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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2009

2009

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Exercice 1
On note $R$ l'ensemble des réels $a \in R$ . Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $R$ . On considère alors l'application $φ_{a}$ définie par : $\forall f \in E, \forall x \in R, x \neq = a, φ_{a} (f) (x) = \frac{1}{x - a} \int_{a}^{x} f (t) d t .$
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
ASi $\circ$ note la composition de deux applications, $(E, \circ)$ est un groupe.
BSi $+$ note la somme de deux applications, $(E, +)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $I d_{E} : x \mapsto x$ .
Algèbre linéaire et matrices
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A $f$ admet une primitive, car pour toute fonction $g$ définie sur $R$ , $x \mapsto \int_{a}^{x} g (t) d t$ en est une primitive.
B $φ_{a}$ est prolongeable par continuité en $a$ .
Intégration
Nota Bene : Dans toute la suite, si l'on a prolongé une fonction $ψ$ par continuité en $a$ , on continuera à appeler $ψ$ cette prolongée.

On peut affirmer dès lors que :
A $φ_{a}$ définit un endomorphisme de $E$ , puisque $\forall (f, g) \in E^{2}, φ_{a} (f g) = φ_{a} (f) φ_{a} (g)$ .
Algèbre linéaire et matrices
Nota Bene : Dans toute la suite, si l'on a prolongé une fonction $ψ$ par continuité en $a$ , on continuera à appeler $ψ$ cette prolongée. Si on étudie la dérivabilité de $φ_{a} (f)$ sur $R$ , on peut affirmer que :
ASi $x \neq = a$ , $\forall f \in E$ , $φ_{a} (f)$ est dérivable en $x$ et sa dérivée vaut $\frac{f ( x ) - φ _{a} ( f ) ( x )}{x - a}$ .
Fonctions, limites et développements limités
Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ , la formule de Taylor Young va nous permettre d'écrire que
A $f (x) = f (a) - f^{'} (a) (a - x) + o (x - a)$ .
Fonctions, limites et développements limités
Nota Bene : Dans toute la suite, si l'on a prolongé une fonction $ψ$ par continuité en $a$ , on continuera à appeler $ψ$ cette prolongée. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
AUn théorème du cours permet d'affirmer que si $h$ est une fonction définie sur $R$ , dérivable en tout point de $R$ sauf peut-être en un point réel $a$ , et si de plus $x \to a lim h^{'} (x)$ existe et est fini alors $h$ est dérivable en $a$ .
Fonctions, limites et développements limités
Nota Bene : Dans toute la suite, si l'on a prolongé une fonction $ψ$ par continuité en $a$ , on continuera à appeler $ψ$ cette prolongée. On cherche à savoir si $φ_{a}$ est injective ou surjective. On peut dire que :
A $Ker φ_{a} = {f \in E, \forall x \in R, \int_{a}^{x} f (t) d t = 0}$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $b$ un réel. On considère $g_{b} : {R \to R x \mapsto ∣ x - b ∣$ . On veut résoudre l'équation d'inconnue $f$ : $φ_{a} (f) = g_{b} .$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel. On appelle $F = R_{n} [X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ . On munit $F$ de sa base canonique $B = (1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ . On appelle $ψ_{a}$ la restriction de $φ_{a}$ à $F$ , c'est-à-dire l'application telle que $\forall P \in F, ψ_{a} (P) = φ_{a} (P) .$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel. On appelle $F = R_{n} [X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ . On munit $F$ de sa base canonique $B = (1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ . On appelle $ψ_{a}$ la restriction de $φ_{a}$ à $F$ , c'est-à-dire l'application telle que $\forall P \in F, ψ_{a} (P) = φ_{a} (P) .$ On considère la famille $B^{'} = (1, X - a, (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})$ . On notera $A$ (respectivement $A^{'}$ ) la matrice de $ψ_{a}$ relativement à la base $B$ (respectivement $B^{'}$ ). $P$ notera la matrice de passage de $B$ à $B^{'}$ . Pour une matrice quelconque $M$ de taille $n \times p$ , on notera $M (i, j)$ l'élément de $M$ situé à la $i$ -ième ligne et $j$ -ième colonne. On pourra noter $M = (M (i, j))_{(i, j) \in [[1, n]] \times [[1, p]]}$ . $(i k)$ note le coefficient binomial $\frac{k !}{i ! ( k - i )!}$ si $k ⩾ i ⩾ 0$ et 0 sinon.
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel. On appelle $F = R_{n} [X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ . On munit $F$ de sa base canonique $B = (1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ . On appelle $ψ_{a}$ la restriction de $φ_{a}$ à $F$ , c'est-à-dire l'application telle que $\forall P \in F, ψ_{a} (P) = φ_{a} (P) .$ On considère la famille $B^{'} = (1, X - a, (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})$ . On notera $A$ (respectivement $A^{'}$ ) la matrice de $ψ_{a}$ relativement à la base $B$ (respectivement $B^{'}$ ). $P$ notera la matrice de passage de $B$ à $B^{'}$ . Pour une matrice quelconque $M$ de taille $n \times p$ , on notera $M (i, j)$ l'élément de $M$ situé à la $i$ -ième ligne et $j$ -ième colonne. On pourra noter $M = (M (i, j))_{(i, j) \in [[1, n]] \times [[1, p]]}$ . On peut dès lors affirmer que :
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel. On appelle $F = R_{n} [X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à $n$ . On munit $F$ de sa base canonique $B = (1, X, X^{2}, \dots, X^{n})$ . On appelle $ψ_{a}$ la restriction de $φ_{a}$ à $F$ , c'est-à-dire l'application telle que $\forall P \in F, ψ_{a} (P) = φ_{a} (P) .$ On considère la famille $B^{'} = (1, X - a, (X - a)^{2}, \dots, (X - a)^{n})$ . On notera $A$ (respectivement $A^{'}$ ) la matrice de $ψ_{a}$ relativement à la base $B$ (respectivement $B^{'}$ ). Grâce aux résultats de la question 11 on peut affirmer que :
Algèbre linéaire et matrices
Exercice 2
On se place dans le plan euclidien $P$ . On choisit deux points distincts $F$ et $F^{'}$ . On notere $a = \frac{F F ^{'}}{2}$ . Le but de l'exercice est l'étude de l'ensemble $L_{a}$ des points $M$ du plan vérifiant $M F \times M F^{'} = a^{2} .$
Soit un repère orthonormé $(O, i, j)$ du plan $P$ tel que $O$ soit le milieu de $F F^{'}$ et $i$ soit porté par $(F F^{'})$
Géométrie
Soit un repère orthonormé $(O, i, j)$ du plan $P$ tel que $O$ soit le milieu de $F F^{'}$ et $i$ soit porté par $(F F^{'})$ . L'ensemble $L_{a}$ admet pour équation en coordonnées polaires : $ρ^{2} = 2 a^{2} cos (2 θ)$ (on ne demande pas de vérifier ce résultat qui doit être admis). On a donc en notant $ρ (θ)$ l'unique solution (si elle existe) d'inconnue $ρ$ de l'équation polaire :
Géométrie
Soit un repère orthonormé $(O, i, j)$ du plan $P$ tel que $O$ soit le milieu de $F F^{'}$ et $i$ soit porté par $(F F^{'})$ . L'ensemble $L_{a}$ admet pour équation en coordonnées polaires : $ρ^{2} = 2 a^{2} cos (2 θ)$ (on ne demande pas de vérifier ce résultat qui doit être admis). On note $ρ (θ)$ l'unique solution (si elle existe) d'inconnue $ρ$ de l'équation polaire. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
Géométrie
Soit un repère orthonormé $(O, i, j)$ du plan $P$ tel que $O$ soit le milieu de $F F^{'}$ et $i$ soit porté par $(F F^{'})$ . Si on considère l'ensemble $L_{a} \cap {(x, y) \in R \times R, x ⩾ 0}$ , on voudrait connaître l'aire intérieure notée $A$ , à la courbe. On peut écrire que :
Intégration
Soit $Ω$ un point du plan, soit $k$ un réel non nul. Si $\overline{A B}$ note la mesure algébrique du segment $[A B]$ , on définit $I_{k}^{Ω}$ par la donnée de $M^{'} = I_{k}^{Ω} (M)$ vérifiant :
(P1) $Ω$ , $M$ et $M^{'}$ sont alignés
(P2) $\overline{Ω M} \times \overline{Ω M^{'}} = k$ . On peut alors affirmer :
Géométrie
Soit $Ω$ un point du plan, soit $k$ un réel non nul. Si $\overline{A B}$ note la mesure algébrique du segment $[A B]$ , on définit $I_{k}^{Ω}$ par la donnée de $M^{'} = I_{k}^{Ω} (M)$ vérifiant :
(P1) $Ω$ , $M$ et $M^{'}$ sont alignés
(P2) $\overline{Ω M} \times \overline{Ω M^{'}} = k$ . On se ramène au plan complexe. Soit deux points $N$ et $N^{'}$ de $P$ tels que $Ω$ , $N$ et $N^{'}$ soient alignés et distincts. On note $ω$ , $z$ et $z^{'}$ les affixes respectifs de $Ω$ , $N$ et $N^{'}$ . On peut alors démontrer que :
Nombres complexes
Soit $Ω$ un point du plan, soit $k$ un réel non nul. Si $\overline{A B}$ note la mesure algébrique du segment $[A B]$ , on définit $I_{k}^{Ω}$ par la donnée de $M^{'} = I_{k}^{Ω} (M)$ vérifiant :
(P1) $Ω$ , $M$ et $M^{'}$ sont alignés
(P2) $\overline{Ω M} \times \overline{Ω M^{'}} = k$ . On se ramène au plan complexe. On note $ω$ , $z$ et $z^{'}$ les affixes respectifs de $Ω$ , $N$ et $N^{'}$ . Dans cette question et la suivante, on va chercher à déterminer la composée $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ où $α \in R^{*}$ . Avec les notations de la question précédente, on supposera que $N^{'} = (I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O} (N)$ . On peut démontrer que :
Nombres complexes
Soit $Ω$ un point du plan, soit $k$ un réel non nul. Si $\overline{A B}$ note la mesure algébrique du segment $[A B]$ , on définit $I_{k}^{Ω}$ par la donnée de $M^{'} = I_{k}^{Ω} (M)$ vérifiant :
(P1) $Ω$ , $M$ et $M^{'}$ sont alignés
(P2) $\overline{Ω M} \times \overline{Ω M^{'}} = k$ . On se ramène au plan complexe. On note $ω$ l'affixe de $Ω$ . On cherche à déterminer la composée $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ où $α \in R^{*}$ . On supposera dans cette question que $Ω \neq = O$ et $k = ∣ ω ∣^{2}$ . On notera de plus $ω = a + ib$ . Il est possible de montrer que :
Nombres complexes
Soit $Ω$ un point du plan, soit $k$ un réel non nul. Si $\overline{A B}$ note la mesure algébrique du segment $[A B]$ , on définit $I_{k}^{Ω}$ par la donnée de $M^{'} = I_{k}^{Ω} (M)$ vérifiant :
(P1) $Ω$ , $M$ et $M^{'}$ sont alignés
(P2) $\overline{Ω M} \times \overline{Ω M^{'}} = k$ . On se ramène au plan complexe. On note $ω$ , $z$ et $z^{'}$ les affixes respectifs de $Ω$ , $N$ et $N^{'}$ . On cherche à déterminer la composée $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ où $α \in R^{*}$ . On supposera que $N^{'} = (I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O} (N)$ . On supposera dans cette question que $Ω \neq = O$ et $k \neq = ∣ ω ∣^{2}$ . Il est possible de montrer que :
Nombres complexes
Soit un repère orthonormé $(O, i, j)$ du plan $P$ tel que $O$ soit le milieu de $F F^{'}$ et $i$ soit porté par $(F F^{'})$ . Soit $Ω$ un point du plan, soit $k$ un réel non nul. Si $\overline{A B}$ note la mesure algébrique du segment $[A B]$ , on définit $I_{k}^{Ω}$ par la donnée de $M^{'} = I_{k}^{Ω} (M)$ vérifiant :
(P1) $Ω$ , $M$ et $M^{'}$ sont alignés
(P2) $\overline{Ω M} \times \overline{Ω M^{'}} = k$ . On considère la conique $C_{a}$ définie par $x^{2} - y^{2} = 2 a^{2}$ . On peut alors affirmer
Géométrie
Exercice 3
Dans cet exercice, $p$ désigne un réel strictement positif et $f$ est l'application définie par $\forall t > 0, f (t) = t^{p} + pt .$
$f$ est prolongeable par continuité en 0 par la valeur $f (0) = 0$ . On continuera à appeler $f$ l'application de $R^{+}$ ainsi définie. On peut affirmer que :
A $f$ est dérivable sur $R^{+}$ de dérivée $\forall t \in R^{+}, f^{'} (t) = p t^{p - 1} + p > 0$ .
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que $f$ est prolongée par continuité en 0 par $f (0) = 0$ et ainsi définie sur $R^{+}$ (question 23). En fait, on peut démontrer que $f$ est une bijection de $R^{+}$ sur $R^{+}$ . Nous noterons $g$ sa bijection réciproque. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes :
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que $f$ , prolongée par $f (0) = 0$ , est une bijection de $R^{+}$ sur $R^{+}$ , de bijection réciproque $g$ (questions 23 et 24). Dans la suite de cet exercice, $a$ désigne un réel strictement positif fixé et on note alors $\forall t \in R^{+}, φ (t) = \frac{( p - 1 ) t ^{p} + a}{p ( t ^{p - 1} + 1 )} .$ Si $φ$ admet un éventuel prolongement par continuité en 0 alors on appellera encore $φ$ ce prolongement. On peut dès lors affirmer que :
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que $f$ , prolongée par $f (0) = 0$ , est une bijection de $R^{+}$ sur $R^{+}$ , de bijection réciproque $g$ (questions 23 et 24), que $a$ est un réel strictement positif fixé et $φ (t) = \frac{( p - 1 ) t ^{p} + a}{p ( t ^{p - 1} + 1 )}$ pour $t \in R^{+}$ , prolongée par continuité en 0 lorsque c'est possible (question 25). Dans la suite de cet exercice, on considère une suite $(u_{n})_{n \in N}$ de réels satisfaisant à la relation de récurrence $u_{n + 1} = φ (u_{n})$ . Dans cette question, on suppose que $0 < p < 1$ . On peut alors montrer que :
Suites et séries numériques
On rappelle que $f$ , prolongée par $f (0) = 0$ , est une bijection de $R^{+}$ sur $R^{+}$ , de bijection réciproque $g$ (questions 23 et 24), que $a$ est un réel strictement positif fixé et $φ (t) = \frac{( p - 1 ) t ^{p} + a}{p ( t ^{p - 1} + 1 )}$ pour $t \in R^{+}$ , prolongée par continuité en 0 lorsque c'est possible (question 25), et que la suite $(u_{n})_{n \in N}$ vérifie $u_{n + 1} = φ (u_{n})$ (question 26). Dans cette question, on suppose que $p > 1$ et $u_{0} = \frac{a}{p}$ . Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
Suites et séries numériques
Exercice 4
On notera dans cet exercice $E$ l'espace vectoriel des fonctions définies et continues de $[- 1, 1]$ sur $R$ .
$P$ (respectivement $I$ ) notera, dans la suite de l'exercice, l'ensemble des fonctions définies, continues et paires (respectivement impaires) de $[- 1, 1]$ sur $R$ . On peut affirmer que :
A $P$ n'est pas un sous espace vectoriel de $E$ car si $λ < 0$ et $f \in P$ , $λ f \in I$ .
Algèbre linéaire et matrices
On définit l'application $φ$ par : $\forall (f, g) \in E \times E, φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t$ . Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $P$ (respectivement $I$ ) désigne l'ensemble des fonctions continues et paires (respectivement impaires) de $[- 1, 1]$ dans $R$ (question 28), et que l'orthogonalité est prise pour le produit scalaire $φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t$ (question 29). On choisit dans cette question $(f, g) \in P \times I$ . Si on note, pour $A$ un sous espace vectoriel quelconque de $E$ , $A^{⊥}$ l'orthogonal de $A$ , on peut alors écrire que :
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $P$ (respectivement $I$ ) désigne l'ensemble des fonctions continues et paires (respectivement impaires) de $[- 1, 1]$ dans $R$ (question 28), et que l'orthogonalité est prise pour le produit scalaire $φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) d t$ (question 29). Si $f \in P^{⊥}$ , on peut donc écrire que :
Algèbre linéaire et matrices
Exercice 5
Soit $(a, b, c) \in R^{3}$ , $c \neq = 0$ et $(a, b) \neq = (0, 0)$ et on considère l'équation aux dérivées partielles suivante, d'inconnue $f$ de classe au moins $C^{2} (R^{2})$ : $a \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + b \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} + c \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 0 (E)$
On effectue le changement de variable suivant : $u = x + α y$ et $v = x + β y$ où $(α, β) \in R^{2}$ . On posera dans la suite de cet exercice $g (u, v) = f (x (u, v), y (u, v))$ , $P = a + b X + c X^{2}$ et $K = 2 a + b (α + β) + 2 c α β$ . On peut alors affirmer que :
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que l'on a posé $u = x + α y$ , $v = x + β y$ , $g (u, v) = f (x (u, v), y (u, v))$ , $P = a + b X + c X^{2}$ et $K = 2 a + b (α + β) + 2 c α β$ , et que, pour $α \neq = β$ , $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ vérifie $(E^{'})$ : $P (α) \frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} + K \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + P (β) \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}} = 0$ (question 32). On se place, dans cette question et la suivante seulement, dans le cas où $b^{2} - 4 a c > 0$ . On peut alors affirmer que :
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que l'on a posé $u = x + α y$ , $v = x + β y$ , $g (u, v) = f (x (u, v), y (u, v))$ , $P = a + b X + c X^{2}$ et $K = 2 a + b (α + β) + 2 c α β$ , et que, pour $α \neq = β$ , $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ vérifie $(E^{'})$ : $P (α) \frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} + K \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + P (β) \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}} = 0$ (question 32). On est toujours dans le cas où $b^{2} - 4 a c > 0$ . On peut dire que :
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que l'on a posé $u = x + α y$ , $v = x + β y$ , $g (u, v) = f (x (u, v), y (u, v))$ , $P = a + b X + c X^{2}$ et $K = 2 a + b (α + β) + 2 c α β$ , et que, pour $α \neq = β$ , $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ vérifie $(E^{'})$ : $P (α) \frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} + K \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + P (β) \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}} = 0$ (question 32). On se place, dans cette question et la suivante, dans le cas $b^{2} - 4 a c = 0$ . On peut alors affirmer que :
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que l'on a posé $u = x + α y$ , $v = x + β y$ , $g (u, v) = f (x (u, v), y (u, v))$ , $P = a + b X + c X^{2}$ et $K = 2 a + b (α + β) + 2 c α β$ , et que, pour $α \neq = β$ , $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g$ vérifie $(E^{'})$ : $P (α) \frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} + K \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + P (β) \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}} = 0$ (question 32). Dans A) et B), on lit $(E^{'})$ avec le choix $α = r$ , $β = 0$ fait à la question 35. On est toujours dans le cas où $b^{2} - 4 a c = 0$ et on peut affirmer que :
Fonctions, limites et développements limités

CSi

.

note la multiplication d'une application par un scalaire,

(E, +, .)

est un

R

espace vectoriel de dimension infinie.

DSi

\times

note la multiplication de deux applications,

(E, +, \times)

est un corps.

EAucune des propositions n'est exacte

CPour tout

f

E

φ_{a} (f)

est prolongeable par continuité en

a

en posant

φ_{a} (f) (a) = f (a)

DPour tout

f

E

φ_{a} (f)

est prolongeable par continuité en

a

en posant

φ_{a} (f) (a) = f^{'} (a)

EAucune des propositions n'est exacte

\forall (f, g) \in E^{2}, φ_{a} (f + g) = φ_{a} (f) + φ_{a} (g)

et donc

φ_{a}

est linaire.

φ_{a} (E) = E

puisque

φ_{a} (f)

est continue sur

R

E \subset φ_{a} (E)

puisque

φ_{a} (f)

est continue sur

R

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

x \neq = a

\forall f \in E

φ_{a} (f)

est dérivable en

x

et sa dérivée vaut

\frac{f ( x ) - f ( a ) - φ _{a} ( f ) ( x )}{x - a}

CSi

g

est la fonction définie par

\forall x \in R, g (x) = ∣ x - a ∣

alors

φ_{a} (g) = \frac{g}{2}

\forall f \in E

φ_{a} (f)

est dérivable en

a

EAucune des propositions n'est exacte

f (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + o ((x - a)^{2})

CSi

x \neq = a

\frac{1}{x - a} [φ_{a} (f) (x) - f (a)] = \frac{f ^{'} ( a )}{2} + o (1)

DSi

x \neq = a

\frac{1}{x - a} [φ_{a} (f) (x) - f (a)] = \frac{f ^{'} ( a )}{2} + o (x - a)

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

f

est de classe

C^{1}

sur

R

, alors comme

φ_{a} (f)

est continue sur

R

, dérivable en tout point différent de

a

, et que

x \to a lim [φ_{a} (f)]^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( a )}{2}

φ_{a} (f)

est dérivable sur

R

CMême si

f

est de classe

C^{1}

sur

R

, on ne peut pas être certain que

φ_{a} (f)

est de classe

C^{1}

sur

R

DSi

f

est de classe

C^{1}

sur

R

, il est certain que

φ_{a} (f)

est de classe

C^{1}

sur

R

EAucune des propositions n'est exacte

Ker φ_{a} = {f \in E, \forall x \in R, f (x) = f (a)}

φ_{a}

est injective car

Ker φ_{a} = {0_{E}}

φ_{a}

est surjective parce que pour un endomorphisme d'espace vectoriel, l'injectivité est équivalente à la surjectivité.

EAucune des propositions n'est exacte

AS'il existe une solution alors elle est unique. De plus, si $a = b$ alors d'après la question 4, $f = 2 g_{a}$ .
BS'il existe une solution $f$ alors elle n'est pas unique puisque toutes les fonctions de la forme $f + f_{0}$ où $f_{0} \in Ker φ_{a}$ sont encore solutions.
CSi $a \neq = b$ , il existe une solution puisque $φ_{a}$ est surjective.
DSi $a \neq = b$ , il ne peut exister de solution puisque $g_{b}$ n'est pas dérivable en $b$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $ψ_{a}$ est un endomorphisme de $F$ car $\forall i \in [[0, n]], ψ_{a} (X^{i}) = \frac{1}{i + 1} k = 0 \sum i a^{k} X^{i + 1 - k}$ .
B $Ker ψ_{a} \subset {0_{F}}$ et $ψ_{a}$ est injectif.
C $ψ_{a}$ est surjectif puisque $ψ_{a}$ est injectif et $dim F = n$ .
D $ψ_{a}$ ne peut pas être surjectif puisque $φ_{a}$ ne l'est pas.
EAucune des propositions n'est exacte

A $B^{'}$ est une base de $F$ car si $a$ est nul on retrouve la base initiale.
B $\forall (i, k) \in [[1, n + 1]]^{2}, P (i, k) = (i k) (- a)^{k - i}$ .
C $\forall (i, k) \in [[1, n + 1]]^{2}, P (i, k) = (i k) a^{k - i}$ .
D $((i k) (- a)^{k - i})_{(i, k) \in [[1, n + 1]]^{2}} \cdot ((i k) a^{k - i})_{(i, k) \in [[1, n + 1]]^{2}} = I_{n + 1}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $P$ est inversible car les matrices de passage sont toujours inversibles et $A = P^{- 1} A^{'} P$ .
B $P$ est inversible car les matrices de passage sont toujours inversibles et $A = P A^{'} P^{- 1}$ .
C $A^{'}$ est la matrice diagonale telle que $\forall i \in [[1, n + 1]], A^{'} (i, i) = \frac{1}{i}$ .
D $A^{'}$ est la matrice diagonale telle que $\forall i \in [[1, n + 1]], A^{'} (i, i) = i + 1$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall i \in [[1, n + 1]], rang [(i + 1) A - I_{n}] = 1$ .
B $\forall i \in [[1, n + 1]], dim (Ker [(i + 1) A - I_{n}]) = 1$ .
CPour tout entier naturel $i$ , il existe une unique solution à l'équation d'inconnue $Q$ , $ψ_{a} (Q) = \frac{Q}{1 + i}$ .
DPour tout entier naturel $i$ , il existe une infinité de solutions à l'équation d'inconnue $Q$ , $ψ_{a} (Q) = \frac{Q}{1 + i}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $L_{a} = {(x, y) \in R \times R, (x^{2} + y^{2})^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})}$ .
B $L_{a} = {(x, y) \in R \times R, (x^{2} + y^{2})^{2} = 2 a^{2} (y^{2} - x^{2})}$ .
C $L_{a} = {(x, y) \in R \times R, y = 4 a^{2} x^{2} + a^{4} - (x^{2} + a^{2})}$ .
D $L_{a} = {(x, y) \in R \times R, y = 4 a^{2} x^{2} + a^{4} - (x^{2} + a^{2}) ou y = - 4 a^{2} x^{2} + a^{4} - (x^{2} + a^{2})}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $ρ (θ) = ρ (- θ)$ donc $L_{a}$ est symétrique par rapport l'origine du repère.
B $ρ (θ) = ρ (π - θ)$ donc $L_{a}$ est symétrique par rapport l'axe des ordonnées.
C $ρ (θ) = ρ (θ + π)$ donc $L_{a}$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
DOn peut se contenter de mener l'étude de la courbe pour $θ \in [0, \frac{π}{4}]$ puis utiliser trois symétries minimum pour construire le reste de $L_{a}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $θ \mapsto cos (2 θ)$ est dérivable sur $[0, \frac{π}{4}]$ , de dérivée négative, donc $ρ (θ)$ est dérivable sur $[0, \frac{π}{4}]$ , de dérivée négative.
B $ρ (θ)$ est décroissante sur $[0, \frac{π}{4}]$ comme composée de deux fonctions décroissantes sur $[0, \frac{π}{4}]$ .
C $θ \to \frac{π}{4}^{-} lim \frac{sin ( 2 θ )}{cos ( 2 θ )} = + \infty$ donc $L_{a}$ admet une tangente horizontale au point $(0, a)$ .
D $L_{a}$ admet la droite d'équation $y = x$ comme tangente et se situe au-dessus de cette tangente.
EAucune des propositions n'est exacte

A $A = \iint_{θ \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}], ρ \in [0, a 2 c o s (2 θ)]} d ρ d θ$ .
B $A = \iint_{θ \in [0, \frac{π}{4}], ρ \in [0, a 2 c o s (2 θ)]} 2 ρ d ρ d θ$ .
C $A = a^{2}$ .
D $A = \frac{a ^{2}}{2}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $I_{k}^{Ω}$ est une application bien définie de $P$ dans lui-même puisque pour chaque point $M$ de $P$ , il existe un et un seul point $M^{'}$ vérifiant (P1) et (P2).
B $I_{k}^{Ω}$ est une application bien définie de $P ∖ {Ω}$ puisque pour chaque point $M$ de $P$ , diffrent de $Ω$ , il existe un et un seul point $M^{'}$ vérifiant (P1) et (P2).
CSi $k \neq = 0$ , $I_{k}^{Ω}$ est une bijection de bijection réciproque $I_{\frac{1}{k}}^{Ω}$ .
DSi $k \neq = 0$ , $I_{k}^{Ω}$ est une bijection de bijection réciproque $I_{k}^{Ω}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $\overline{Ω N} \times \overline{Ω N^{'}} = (z - ω) (\overline{z^{'} - ω}) = (\overline{z - ω}) (z^{'} - ω)$ .
BSi $N^{'} = I_{k}^{Ω} (N)$ alors $z^{'} = ω + \frac{k}{z - ω}$ .
CLes points fixes de $I_{k}^{Ω}$ forment de cercle de centre $Ω$ et de rayon $∣ k ∣$ .
DIl existe $k \in R$ tel que $I_{k}^{Ω}$ ne possède qu'un point fixe unique.
EAucune des propositions n'est exacte

ASi $Ω = O$ , $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O} = I_{\frac{α ^{2}}{k}}^{O}$ .
BSi $N$ est distinct de $O$ , $I_{α}^{O} (N) = Ω \Leftrightarrow z = \frac{α}{ω}$ .
CSi $Ω \neq = O$ et si $z \in / {0, \frac{α}{ω}}$ , on a $z^{'} = \frac{( α - ω z )}{α ω + z ( k - ∣ ω ∣ ^{2} )}$ .
DSi $Ω \neq = O$ et si $z \in / {0, \frac{α}{ω}}$ , on a $z^{'} = \frac{α ( α - ω z )}{α ω + z ( k - ∣ ω ∣ ^{2} )}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ est une application affine et son application linéaire associée est donnée par la matrice $A = \frac{1}{∣ ω ∣ ^{2}} (b^{2} - a^{2} - 2 ab - 2 ab a^{2} - b^{2})$ et $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O} (O)$ est le point d'affixe $α ω$ .
B $A$ est une matrice orthogonale de déterminant négatif, c'est donc une rotation vectorielle et $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ est une rotation.
C $A$ est une matrice orthogonale de déterminant négatif, c'est donc une symétrie orthogonale vectorielle et $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.
D $A$ possède des points fixes et est orthogonale. $A$ ne peut donc qu'être une symétrie orthogonale vectorielle et $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O}$ est une symétrie orthogonale par rapport à une droite affine.
EAucune des propositions n'est exacte

A $z^{'} = \frac{α ω}{∣ ω ∣ ^{2} - k} + \frac{k α ^{2}}{( ∣ ω ∣ ^{2} - k ) ^{2}} \frac{1}{z - \frac{α ω}{∣ ω ∣ ^{2} - k}}$ .
B $z^{'} = \frac{ω}{∣ ω ∣ ^{2} - k} + \frac{k α}{( ∣ ω ∣ ^{2} - k ) ^{2}} \frac{1}{z - \frac{α ω}{∣ ω ∣ ^{2} - k}}$ .
C $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O} = I_{β}^{S}$ où $S$ est le point d'affixe $\frac{α ω}{∣ ω ∣ ^{2} - k}$ et $β = \frac{k α ^{2}}{( ∣ ω ∣ ^{2} - k ) ^{2}}$ .
D $(I_{α}^{O})^{- 1} \circ I_{k}^{Ω} \circ I_{α}^{O} = I_{β}^{S}$ où $S$ est le point d'affixe $\frac{α ω}{∣ ω ∣ ^{2} - k}$ et $β = \frac{k α}{( ∣ ω ∣ ^{2} - k ) ^{2}}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

ALa nature de $C_{a}$ dépend de la valeur de $a$ . Plus précisément, c'est une ellipse si $a < \frac{2}{2}$ , une hyperbole si $a > \frac{2}{2}$ .
BUne équation polaire de $C_{a}$ est $ρ^{2} cos (2 θ) = 2 a^{2}$ , $θ \in] 0, \frac{π}{2} [\cup] π, \frac{3 π}{2} [$ .
CSi $M$ note un point de $C_{a}$ tel que $M \neq = O$ et $M^{'}$ un point quelconque de la conique $C_{a}$ tel que $(i, O M) = (i, O M^{'}) [π]$ , alors $\overline{O M} \times \overline{O M^{'}} = 2 a^{2}$ .
D $I_{1}^{O} (C_{\frac{2}{2}}) = L_{\frac{2}{2}}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

f

est strictement croissante sur

R^{+}

comme somme d'une fonction croissante sur

R^{+}

et d'une fonction strictement croissante sur

R^{+}

CSi

f

est une fonction strictement croissante définie sur

R^{+}

, alors

f

est une bijection de

R^{+}

sur

f (R^{+})

DPour pouvoir affirmer qu'une fonction strictement croissante est une bijection de

R^{+}

sur

f (R^{+})

, il est nécessaire que

f

soit continue.

EAucune des propositions n'est exacte

A $g$ est continue, croissante et dérivable sur $R^{+}$ en tant que réciproque d'une fonction $f$ continue, croissante et dérivable sur $g (R^{+}) = R^{+}$ .
B $g$ n'est dérivable en $x$ réel que si $f$ est dérivable en $g (x)$ et que $f^{'} (g (x)) \neq = 0$ .
C $g$ est dérivable en 0 et $g^{'} (0)$ vaut $\frac{1}{p}$ si $p ⩾ 1$ et 0 si $0 < p < 1$ .
DSi $0 < p < 1$ , $g$ n'est pas dérivable en 0 car $f$ n'est pas dérivable en $g (0)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall p > 0$ , $φ (t) 0 \sim \frac{p - 1}{p} t$ et $φ$ est prolongeable par continuité en 0 par $φ (0) = 0$ .
BPour $p > 1$ , $φ$ n'est pas prolongeable par continuité en 0.
C $\forall t \in R^{+}$ , $φ (t) - t = \frac{f ( t ) - a}{f ^{'} ( t )}$ .
DSi $0 < p < 1$ , les seules solutions positives à l'équation $φ (t) = t$ sont 0 et $g (a)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $p \frac{a}{1 - p} > g (a)$ et $φ ([0, p \frac{a}{1 - p}]) \subset [0, g (a)]$ .
BLa suite $(u_{n})_{n \in N}$ est bien définie et ceci quelque soit le choix de $u_{0} > 0$ .
CSi $u_{0} \in [0, p \frac{a}{1 - p}]$ , $(u_{n})_{n \in N}$ est monotone.
DSi $u_{0} \in [0, p \frac{a}{1 - p}]$ , $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers $p \frac{a}{1 - p}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $g (a) < \frac{a}{p}$ et pour tout $t \in [g (a), \frac{a}{p}]$ , $∣ φ^{'} (t) ∣ ⩽ \frac{p - 1}{p}$ .
BLe théorème des accroissements finis dit que si $φ$ est continue sur $[g (a), \frac{a}{p}]$ et dérivable sur $] g (a), \frac{a}{p} [$ , il existe $θ \in] g (a), \frac{a}{p} [$ tel que $\forall (t, t^{'}) \in] g (a), \frac{a}{p} [^{2}$ , $t \neq = t^{'}$ , $\frac{∣ φ ( t ) - φ ( t ^{'} ) ∣}{∣ t - t ^{'} ∣} = φ^{'} (θ)$ .
C $\forall n \in N$ , $∣ u_{n + 1} - g (a) ∣ ⩽ (\frac{p - 1}{p})^{n + 2} ∣ u_{n} - g (a) ∣$ .
DL'inégalité $\frac{p - 1}{p} ⩽ 1$ est suffisante pour affirmer que $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers $g (a)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

BIl n'existe pas de fonction à la fois paire et impaire sur

[- 1, 1]

E = P \oplus I

car

P \cap I = \emptyset

dim E = dim P + dim I

E = P \oplus I

car

\forall f \in E, \forall x \in R, f (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2} - \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}

et que cette écriture de

f

comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire est unique.

EAucune des propositions n'est exacte

A $φ$ est bien définie car elle s'applique à des fonctions continues sur $] - 1, 1 [$ .
BSi $f$ est continue par morceaux sur $[- 1, 1]$ et positive, alors $\int_{- 1}^{1} f (t) d t = 0 \Rightarrow f = 0$ .
C $φ$ est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c'est donc un produit scalaire et $(E, φ)$ est un espace vectoriel euclidien.
D $φ$ est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive, c'est donc un produit scalaire mais $(E, φ)$ n'est pas un espace vectoriel euclidien.
EAucune des propositions n'est exacte

A $\int_{- 1}^{0} f (t) g (t) d t = - \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t$ .
B $\int_{- 1}^{0} f (t) g (t) d t = \int_{0}^{1} f (t) g (t) d t$ .
CA ce stade du raisonnement : $P \subset I^{⊥}$ ou $I \subset P^{⊥}$ .
DA ce stade du raisonnement : $P^{⊥} \subset I$ et $I^{⊥} \subset P$ .
EAucune des propositions n'est exacte

AComme $f \in E$ , il existe $(f_{p}, f_{i}) \in P \times I$ tel que $f = f_{p} + f_{i}$ et $\forall g \in P$ , $φ (f_{i}, g) = 0$ .
BComme $f \in E$ , il existe $(f_{p}, f_{i}) \in P \times I$ tel que $f = f_{p} + f_{i}$ et $\forall g \in I$ , $φ (f_{p}, g) = 0$ .
CEn choisissant judicieusement $g$ , $P^{⊥} \subset I$ et $P^{⊥} = I$ .
DLe cosinus hyperbolique est la projection orthogonale sur $P$ de la fonction exponentielle.
EAucune des propositions n'est exacte

AL'application $H : R^{2} (x, y) \to \mapsto R^{2} (u, v)$ est bijective si et seulement si $α \neq = β$ et que sous cette condition $H$ et $H^{- 1}$ sont de classe $C^{\infty} (R^{2})$ .
B $\frac{\partial g}{\partial v} = α \frac{\partial f}{\partial x} + β \frac{\partial f}{\partial y}$ et $\frac{\partial g}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}$ .
C $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial u} + β \frac{\partial g}{\partial v}$ et $\frac{\partial f}{\partial x} = α \frac{\partial g}{\partial u} + \frac{\partial g}{\partial v}$ .
D $g$ vérifie l'équation $P (α) \frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} + K \frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} + P (β) \frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}} = 0 (E^{'})$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $P$ possède deux racines distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$ vérifiant $r_{1} + r_{2} = - \frac{a}{c}$ et $r_{1} . r_{2} = \frac{b}{c}$ .
B $P$ possède deux racines distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$ . On peut donc choisir deux réels $α$ et $β$ , différents et tels que $P (α) = P (β) = 0$ et $K \neq = 0$ .
C $K = P^{'} (α) + P^{'} (β)$ et pour que $K$ soit nul il faudrait que $α$ et $β$ soient racines doubles de $P$ , ce qui est impossible. Donc $K \neq = 0$ pour tout $α \neq = β$ .
D $g$ vérifie l'équation $\frac{\partial ^{2} g}{\partial u \partial v} = 0$ .
EAucune des propositions n'est exacte

AOn a $\frac{\partial g}{\partial u} = M$ où $M$ est une constante réelle.
BOn a $\frac{\partial g}{\partial u} = M (u) + N$ où $M$ est une fonction de classe au moins $C^{1} (R)$ et $N$ est une constante réelle.
CLes fonctions solutions de $(E)$ sont toutes de la forme $f (x, y) = h_{1} (x + r_{1} y) + h_{2} (x + r_{2} y)$ où $h_{1}$ et $h_{2}$ sont des fonctions arbitraires de classe au moins $C^{2} (R)$ et $r_{1}$ et $r_{2}$ sont les deux racines du polynôme $P$ .
DLes fonctions solutions de $(E)$ sont toutes de la forme $f (x, y) = h_{1} (x + r_{1} y) . h_{2} (x + r_{2} y)$ où $h_{1}$ et $h_{2}$ sont des fonctions arbitraires de classe au moins $C^{2} (R)$ et $r_{1}$ et $r_{2}$ sont les deux racines du polynôme $P$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $P$ ne possède plus qu'une racine double $r$ , mais le raisonnement précédent reste correct et on a : les fonctions solutions de $(E)$ sont toutes de la forme $f (x, y) = h (x + r y)$ où $h$ est une fonction arbitraire de classe au moins $C^{2} (R^{2})$ .
B $P$ ne possède plus qu'une racine double $r$ , et en choisissant $α = r$ et $β = 0$ , on obtient $K = 0$ .
C $P$ ne possède plus qu'une racine double $r$ , et en choisissant $α = r$ et $β = 0$ , on obtient $K \neq = 0$ .
D $P$ ne possède plus qu'une racine double $r$ , et en choisissant $α = r$ et $β = 0$ , on ne sait pas si $K$ est nul ou pas (ça dépend de la valeur de $r$ ).
EAucune des propositions n'est exacte

A $(E^{'})$ est équivalente à $\frac{\partial ^{2} g}{\partial v ^{2}} = 0$ .
B $(E^{'})$ est équivalente à $\frac{\partial ^{2} g}{\partial u ^{2}} = 0$ .
C $f (x, y) = x cos (x + r y) + sin (x + r y)$ où $r$ est l'unique racine du polynôme $P$ est solution de $(E)$ .
DLes solutions de $(E)$ sont toutes de la forme $f (x, y) = x . h (x + r y)$ où $r$ est l'unique racine du polynôme $P$ et où $h$ est une fonction au moins $C^{2} (R)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Aperçu de l'épreuve

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5