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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2010

2010

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

PARTIE I
$R$ désigne le corps des nombres réels. L'espace vectoriel $R^{3}$ est muni de sa structure euclidienne usuelle. $M_{3} (R)$ désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. $I$ désigne la matrice unité de $M_{3} (R)$ $M$ appartenant à $M_{3} (R)$ , on note $f_{M}$ l'endomorphisme de $R^{3}$ dont la matrice par rapport à la base canonique de $R^{3}$ est égale à $M$ . Soit $E$ l'ensemble des matrices $M$ de la forme $M = α β δ β α δ γ γ ε$ où $α, β, δ, γ, ε$ sont des réels
L'ensemble $M_{3} (R)$ est
Aun groupe pour la loi d'addition des matrices
Bun groupe pour la loi de multiplication des matrices
Cun espace vectoriel de dimension 9 sur le corps des nombres complexes
Dun anneau commutatif pour les lois d'addition et de multiplication des matrices
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
L'ensemble $E$
Aest un sous-groupe de $M_{3} (R)$ pour la loi de multiplication d'une matrice par un scalaire réel
Best un sous-anneau commutatif de $M_{3} (R)$ pour les lois d'addition et de multiplication des matrices car $E$ est un sous-groupe de $M_{3} (R)$ pour la loi d'addition, $E$ est stable pour la loi de multiplication des matrices, $E$ contient la matrice $I$ et la loi de multiplication des matrices est commutative dans $E$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $F$ l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels

L'ensemble $F$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels fixés. Le rang de la matrice $N$ , $rg N$
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $F$ est l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels (question 3). Soit $N$ un élément de $F$ . Le sous-espace noyau, $Ker f_{N}$ , de l'endomorphisme $f_{N}$ associé à la matrice $N$
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $F$ est l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels (question 3). Soit $N$ un élément de $F$ (question 5). Le sous-espace image, $Im f_{N}$ , de l'endomorphisme $f_{N}$ associé à la matrice $N$
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $F$ est l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels (question 3). S'il existe un plan $P$ de $R^{3}$ tel que pour toute matrice $N$ appartenant à $F$ , le sous espace $Im f_{N}$ est contenu dans $P$ , on note $g_{N}$ la restriction de l'endomorphisme $f_{N}$ à $P$ ; On considère l'application $φ$ qui à tout élément $N$ de $F$ associe $g_{N}$ $L (P)$ désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de $P$

On rapporte le plan $P$ , s'il existe, à une base orthonormale. L'application $φ$
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $F$ est l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels (question 3), et que $P$ désigne, s'il existe, un plan de $R^{3}$ contenant $Im f_{N}$ pour toute matrice $N$ de $F$ , rapporté à une base orthonormale, que $g_{N}$ désigne la restriction de $f_{N}$ à $P$ , que $φ$ est l'application qui à tout élément $N$ de $F$ associe $g_{N}$ , et que $L (P)$ désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de $P$ (question 7). On a
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $F$ est l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels (question 3), et que $P$ désigne, s'il existe, un plan de $R^{3}$ contenant $Im f_{N}$ pour toute matrice $N$ de $F$ , rapporté à une base orthonormale, que $g_{N}$ désigne la restriction de $f_{N}$ à $P$ , que $φ$ est l'application qui à tout élément $N$ de $F$ associe $g_{N}$ , et que $L (P)$ désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de $P$ (question 7). Soit $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels fixés. L'application $g_{N}$ associée
Algèbre linéaire et matrices
On rappelle que $F$ est l'ensemble des matrices $N$ de la forme $N = α α δ α α δ γ γ ε$ où $α, δ, γ, ε$ sont des réels (question 3), et que $P$ désigne, s'il existe, un plan de $R^{3}$ contenant $Im f_{N}$ pour toute matrice $N$ de $F$ , rapporté à une base orthonormale, que $g_{N}$ désigne la restriction de $f_{N}$ à $P$ , que $φ$ est l'application qui à tout élément $N$ de $F$ associe $g_{N}$ , et que $L (P)$ désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de $P$ (question 7). Soit $A = \frac{1}{2 2} 112112 22 - 2$ . L'application $g_{A}$ associée à cette matrice
Algèbre linéaire et matrices
PARTIE II
On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I =] - 1, + \infty [$ par $f (x) = \frac{ln ( 1 + x )}{1 + x}$ $ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On appelle $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté à un repère orthonormal
La fonction $f$
Aest de classe $C^{\infty}$ sur $I$
Best dérivable de dérivée discontinue sur $I$
Ca pour dérivée $f^{'} (x) = \frac{1 - ln ( 1 + x )}{( 1 + x ) ^{2}}$ pour tout $x$ appartenant à $I$
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $f$
Aest croissante sur $I$
Best décroissante sur $[1, + \infty [$ et a une limite nulle lorsque $x$ tend vers $+ \infty$
Cest croissante sur $] - 1, e]$ et décroissante sur $[e, + \infty [$ , tend vers 0 quand $x$ tend vers $+ \infty$ et tend vers $- \infty$ lorsque $x$ tend vers $- 1$
Fonctions, limites et développements limités
La courbe $C_{f}$
Aadmet pour tangente, au point de coordonnées $(0, 0)$ , la droite d'équation $y = - x$
Bprésente au point de coordonnées $(e^{3/2} - 1, (\frac{3}{2}) e^{3/2})$ un point d'inflexion car $f^{''} (x) = - \frac{3 - 2 ln ( 1 + x )}{( 1 + x ) ^{3}}$ s'annule et change de signe en ce point puisque la fonction $3 - 2 ln (1 + x)$ décroît de $+ \infty$ à $- \infty$ et s'annule en $x = e^{3/2} - 1$
Fonctions, limites et développements limités
Soient $λ$ un réel strictement positif et $A_{λ}$ l'aire de la surface comprise entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = λ$ , la courbe $C_{f}$ et l'axe des abscisses. On a
A $A_{λ} = \int_{0}^{λ} f (x) d x$ car la fonction $f$ est positive sur $[0, + \infty [$
Intégration
On considère l'équation différentielle du premier ordre $(E) (1 + x)^{2} y^{'} (x) + (1 + x) y (x) - 1 = 0$ $∣ ∣$ désigne la valeur absolue

Soit $u$ une fonction dérivable ne s'annulant pas. On note $(H)$ l'équation sans second membre associée à $(E)$ et on désigne par $K$ une constante. On a
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle l'équation différentielle $(E)$ : $(1 + x)^{2} y^{'} (x) + (1 + x) y (x) - 1 = 0$ (question 15). On suppose dans cette question et la suivante que $y (x) = \frac{C ( x )}{1 + x}$ . On a alors pour tout $x$ réel distinct de $- 1$
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle l'équation différentielle $(E)$ : $(1 + x)^{2} y^{'} (x) + (1 + x) y (x) - 1 = 0$ (question 15), et que l'on a posé $y (x) = \frac{C ( x )}{1 + x}$ pour une solution $y$ de $(E)$ (question 16). Pour tout $x$ réel distinct de $- 1$ , la fonction $C$ vérifie
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle l'équation différentielle $(E)$ : $(1 + x)^{2} y^{'} (x) + (1 + x) y (x) - 1 = 0$ (question 15), dont on cherche les solutions $y$ sous la forme $y (x) = \frac{C ( x )}{1 + x}$ (question 16). On obtient, $k_{1}$ et $k_{2}$ désignant des constantes réelles,
Fonctions, limites et développements limités
$n$ désigne un entier naturel. Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $I$ , on pose $g (x) = ln (1 + x)$ et $h (x) = \frac{1}{1 + x}$ .
Fonctions, limites et développements limités
PARTIE III
On note, pour tout entier naturel $k$ non nul : $a_{k} = p = 1 \sum k \frac{1}{p}$ On considère la suite $(S_{n}^{x})$ , $n$ entier strictement positif, dépendant du paramètre réel $x$ et définie pour tout $n$ entier strictement positif et pour tout $x$ réel par : $S_{n}^{x} = k = 1 \sum n (- 1)^{k - 1} a_{k} x^{k}$
$ln$ désignant la fonction logarithme népérien, on pose pour tout $p$ entier naturel non nul $u_{p} = ln (1 + p) - ln p$ . Pour tout entier $p$ strictement positif on montre que
A $u_{p} ⩽ 0$
Suites et séries numériques
Pour tout entier $k$ strictement positif, on montre que
A $ln (1 + k) ⩽ a_{k} ⩽ k$
B $a_{k} ⩽ ln (1 + k)$
Suites et séries numériques
On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ , la fonction $P_{n}$ qui à $x$ associe $P_{n} (x) = k = 1 \sum n (- 1)^{k - 1} \frac{x ^{k}}{k} + (- 1)^{n - 1} a_{n} x^{n + 1}$ Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ , on a
Suites et séries numériques
On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ , $P_{n} (x) = k = 1 \sum n (- 1)^{k - 1} \frac{x ^{k}}{k} + (- 1)^{n - 1} a_{n} x^{n + 1}$ (question 22). On considère, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ strictement supérieur à $- 1$ la fonction $I_{n}$ qui à $x$ associe $I_{n} (x) = (- 1)^{n - 1} \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 + t} d t$ Pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $] - 1, + \infty [$ , on a
Intégration
On rappelle que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x > - 1$ , $I_{n} (x) = (- 1)^{n - 1} \int_{0}^{x} \frac{t ^{n}}{1 + t} d t$ (question 23). Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a
Intégration
Pour tout paramètre réel $x$ appartenant à l'intervalle $] - 1, 1 [$
Ala suite de terme général $a_{n} x^{n + 1}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ car la suite de terme général $n^{α} x^{n + 1}$ converge vers 0 pour tout réel $α$
Suites et séries numériques
PARTIE IV
Soient $a$ , $b$ , $c$ des nombres complexes de modules distincts tels que pour tout entier $i$ compris entre 1 et 3, $α_{i} = a^{i} + b^{i} + c^{i}$ est un réel. On pose $σ_{1} = a + b + c$ , $σ_{2} = ab + b c + c a$ , $σ_{3} = ab c$ .
$a$ , $b$ , $c$ sont racines du polynôme $P$
A $P = σ_{1} X^{2} + σ_{2} X - σ_{3}$
Polynômes
On a
A $2 σ_{2} = α_{1}^{2} - α_{2}$ et $σ_{3} = α_{3} - σ_{1} α_{2} + σ_{2} α_{1}$
Polynômes
Le polynôme $P$ défini à la question 26, s'il existe,
An'appartient pas à $R [X]$
Bappartient à $R [X]$
Cadmet au moins une racine réelle en tant que polynôme de degré impair à coefficients réels
Dn'admet pas de racine réelle
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
Les nombres complexes $a$ , $b$ , $c$
Asont tous réels car sinon deux d'entre eux seraient conjugués et par conséquent auraient des modules identiques
Bsont tous de parties imaginaires non nulles
Cpeuvent avoir une partie imaginaire non nulle
Dsont tous de parties réelles nulles
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
PARTIE V
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $J = [- 1, 1]$ par $f (x) = Arcsin x + Arccos x$
La fonction $f$
Aa pour dérivée la fonction $f^{'}$ définie sur $[- 1, 1]$ par $f^{'} (x) = 0$
Ba pour dérivée la fonction $f^{'}$ définie sur $] - 1, 1 [$ par $f^{'} (x) = \frac{2}{1 - x ^{2}}$
Trigonométrie
La fonction $f$ est
Astrictement croissante et positive sur l'intervalle $J$
Bconstante et égale à $π$ sur l'intervalle $J$
Cstrictement croissante et négative sur l'intervalle $J$
Dconstante et égale à 0 sur l'intervalle $J$
EAucune des propositions n'est exacte
Trigonométrie
On considère les fonctions $g_{1}$ et $g_{2}$ définies sur $[0, 1]$ par $g_{1} (x) = \int_{0}^{x} Arcsin t d t g_{2} (x) = \int_{0}^{x} Arccos t d t$ Soit $h$ la fonction qui à $x$ associe $h (x) = g_{1} (sin^{2} x) + g_{2} (cos^{2} x)$

Les fonctions $g_{1}$ et $g_{2}$
Intégration
On rappelle que $g_{1}$ et $g_{2}$ sont définies sur $[0, 1]$ par $g_{1} (x) = \int_{0}^{x} Arcsin t d t$ et $g_{2} (x) = \int_{0}^{x} Arccos t d t$ , et que $h (x) = g_{1} (sin^{2} x) + g_{2} (cos^{2} x)$ (question 32). La fonction $h$ est
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que $g_{1}$ et $g_{2}$ sont définies sur $[0, 1]$ par $g_{1} (x) = \int_{0}^{x} Arcsin t d t$ et $g_{2} (x) = \int_{0}^{x} Arccos t d t$ , et que $h (x) = g_{1} (sin^{2} x) + g_{2} (cos^{2} x)$ (question 32). La fonction $h$
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que $g_{1}$ et $g_{2}$ sont définies sur $[0, 1]$ par $g_{1} (x) = \int_{0}^{x} Arcsin t d t$ et $g_{2} (x) = \int_{0}^{x} Arccos t d t$ , et que $h (x) = g_{1} (sin^{2} x) + g_{2} (cos^{2} x)$ (question 32). La dérivée $h^{'}$ de la fonction $h$ est définie par
Fonctions, limites et développements limités
On rappelle que $g_{1}$ et $g_{2}$ sont définies sur $[0, 1]$ par $g_{1} (x) = \int_{0}^{x} Arcsin t d t$ et $g_{2} (x) = \int_{0}^{x} Arccos t d t$ , et que $h (x) = g_{1} (sin^{2} x) + g_{2} (cos^{2} x)$ (question 32). La fonction $h$ est
Fonctions, limites et développements limités

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