int_{y}^{y + a} f (t) d t = a ℓ

X \to + \infty lim \int_{0}^{X} f (t + a) - f (t) d t = \int_{0}^{a} f (t) d t + a ℓ

X \to + \infty lim \int_{0}^{X} Arctan (t + 1) - Arctan t d t = \frac{1}{2} ln 2 - \frac{π}{4}

EAucune des propositions n'est exacte

\forall x \in R, \forall n \in N, e^{x} ⩾ k = 0 \sum 2 n + 1 \frac{x ^{k}}{k !}

\forall x \in R, \forall n \in N, e^{x} ⩾ k = 0 \sum 2 n \frac{x ^{k}}{k !}

\forall x \in R^{-}, \forall n \in N, e^{x} ⩽ k = 0 \sum 2 n \frac{x ^{k}}{k !}

EAucune des propositions n'est exacte

ln (a (x)) α \sim ln (b (x))

ln (1 + \frac{x}{2} + sin^{2} x) 0 \sim ln (1 + x)

car

1 + \frac{x}{2} + sin^{2} x 0 \sim 1 + x

ln (∣ sin x ∣) 0 \sim ln (∣ x ∣)

car

∣ sin x ∣ 0 \sim ∣ x ∣

et que

∣ x ∣ \neq = 1

sur un voisinage de 0.

EAucune des propositions n'est exacte

BPour

β \neq = 0

α

réels

x \to 0 lim \frac{ln cos α x}{ln cos β x} = \frac{α ^{2}}{β ^{2}}

x \to \frac{π}{6} lim (tan \frac{3 x}{2})^{t a n (3 x)} = e^{- 1}

x \to \frac{π}{6} lim (tan \frac{3 x}{2})^{t a n (3 x)} = e

EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est continue sur $R$ , dérivable sur $R^{*}$ , non dérivable en 0.
B $\forall x \in R^{*}, f^{'} (x) = \frac{2 - x}{x ^{3}} e^{\frac{x - 1}{x ^{2}}}$ .
CSur $[1, + \infty [$ , $f$ ne possède qu'un extremum en 2, puisque $f^{'} (x) = 0 ⟹ x = 2$ .
D $f (x) = x$ admet deux et seulement deux solutions sur $R$ car la droite d'équation $y = x$ est tangente à la courbe représentative de $f$ .
EAucune des propositions n'est exacte

AAu voisinage de $+ \infty$ et $- \infty$ on a $x (x + 2) = x (1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{2 x ^{2}} + o (\frac{1}{x ^{2}}))$ .
BEn $+ \infty$ , la courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y = x + 2$ comme asymptote.
CEn $- \infty$ , la courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y = x + 2$ comme asymptote.
DEn $- \infty$ , la courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y = x + 2$ comme asymptote et la courbe est au-dessus de son asymptote.
EAucune des propositions n'est exacte

n \to + \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) = \int_{a}^{b} f (t) d t

n k = 1 \prod n (n + k) = n e^{\sum_{k = 1}^{n} l n (1 + \frac{k}{n})}

n k = 1 \prod n (n + k) n \to + \infty \sim \frac{n}{e}

EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est définie sur $R$ car $x \mapsto 3^{- [x]}$ admet une limite à droite et à gauche en tout point.
B $\forall n \in N, f (n) = 3 \frac{1 - 3 ^{- n}}{2}$ .
CPour montrer que $f$ admet une limite en $+ \infty$ , il est suffisant de montrer que $(f (n))_{n \in N}$ converge.
D $f$ est croissante sur $R^{+}$ et majorée par $\frac{1}{e ln 3}$ . Donc elle admet une limite finie qui est la même que la limite de $(f (n))_{n \in N}$ : $\frac{3}{2}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

ASi $g$ vérifie $(P)$ , alors $g$ est de classe $C^{2}$ sur $R^{+*}$ et $x^{2} g^{''} = g$ .
BComme $x > 0$ , on peut poser $x = e^{t}$ et si $h (t) = g (x (t))$ alors $h^{''} - h^{'} + h = 0$ .
CLes fonctions $g : x \mapsto x [A cos (3 ln x) + B sin (3 ln x)]$ où $(A, B) \in R^{2}$ vérifient $(P)$ .
DComme l'équation différentielle $(P)$ est du second ordre et homogène, l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel de dimension 2.
EAucune des propositions n'est exacte

A $\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} . c$ .
B $\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{1}{2 c} \frac{\partial f}{\partial y}$ .
C $\frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} = \frac{1}{4 c ^{2}} [c^{2} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} - \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}]$ .
D $(x, y) \mapsto e^{x} ch (cy) + 2$ est une solution de $(E)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $φ^{- 1} (D) = {(ρ, θ) \in R^{2}, 0 ⩽ θ ⩽ \frac{π}{6}, 2 sin θ < ρ ⩽ 1}$ .
B $φ^{- 1} (D) = {(ρ, θ) \in R^{2}, 0 ⩽ θ ⩽ \frac{π}{6}, 2 sin θ ⩽ ρ ⩽ 1}$ .
C $A_{D} = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \int_{2 s i n θ}^{1} d ρ d θ = \frac{π}{6} + 1 - 3$ .
D $A_{D} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \int_{2 s i n θ}^{1} ρ d ρ d θ = \frac{3}{4}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

\forall n ⩾ 2

p

divise

x^{2} - x ⟺ p

divise

x^{n} - x

car si

p

divise un produit

ab

, il divise

a

b

(avec

a

b

entiers naturels).

U ⊊ {6 k, k \in Z} \cup {1 + 6 k, k \in Z}

U = {6 k, k \in Z} \cup {1 + 6 k, k \in Z}

EAucune des propositions n'est exacte

BLe nombre de couples

(X, Y)

tels que

X \cup Y = E

est

3^{n}

CLe nombre de couples

(X, Y)

tels que

(X, Y)

forme une partition de

E

est

3^{n}

DLe nombre de triplets

(X, Y, Z)

tels que

X \cup Y = Z

est

3^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

a

est une racine de

P

\forall n \in N

a^{2^{n}}

est encore une racine de

P

CSi

a

est une racine de

P

, il existe

p

tel que

a = a^{p}

DLes racines de

P

sont des racines de l'unité.

EAucune des propositions n'est exacte

ASi $(p, q) \in Z \times Z^{*}$ premiers entre eux et tels que $\frac{p}{q}$ est racine de $P$ alors $p$ divise $a_{0}$ et $q$ divise $a_{n}$ .
BSi est $2 X^{3} - X^{2} - 13 X + 5$ admet une racine rationnelle, c'est nécessairement 1, 5, $\frac{1}{2}$ ou $\frac{5}{2}$ .
C $2 X^{4} + X^{2} + 5 X + 5$ admet une racine rationnelle.
DSi $P = X^{n} + k = 0 \sum n - 1 a_{k} X^{k}$ avec $\forall k \in [[1, n - 1]], a_{k} \in Z$ alors si $P$ possède une racine rationnelle, elle sera entière.
EAucune des propositions n'est exacte

A $cos (n θ) = Re (e^{i θ})^{n} = 0 ⩽ 2 k ⩽ n \sum (2 k n) (cos θ)^{n - 2 k} (1 - cos^{2} θ)^{2 k}$ , $\forall θ \in R$ . Donc $(T_{n})_{n \in N}$ existe et peut être choisie à coefficients entiers.
BSi $T_{n}$ et $T_{n}$ sont deux polynômes de Tchebychev, alors ils sont égaux car $\forall x \in [- 1, 1]$ , $T_{n} (x) = T_{n} (x)$ et $(T_{n})_{n \in N}$ est unique.
C $\forall n \in N^{*}$ , $T_{n + 1} = 2 T_{n} - X^{2} T_{n - 1}$ puisque $cos [(n + 1) θ] = 2 cos (n θ) - cos^{2} θ cos [(n - 1) θ]$ .
D $\forall n \in N^{*}$ , $de g (T_{n}) = n$ et $\exists Q \in R_{n - 1} [X]$ , $T_{n} = X^{n} + Q$ .
EAucune des propositions n'est exacte

\forall n \in N

P_{n} (X) = k = 0 \sum n \frac{X ^{k}}{k !}

est l'unique polynôme vérifiant

P_{n} - P_{n}^{'} = \frac{X ^{n}}{n !}

\forall n \in N^{*}

n X^{n + 2} - (n + 2) X^{n + 1} + (n + 2) X^{n} - n

admet 1 comme racine double.

DSi

m

est divisible par

n

, alors

\forall a \in C

X^{m} - a^{m}

est divisible par

X^{n} - a^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

\forall n \in N

(1, cos x, cos^{2} (x), cos^{n} (x))

est une famille libre.

(ch x, sh x)

est une famille liée.

(1, Arctan x, Arctan \frac{1}{x})

est libre.

EAucune des propositions n'est exacte

BSi la réponse de la question a) si elle est vraie entraîne que

F \cup G

ne peut être un sous-espace vectoriel de

E

F \cup G

ne peut être un sous-espace vectoriel de

E

que si

F \subset G

DSi

F \subset G

alors

F \cup G

sous-espace vectoriel de

E

EAucune des propositions n'est exacte

A $dim (vect (e_{1} + a, \dots, e_{k} + a)) < k$ .
B $vect (e_{1} + a, \dots, e_{k} + a)$ est supplémentaire à $H$ .
C $vect (e_{1} + a, \dots, e_{k} + a) = K$ .
DOn peut montrer ici que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins deux supplémentaires.
EAucune des propositions n'est exacte

Im f \subset Im f^{2}

ker f \cap Im f = \emptyset

f^{2} = f

(

f

est un projecteur).

EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall x \in E$ , $(x, f (x), f^{2} (x), \dots, f^{n - 1} (x))$ est libre.
BSi $g \in L (E)$ , $min {p \in N, g^{p} = 0} ⩽ dim E$ .
C $ker f = Vect {f^{n - 1} (x)}$ où $x$ est tel que $f^{n - 1} (x) \neq = 0$ .
D $Im f = Vect {x, f (x), f^{2} (x), \dots, f^{n - 2} (x)}$ où $x$ est tel que $f^{n - 1} (x) \neq = 0$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $dim (ker M) = n^{2} - 1$ et $M$ est inversible si et seulement si $n = 1$ .
B $M^{p} = n^{p - 1} M$ , $\forall p \in N^{*}$ .
C $N^{p} = n^{p - 1} 2^{p} M$ , $\forall p \in N^{*}$ .
D $N^{p} = [\frac{( 3 n - 2 ) ^{p}}{n} - (- 2)^{p}] M$ .
EAucune des propositions n'est exacte

\forall a \in R

B_{a} = (1, X - a, (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})

est une base de

R_{n} [X]

et d'ailleurs

B_{0}

en est la base canonique.

CLa matrice de passage de

B_{a}

B_{0}

est la matrice

(a^{k - p} (p k))_{(k, p) \in [[1, n]]^{2}}

DLa matrice de passage de

B_{0}

B_{a}

est la matrice

(a^{k - p} (p k))_{(k, p) \in [[1, n]]^{2}}

EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est un morphisme de groupe pour $M_{n} (R)$ muni de la multiplication des matrices.
B $f (0_{n}) = 0$ et $f (I_{n}) = 1$ ( $0_{n}$ est la matrice nulle de $M_{n} (R)$ et $I_{n}$ la matrice identité).
CSi $\exists p \in N$ , $A^{p} = 0_{n}$ alors $f (A) = 0$ .
D $A$ inversible $⟺ f (A) \neq = 0$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $f_{a}$ est un automorphisme orthogonal si et seulement si $a = - 2$ .
B $f_{2}$ est un automorphisme orthogonal.
C $f_{- 2}$ est la symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel orthogonal à $u$ .
D $f_{2}$ est la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle engendrée par $u$ .
EAucune des propositions n'est exacte

ALes coordonnées du point symétrique de $M (a, b, c)$ par rapport à $D$ sont $(1 + \frac{a - 2 b + c}{6}, 1 - \frac{a - 2 b + c}{3}, 1 + \frac{a - 2 b + c}{6})$ .
BLes coordonnées du point symétrique de $M (a, b, c)$ par rapport à $D$ sont $(\frac{6 - 2 a - 2 b + c}{3}, \frac{6 - 2 a + b - 2 c}{3}, \frac{6 - 2 a - 2 b + c}{3})$ .
CLa droite symétrique par rapport à $D$ de l'axe $(z^{'} O z)$ a pour représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 2 - 2 t z = 2 - t$ .
DLa droite symétrique par rapport à $D$ de l'axe $(z^{'} O z)$ a pour équations cartésiennes : ${6 - 2 x - y = 0 y = z$ .
EAucune des propositions n'est exacte