Aperçu de l'épreuve

Questions

Corrigés rédigés

100%

Chapitres couverts

École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2011

2011

34 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Exercice 1
$R$ note l'ensemble des réels. On se place dans $R \times R = R^{2}$ et on considère l'application $f : R^{2} \to R^{2} (x, y) \to (3 x - y, - x + 3 y)$ On muni $R^{2}$ de sa base canonique $B$ .
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A $f$ est un endomorphisme de $R^{2}$
B $f$ n'est pas linéaire car par exemple $f (2, 1) \neq = 2 f (1, 1)$
C $Im f = R^{2}$ et tout endomorphisme surjectif d'un espace vectoriel quelconque étant bijectif $f$ est un automorphisme
Algèbre linéaire et matrices
Si $C$ et $C^{'}$ sont deux bases de $R^{2}$ , on notera $mat (f, C, C^{'})$ la matrice de $f$ dans les bases $C$ (base de l'ensemble de départ) et $C^{'}$ (base de l'ensemble d'arrivée) Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
Algèbre linéaire et matrices
On souhaite résoudre l'inéquation d'inconnue $λ \in R$ : $Rang (f - λ Id) < 2$ où $Id$ note l'identité de $R^{2}$ . Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A $Rang (f - λ Id) < 2 \Leftrightarrow (3 - λ)^{2} + 1 = 0$
Algèbre linéaire et matrices
Le théorème du rang permet de dire que pour un espace vectoriel $E$ de dimension fini et $g$ un endomorphisme de $E$ :
A $dim ker g + dim Im g < dim E$
B $ker g \oplus Im g = E$
Algèbre linéaire et matrices
On souhaite résoudre l'inéquation d'inconnue $λ \in R$ : $Rang (f - λ Id) < 2$ où $Id$ note l'identité de $R^{2}$ . En utilisant ce théorème du rang on peut affirmer que
A $Rang (f - λ Id) < 2 \Leftrightarrow \exists u \in R^{2}, f (u) = λ u$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $(α, β) \in R^{2}, α \neq = β$ , soient $u \in R^{2}$ tel que $f (u) = α u$ et $v \in R^{2}$ tel que $f (v) = β v$ Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
Algèbre linéaire et matrices
Soit $α \in R$ , soient $u \in R^{2}$ tel que $f (u) = α u$ et $v \in R^{2}$ tel que $f (v) = α v$ Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies
Algèbre linéaire et matrices
Si $C$ et $C^{'}$ sont deux bases de $R^{2}$ , on notera $mat (f, C, C^{'})$ la matrice de $f$ dans les bases $C$ (base de l'ensemble de départ) et $C^{'}$ (base de l'ensemble d'arrivée). Soit $B^{''} = ((1, 1), (1, - 1))$ . $B^{''}$ est clairement une base de $R^{2}$ . On appelle $Pass (B, B^{''})$ la matrice de passage de la base $B$ à la base $B^{''}$ . On peut alors affirmer que :
Algèbre linéaire et matrices
Soit $B^{''} = ((1, 1), (1, - 1))$ . $B^{''}$ est clairement une base de $R^{2}$ . On appelle $Pass (B, B^{''})$ la matrice de passage de la base $B$ à la base $B^{''}$ . Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies
Algèbre linéaire et matrices
Soit $B^{''} = ((1, 1), (1, - 1))$ . $B^{''}$ est clairement une base de $R^{2}$ . On appelle $Pass (B, B^{''})$ la matrice de passage de la base $B$ à la base $B^{''}$ . $N$ note l'ensemble des entiers naturels. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n \in N$ . La formule de Taylor avec reste intégral permet d'écrire que :
APour une fonction $h$ , $n$ fois dérivable sur un segment $[a, b]$ , $h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} h^{(n)} (t) d t$
Fonctions, limites et développements limités
Soit $n \in N$ . Le théorème de la moyenne appliqué au reste intégral de la question précédente permet donc d'écrire :
APour une fonction $h$ , $n$ fois dérivable sur un segment $[a, b]$ , $\exists c \in] a, b [$ $h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \frac{( b - a ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} h^{(n)} (c)$
Fonctions, limites et développements limités
Soit $n \in N$ . On peut déduire de la question précédente
A $\exists c \in R, \forall x \in R, e^{x} = k = 0 \sum n - 1 \frac{x ^{k}}{k !} + \frac{x ^{n}}{n !} e^{c}$
Fonctions, limites et développements limités
Si $A$ est une matrice carrée à coefficients réels on définira l'exponentielle de la matrice $A$ comme étant $exp (A) = n \to + \infty lim k = 0 \sum n \frac{A ^{k}}{k !}$ si cette limite à un sens.
Algèbre linéaire et matrices
Exercice 2
$N$ note ici l'ensemble des entiers naturels. On s'intéresse aux suites $(u_{n})_{n \in N}$ définies par les données de $u_{0}$ un réel et la relation : $\forall n \in N^{*}, u_{n + 1} = u_{n} (u_{n} + \frac{1}{n})$ Le sujet ne pose la relation que pour $n ⩾ 1$ et ne relie donc pas $u_{1}$ à $u_{0}$ . On convient, comme le suppose la proposition D) de la question 15, que $u_{1} = u_{0} (u_{0} + 1)$ , la relation ci-dessus valant ensuite pour tout $n \in N^{*}$ .
Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
A $\forall n \in N^{*}, u_{n} ⩾ 0$
B $\forall n \in N^{*}, u_{n} ⩾ 0 \Leftrightarrow u_{0} ⩾ 0$
Suites et séries numériques
Dans cette question nous supposerons que $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers une limite $λ$ . Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
ANécessairement $λ = 0$
BOn ne peut rien savoir de $λ$ puisque la limite de $\frac{u _{n}}{n}$ peut être indéterminée.
Suites et séries numériques
Dans la suite de l'exercice, on défini la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :
Suites et séries numériques
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ Dans toute la suite de l'exercice on considérera que $u_{0} > 0$ Parmi les assertions suivantes, lesquelles peuvent être démontrées:
Fonctions, limites et développements limités
Quelles formulations du théorème des valeurs intermédiaires sont correctes parmi les suivantes :
ASi $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et si $f (a) . f (b) < 0$ alors il existe un unique réel $x$ , $a < x < b$ tel que $f (x) = 0$
Fonctions, limites et développements limités
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ En utilisant un théorème des valeurs intermédiaires on peut justifier :
Fonctions, limites et développements limités
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ En question précédente on a montrer l'existence de $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ . Pour $n$ entier naturel non nul. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
Fonctions, limites et développements limités
Quelles formulations parmi les suivantes sont correctes:
AUne suite monotone et majorée converge
BUne suite monotone et bornée converge
CUne suite croissante admet une limite, éventuellement infinie
DUne suite décroissante et majorée converge
EAucune des propositions n'est exacte
Suites et séries numériques
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ On a montré l'existence de $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ , pour $n$ entier naturel non nul. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
Suites et séries numériques
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ On a montré l'existence de $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ , pour $n$ entier naturel non nul. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
Suites et séries numériques
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ On considère que $u_{0} > 0$ . On a montré l'existence de $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ , pour $n$ entier naturel non nul. Les suites $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ sont convergentes vers $L$ et $L^{'}$ respectivement. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
Suites et séries numériques
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ On considère que $u_{0} > 0$ . On a montré l'existence de $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ , pour $n$ entier naturel non nul. La suite $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ est convergente vers $L$ . On supposera que $u_{1} < L$ Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
Suites et séries numériques
On définit la suite de fonctions $(f_{n})_{n \in N^{*}}$ par : Pour tout $x$ réel positif, $f_{1} (x) = x$ Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout $x$ réel positif, $f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) (f_{n} (x) + \frac{1}{n})$ On considère que $u_{0} > 0$ . On a montré l'existence de $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ , pour $n$ entier naturel non nul. La suite $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ est convergente vers $L$ . On supposera que $u_{1} > L$ Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
Suites et séries numériques
Exercice 3
Le but de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et continues sur l'ensemble des réels $R$ et vérifiant : $Pour tout r \overset{e}{ˊ} el x, f (2 x) = \int_{0}^{x} (x - t) f (2 t) d t + 1 (P)$
Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
A $\int_{0}^{x} (x - t) f (2 t) d t$ est définie pour tout réel car $t \to (x - t) f (2 t)$ est définie sur $R$
Intégration
Dans la suite de l'exercice $f$ vérifie la propriété (P) Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
A $f$ est indéfiniment dérivable sur $R$
B $\forall x \in R, f^{'} (2 x) = (x - x) f (2 x) = 0$
Intégration
Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies ?
A $\forall x \in R, f^{''} (x) = f (x)$
B $\forall x \in R, f^{''} (x) = \frac{1}{4} f (x)$
Fonctions, limites et développements limités
On peut alors affirmer qu'il existe un couple de réel $A$ et $B$ tels que :
A $\forall x \in R, f (x) = A e^{x} + B e^{- x}$
B
Fonctions, limites et développements limités
En calculant directement $f (0)$ on peut affirmer que :
A $f (0) = 0$
B $f (0) = 1$
C $A + B = 1$
D $A = 0$
Fonctions, limites et développements limités
On peut donc en déduire qu'il existe un réel $A$ tel que
A $\forall x \in R, f (x) = A sh (\frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}}$
Fonctions, limites et développements limités
On peut donc affirmer que :
ALes solutions à l'exercice sont les fonctions définies par $\forall x \in R$ $f (x) = A sh (\frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}}$ où $A$ est un réel quelconque
Fonctions, limites et développements limités

Ker f = {(0, 0)}

et tout endomorphisme injectif d'un espace vectoriel de dimension fini étant bijectif

f

est un automorphisme

EAucune des propositions n'est exacte

A $Mat (f, B, B) = (- 1 3 3 - 1)$
B $Mat (f, B, B) = (3 - 1 - 1 3)$
C $B^{'} = ((3, - 1), (- 1, 3))$ est une base de $R^{2}$ puisque $f$ est un automorphisme
D $Mat (f, B, B^{'}) = (0110)$
EAucune des propositions n'est exacte

Rang (f - λ Id) < 2 \Leftrightarrow (1 + λ)^{2} - 9 = 0

Rang (f - λ Id) < 2 \Leftrightarrow λ = 2

λ = 4

Rang (f - λ Id) < 2 \Leftrightarrow λ = - 2

λ = 4

EAucune des propositions n'est exacte

dim ker g + dim Im g = dim E

dim ker g + Rang g = dim E

EAucune des propositions n'est exacte

Rang (f - λ Id) < 2 \Rightarrow \exists u \in R^{2}, f (u) = λ u

Rang (f - λ Id) < 2 \Leftarrow \exists u \in R^{2}, f (u) = λ u

Rang (f - λ Id) < 2 \Leftrightarrow \exists u \in R^{2}, u \neq = (0, 0), f (u) = λ u

EAucune des propositions n'est exacte

A $u$ et $v$ sont nécessairement liés
B $u$ et $v$ sont nécessairement libres
C $(u, v)$ est une base de $R^{2}$
DOn ne peut pas savoir si $(u, v)$ est une famille libre ou liée car cela dépend des valeurs de $(α, β)$
EAucune des propositions n'est exacte

ANécessairement $u = v$
B $(u, v)$ est nécessairement liée car $dim ker (f - α Id) ⩽ 1$
C $(u, v)$ peut être une base de $R^{2}$ si cette famille est libre.
DOn ne peut pas savoir si $(u, v)$ est une famille libre ou liée car cela dépend des valeurs de $α$
EAucune des propositions n'est exacte

A $Pass (B, B^{''}) = Mat (Id, B, B^{''})$
B $Pass (B, B^{''}) = Mat (Id, B^{''}, B)$
C $Pass (B, B^{''}) = (11 1 - 1)$
D $Pass (B, B^{''}) = \frac{1}{2} (11 1 - 1)$
EAucune des propositions n'est exacte

A $Mat (f, B, B) = Pass (B, B^{''}) Mat (f, B^{''}, B^{''}) Pass (B, B^{''})$
B $Mat (f, B, B) = Pass (B^{''}, B) Mat (f, B^{''}, B^{''}) Pass (B^{''}, B)$
C $Mat (f, B^{''}, B^{''}) = (2004)$
D $Mat (f, B^{''}, B^{''}) = (4002)$
EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall k \in N, [Mat (f, B, B)]^{k} = [Pass (B, B^{''})]^{k} [Mat (f, B^{''}, B^{''})]^{k} [Pass (B, B^{''})]^{k}$
B $\forall k \in N, [Mat (f, B, B)]^{k} = [Pass (B, B^{''})] [Mat (f, B^{''}, B^{''})]^{k} [Pass (B, B^{''})]$ car $[Pass (B^{''}, B)] [Pass (B^{''}, B)] = (1001)$
C $\forall k \in N, [Mat (f, B, B)]^{k} = [Pass (B^{''}, B)] [Mat (f, B^{''}, B^{''})]^{k} [Pass (B^{''}, B)]$ car $[Pass (B^{''}, B)] [Pass (B^{''}, B)] = (1001)$
D $\forall k \in N, [Mat (f, B, B)]^{k} = (3^{k} (- 1)^{k} (- 1)^{k} 3^{k})$
EAucune des propositions n'est exacte

BPour une fonction

h

n

fois dérivable sur un segment

[a, b]

, dont la dérivée nième est continue sur

[a, b]

h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} h^{(n)} (t) d t

CPour une fonction

h

n

fois dérivable sur un segment

[a, b]

h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n}}{n !} h^{(n)} (t) d t

DPour une fonction

h

n

fois dérivable sur un segment

[a, b]

, dont la dérivée nième est continue sur

[a, b]

h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n}}{n !} h^{(n)} (t) d t

EAucune des propositions n'est exacte

BPour une fonction

h

n

fois dérivable sur un segment

[a, b]

[a, b]

, dont la dérivée nième est continue sur

[a, b]

\exists c \in] a, b [

h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \frac{( b - a ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} h^{(n)} (c)

CPour une fonction

h

n

fois dérivable sur un segment

[a, b]

\exists c \in] a, b [

h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \frac{( b - a ) ^{n}}{n !} h^{(n)} (c)

DPour une fonction

h

n

fois dérivable sur un segment

[a, b]

[a, b]

, dont la dérivée nième est continue sur

[a, b]

\exists c \in] a, b [

h (b) = k = 0 \sum n - 1 (b - a)^{k} \frac{h ^{(k)} ( a )}{k !} + \frac{( b - a ) ^{n}}{n !} h^{(n)} (c)

EAucune des propositions n'est exacte

\forall x \in R, \exists c \in R, e^{x} = k = 0 \sum n - 1 \frac{x ^{k}}{k !} + \frac{x ^{n}}{n !} e^{c}

\forall x \in R, e^{x} = n \to + \infty lim k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !}

e^{x} = n \to + \infty lim k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !}

mais seulement si

∣ x ∣ ⩽ 1

EAucune des propositions n'est exacte

A $exp ((2004)) = (e^{2} 0 0 e^{4})$
B $exp ((2004))$ n'est pas définie car $2 > 1$
C $exp ((3 - 1 - 1 3)) = (e^{3} e^{- 1} e^{- 1} e^{3})$
D $exp ((3 - 1 - 1 3)) = e^{3} (ch (1) - sh (1) - sh (1) ch (1))$
EAucune des propositions n'est exacte

\forall n \in N, u_{n} ⩾ 0 \Leftarrow u_{0} ⩾ 0

\forall n \in N^{*}, u_{n} ⩾ 0 \Leftrightarrow u_{0} ⩾ 0

u_{0} ⩽ - 1

EAucune des propositions n'est exacte

CNécessairement

λ = 1

λ = + \infty

(u_{n})_{n \in N}

croît plus vite que

(n)_{n \in N}

EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall n \in N^{*}, \forall p \in N^{*}, f_{p} (u_{n})$ est défini
BPour que $\forall n \in N^{*}, \forall p \in N^{*}, f_{p} (u_{n})$ soit défini il suffit que $u_{0} > 0$
CSi $u_{0} > 0$ , $\forall n \in N^{*}, u_{n + 1} = f_{n} (u_{n})$
DSi $u_{0} > 0$ , $\forall n \in N^{*}, u_{n + 1} = f_{n} (u_{0})$
EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall n \in N^{*}, f_{n}$ est une fonction indéfiniment dérivable et strictement croissante sur $[0, + \infty [$
B $\forall n \in N^{*}, f_{n}^{''} = 0$
C $\forall n \in N^{*}, f_{n}$ est une fonction polynôme de degré $n$
D $\forall n \in N^{*}, f_{n}$ est une fonction strictement positive sur $] 0, + \infty [$
EAucune des propositions n'est exacte

BSi

f

est une fonction strictement croissante sur un intervalle

[a, b]

alors pour tout

α \in [f (a), f (b)]

, il existe un unique réel

x

a < x < b

tel que

f (x) = α

CSi

f

est une fonction continue et croissante sur un intervalle

[a, b]

alors pour tout

α \in [f (a), f (b)]

, il existe un réel

x

a < x < b

tel que

f (x) = α

DSi

f

est une fonction continue sur un intervalle

[a, b]

et dérivable sur

] a, b [

alors il existe un unique réel

x

a < x < b

tel que

f^{'} (x) = 0

EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall n \in N^{*}$ , il existe un unique couple de réels $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ et de plus $0 < α_{n} < β_{n} < 1$
B $\forall n \in N^{*}$ , il existe un unique couple de réels $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ et de plus $1 > α_{n} > β_{n} > 0$
C $\forall n \in N^{*}$ , il existe un couple des réels $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ et de plus $0 < α_{n} < β_{n} < 1$
D $\forall n \in N^{*}$ , il existe un unique couple de réels $(α_{n}, β_{n})$ tel que $⎩ ⎨ ⎧ f_{n} (α_{n}) = 1 - \frac{1}{n} f_{n} (β_{n}) = 1$ et de plus $1 > α_{n} > β_{n} > 0$
EAucune des propositions n'est exacte

A $⎩ ⎨ ⎧ f_{n + 1} (α_{n}) < 1 - \frac{1}{n + 1} f_{n} (β_{n}) < 1$
B $⎩ ⎨ ⎧ f_{n + 1} (α_{n}) < 1 - \frac{1}{n + 1} f_{n} (β_{n}) > 1$
C $⎩ ⎨ ⎧ f_{n + 1} (α_{n}) > 1 - \frac{1}{n + 1} f_{n} (β_{n}) < 1$
D $⎩ ⎨ ⎧ f_{n + 1} (α_{n}) > 1 - \frac{1}{n + 1} f_{n} (β_{n}) > 1$
EAucune des propositions n'est exacte

A $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ sont deux suites croissantes
B $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ est croissante et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ est décroissante
C $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ est décroissante et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ est croissante
D $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ sont deux suites décroissantes
EAucune des propositions n'est exacte

A $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ converge car c'est une suite croissante et que $\forall n \in N^{*}, α_{n} < β_{n}$
B $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ converge car c'est une suite croissante et que $\forall n \in N^{*}, α_{n} < 1$
C $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ sont convergentes vers $L$ et $L^{'}$ respectivement et comme $\forall n \in N^{*}, α_{n} < β_{n}$ , $L < L^{'}$
D $(α_{n})_{n \in N^{*}}$ et $(β_{n})_{n \in N^{*}}$ sont convergentes vers $L$ et $L^{'}$ respectivement et comme $\forall n \in N^{*}, α_{n} ⩽ β_{n}$ , $L ⩽ L^{'}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall n \in N^{*}, 1 - \frac{1}{n} ⩽ f_{n} (L) ⩽ f_{n} (L^{'}) < 1$
B $\forall n \in N^{*}, 1 - \frac{1}{n} ⩽ f_{n} (L^{'}) < f_{n} (L) < 1$
C $L < L^{'}$
D $f_{n} (u_{1}) - f_{n} (L)$ est du signe de $u_{1} - L$
EAucune des propositions n'est exacte

A $(u_{n})_{n \in N}$ est croissante
B $(u_{n})_{n \in N}$ est décroissante
C $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers 0
D $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers 1
EAucune des propositions n'est exacte

A $(u_{n})_{n \in N}$ est croissante
B $(u_{n})_{n \in N}$ est décroissante
C $(u_{n})_{n \in N}$ converge vers 1
D $(u_{n})_{n \in N}$ diverge
EAucune des propositions n'est exacte

\int_{0}^{x} (x - t) f (2 t) d t

est définie pour tout réel car

t \to (x - t) f (2 t)

est continue sur

R

φ : x \to \int_{0}^{x} (x - t) f (2 t) d t

est dérivable et

φ^{'} (x) = x f (0)

φ : x \to \int_{0}^{x} (x - t) f (2 t) d t

est dérivable si et seulement si

f

est dérivable

EAucune des propositions n'est exacte

\forall x \in R, f^{'} (2 x) = \int_{0}^{x} f (2 t) d t - x f (2 x)

\forall x \in R, f^{'} (2 x) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x} f (2 t) d t

EAucune des propositions n'est exacte

\forall x \in R, f^{''} (x) = 4 f (x)

DNécessairement,

\forall x \in R, f (x) = f (0) = 0

EAucune des propositions n'est exacte

\forall x \in R, f (x) = e^{x} (A cos x + B sin x)

\forall x \in R, f (x) = A e^{2 x} + B e^{- 2 x}

\forall x \in R, f (x) = e^{- \frac{x}{2}} (A cos \frac{x}{2} + B sin \frac{x}{2})

EAucune des propositions n'est exacte

\forall x \in R, f (x) = A e^{x} sin x

\forall x \in R, f (x) = 1 + A sh (x)

\forall x \in R, f (x) = A sh (x) + e^{- x}

EAucune des propositions n'est exacte

BLes solutions à l'exercice sont les fonctions définies par

\forall x \in R

f (x) = A e^{x} sin x

où

A

est un réel quelconque

CSeule la fonction définie par

\forall x \in R

f (x) = ch (\frac{x}{2})

est solution à l'exercice

DIl n'y a pas de solution à l'exercice.

EAucune des propositions n'est exacte

Aperçu de l'épreuve

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3