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Partie I
Dans l'espace vectoriel E des applications de R dans R de classe C∞ sur R, on considère l'ensemble F des fonctions de la forme af1+bf2+cf3 où a, b, c sont des réels et f1,f2,f3 désignent les fonctions définies sur R par f1(x)=ex, f2(x)=e−x/2sin(x3/2) et f3(x)=e−x/2cos(x3/2). On note D l'application qui à tout élément f de E associe la dérivée f′ de f. On désigne par ∘ la loi de composition des applications.
L'ensemble F
Aest un sous-espace vectoriel de E
Bn'est pas un espace vectoriel sur R
Cest un groupe pour la loi de multiplication des fonctions
Dest un sous-anneau de E
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
L'application D
Aest un endomorphisme de E
Bn'est pas un endomorphisme de E
Cest une application linéaire sur E
Dn'est pas une application linéaire
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
On note Ker D, le noyau de D, et Im D, l'image de D. On établit que
AKer D=E
BIm D est l'ensemble des fonctions constantes
CIm D est l'ensemble E privé de la fonction nulle
Algèbre linéaire et matrices
L'application D
Aest surjective car Im D=E puisque toute fonction continue admet des primitives
Best bijective car Im D=E et il y a équivalence entre f bijective et f surjective
Cn'est pas surjective car Ker D n'est pas réduit à la fonction nulle
D
Algèbre linéaire et matrices
a,b,c étant des réels, le développement limité de la fonction af1+bf2+cf3 au voisinage de 0 à l'ordre 2 s'écrit
Fonctions, limites et développements limités
La famille B=(f1,f2,f3)
Aest, d'après la question 5, une famille libre de F
B
Algèbre linéaire et matrices
L'application D
Ane peut induire un endomorphisme sur F car F n'est pas stable par D
Binduit un endomorphisme sur F car F est stable par D
Ca pour matrice dans une base donnée de E, une matrice carrée d'ordre 3
Dne peut induire un endomorphisme sur F car elle n'est pas linéaire
E
Algèbre linéaire et matrices
On considère la famille B=(f1,f2,f3). On note M la matrice, dans B, de la restriction DF de l'application D sur F, si elle existe. M est
Algèbre linéaire et matrices
On considère la famille B=(f1,f2,f3). On note M la matrice, dans B, de la restriction DF de l'application D sur F, si elle existe. La matrice M
Algèbre linéaire et matrices
On note DF la restriction de l'application D sur F. L'application DF
An'est pas bijective
Best un automorphisme de F
Cne peut être un automorphisme de F car D n'est pas bijective
Algèbre linéaire et matrices
On considère l'application φ qui à deux éléments g et h de F associe le réel φ(g,h)=g(0)h(0)+g′(0)h′(0)+g′′(0)h′′(0) où g′ et g′′ désignent les dérivées première et seconde de la fonction g et h′ et h′′ les dérivées première et seconde de la fonction h.
L'application φ
Algèbre linéaire et matrices
On considère la famille B=(f1,f2,f3). On considère l'application φ qui à deux éléments g et h de F associe le réel φ(g,h)=g(0)h(0)+g′(0)h′(0)+g′′(0)h′′(0) où g′ et g′′ désignent les dérivées première et seconde de la fonction g et h′ et h′′ les dérivées première et seconde de la fonction h. La famille B définie dans la question 6
Algèbre linéaire et matrices
On considère l'équation différentielle y′′′=y que l'on notera (E). Une solution sur R de (E) est une fonction f, définie et trois fois dérivable sur R, vérifiant f′′′(x)=f(x) pour tout x appartenant à R. f′′′ désignant la dérivée d'ordre 3 de la fonction f.
Soit f une solution de (E)
Fonctions, limites et développements limités
On considère l'équation différentielle y′′′=y que l'on notera (E). Une solution sur R de (E) est une fonction f, définie et trois fois dérivable sur R, vérifiant f′′′(x)=f(x) pour tout x appartenant à R. f′′′ désignant la dérivée d'ordre 3 de la fonction f. On considère T l'application D3−Id où Id désigne l'application identité de E et D3=D∘D∘D. On note Ker T le noyau de l'application T.
On montre que
Algèbre linéaire et matrices
On considère l'équation différentielle y′′′=y que l'on notera (E). Une solution sur R de (E) est une fonction f, définie et trois fois dérivable sur R, vérifiant f′′′(x)=f(x) pour tout x appartenant à R. f′′′ désignant la dérivée d'ordre 3 de la fonction f. Soit f une solution de (E) et g la fonction définie par g=f′′+f′+f. On établit que
Fonctions, limites et développements limités
On considère (Sk) l'équation différentielle y′′+y′+y=0. On montre que
Ales solutions à valeurs complexes de (Sk) sont les fonctions de la forme λexp((1+i3)t/2)+μexp((1−i3)t/2) où λ et μ sont des complexes arbitraires et exp désigne la fonction exponentielle
Fonctions, limites et développements limités
On considère T l'application D3−Id où Id désigne l'application identité de E et D3=D∘D∘D. On note Ker T le noyau de l'application T. On considère (S) l'équation différentielle y′′(t)+y′(t)+y(t)=λet où λ est un réel donné et e désigne la fonction exponentielle. On montre que
Fonctions, limites et développements limités
Partie II
Soient a et b deux réels strictement positifs fixés tels que b⩽a. On considère les suites (an) et (bn), n entier naturel, définies par les relations an+1=(an+bn)/2 et bn+1=anbn pour tout n entier naturel et a0=a et b0=b
Les suites (an) et (bn) vérifient
A0<bn⩽an pour tout n entier naturel
Suites et séries numériques
La suite
A(an) est croissante et majorée par b
B(an) est décroissante et minorée par a
C(bn) est décroissante et minorée par a
Suites et séries numériques
Les suites (an) et (bn)
Ane sont pas adjacentes mais elles sont convergentes
Bsont adjacentes
Cne peuvent être adjacentes car elles ne convergent pas vers la même limite
Dne sont pas toutes convergentes
EAucune des propositions n'est exacte
Suites et séries numériques
On établit que, pour tout entier naturel n
A(an−bn)2/2⩽an+1−bn+1⩽(an+1−bn+1)2
Suites et séries numériques
On pose, pour tout n entier naturel, dn=an−bn. On montre que, pour tout n entier naturel
Suites et séries numériques
On montre que, pour tout n entier naturel
Aan⩽(1/2)n(a−b)2a+n→+∞limbn
Suites et séries numériques
Partie III
On considère l'application f de R dans R définie par f(t)=Arctan(t)/t pour tout réel t différent de 0 et f(0)=l où l est un réel fixé, Arctan désignant la fonction circulaire réciproque de la fonction tan. ∣∣ désigne la valeur absolue et f′ désigne la dérivée de la fonction f.
La fonction f
Aest continue sur R pour tout valeur du réel l
Best continue sur R pour l=1 et seulement pour cette valeur de l
Cn'est continue sur R pour aucun réel l
Dest continue sur R pour l=−1
Fonctions, limites et développements limités
Dans toute la suite de cette partie, on suppose que l est un réel tel que la fonction f soit continue en 0, si cela est possible. On note R∗ l'ensemble des nombres réels non nuls.
La fonction f
An'est pas dérivable en 0
Bne peut être dérivable en 0 car elle n'est pas continue en ce point
Cest dérivable en 0 et f′(0)=0 car f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 de la forme 1+o(t)
Fonctions, limites et développements limités
On suppose que l est un réel tel que la fonction f soit continue en 0, si cela est possible. La fonction f
An'est pas dérivable sur R
Best dérivable sur R
Ca pour dérivée sur R∗ la fonction f′ définie par f′(t)=t(1+t2)1+t2Arctan(t)
Fonctions, limites et développements limités
Soit I(t)=∫0t(1+w2)2w2dw pour tout t réel non nul. On montre que, pour tout t réel non nul
Intégration
On suppose que l est un réel tel que la fonction f soit continue en 0, si cela est possible. On en déduit que la fonction f est
Acroissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0]
Bcroissante sur R
Cdécroissante sur R
Ddécroissante sur [1/2,+∞[ et croissante sur ]−∞,1/2]
Fonctions, limites et développements limités
On suppose que l est un réel tel que la fonction f soit continue en 0, si cela est possible. La courbe Cf, représentative de la fonction f dans un repère orthonormé,
Aest symétrique par rapport à l'origine du repère
Best symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Cadmet une tangente verticale au point d'abscisse 0
Dadmet une tangente horizontale au point d'abscisse 0
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités
On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. ϕ′ désigne la dérivée de la fonction ϕ.
La fonction ϕ
Intégration
On suppose que l est un réel tel que la fonction f soit continue en 0, si cela est possible. On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. Les fonctions f et ϕ vérifient, pour tout x appartenant à R,
Intégration
On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. ϕ′ désigne la dérivée de la fonction ϕ. La fonction ϕ
Intégration
On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. On pose J(x)=∫1xf(t)dt pour tout x réel supérieur à 1. On montre que
Intégration
On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. La courbe Cϕ, représentative de la fonction ϕ dans un repère orthonormé,
Fonctions, limites et développements limités
On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. On considère la suite (un), n entier naturel, définie par un+1=ϕ(un) pour tout n entier naturel et u0 réel fixé. On montre que
Suites et séries numériques
On considère l'application ϕ de R dans R définie par ϕ(x)=(1/x)∫0xf(t)dt pour tout x appartenant à R∗ et ϕ(0)=1. On considère l'équation différentielle (E):x2y′+xy=Arctan(x). L'équation différentielle (E)
Fonctions, limites et développements limités
DKer D est réduit à la fonction nulle
EAucune des propositions n'est exacte
n'est pas injective
EAucune des propositions n'est exacte
A(a+c)+(a+2b3−2c)t+o(t2)
B(a+c)+(a+2b3−2c)t+(2a−4b3−4c)t2+o(t2)
C(a+c)+(a+2b3−2c)t+(2a−4b3−4c)t2+o(t3)
D(a+c)+(a+2b3−2c)t+(2a−4b3−2c)t2+o(t2)
EAucune des propositions n'est exacte
est, d'après la question 5, une famille liée de F
Cest une base de F
Dne peut être une base de F
EAucune des propositions n'est exacte
Aucune des propositions n'est exacte
Aune matrice carrée d'ordre 3 symétrique réelle
Bune matrice carrée d'ordre 3 qui n'est ni symétrique ni antisymétrique
Cdéfinie par M=1000−1/2−3/203/2−1/2
Ddéfinie par M=0−1/23/20−3/2−1/2100
EAucune des propositions n'est exacte
An'est pas inversible car son déterminant est nul
Best inversible et a pour inverse M2 car M3=I où I désigne la matrice unité dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3
Cest inversible car son déterminant est égal à 1
Dest inversible et a pour rang 2
EAucune des propositions n'est exacte
Da pour réciproque l'application DF−1=DF∘DF
EAucune des propositions n'est exacte
Aest un produit scalaire sur E
Bn'est pas un produit scalaire sur F car elle n'est pas définie positive
Cest bilinéaire, symétrique, définie positive et F est un espace vectoriel euclidien
Dn'est pas bilinéaire
EAucune des propositions n'est exacte
An'est pas orthogonale pour φ car φ(f1,f1)=3
Best orthogonale pour φ car φ(f1,f2)=φ(f1,f3)=φ(f2,f3)=0
Cest une base orthonormée de F muni du produit scalaire φ
Dn'est pas une base orthonormée de F
EAucune des propositions n'est exacte
Af est nécessairement de classe C∞ sur R
Bf n'est pas nécessairement de classe C∞ sur R
Csi f est une fonction polynôme alors elle est nulle car deg(f′′′)⩽deg(f)−3
Df peut être une fonction polynôme distincte de la fonction nulle
EAucune des propositions n'est exacte
AKer T est l'ensemble des solutions polynomiales de (E)
BKer T est réduit à la fonction nulle
CF est inclus dans Ker T
DKer T ne contient pas F
EAucune des propositions n'est exacte
Ag=λ/f1, où λ est un réel, car g est solution de l'équation différentielle y′=−y
Bg=λf1, où λ est un réel, car g est solution de l'équation différentielle y′=y
Cg=λ/f1, où λ est un réel, car g est solution de l'équation différentielle y′=y
Dg=λf1, où λ est un réel, car g est solution de l'équation différentielle y′=−y
EAucune des propositions n'est exacte
Bles solutions à valeurs complexes de (Sk) sont les fonctions de la forme λexp((−1−i3)t/2)+μexp((−1+i3)t/2) où λ et μ sont des complexes arbitraires et exp désigne la fonction exponentielle
Cl'ensemble des solutions de (Sk) est un espace vectoriel de dimension 2 dont une base est la famille (f2,f3)
Dl'ensemble des solutions de (Sk) est un espace vectoriel de dimension 1
EAucune des propositions n'est exacte
Ales solutions de (S) sont les fonctions de la forme λet+αf2(t)+βf3(t) où α et β sont des réels arbitraires
Bles solutions de (S) sont les fonctions de la forme (λ/2)f1(t)+αf2(t)+βf3(t) où α et β sont des réels arbitraires
CKer T et F sont deux ensembles distincts
DKer T=F
EAucune des propositions n'est exacte
B0<an⩽bn pour tout n entier naturel
Can+1−an=(bn−an)/2 et bn+1−bn=an(bn−an) pour tout n entier naturel
Dan+1−an=(an−bn)/2 et bn+1−bn=bn(an−bn) pour tout n entier naturel
EAucune des propositions n'est exacte
D(bn) est croissante et majorée par b
EAucune des propositions n'est exacte
B(an+1−bn+1)2/2⩽bn+1−an+1⩽(an−bn)2
C(an+1−bn+1)2⩽an+1−bn+1⩽(an−bn)2/2
D(an+1−bn+1)2⩽bn+1−an+1⩽(an−bn)2/2
EAucune des propositions n'est exacte
A(1/2)n(a−b)⩽dn
B(1/2)n(a−b)⩽dn
Cdn⩽(−1/2)n(a−b)
Ddn⩽(1/2)n(b−a)
EAucune des propositions n'est exacte
Bbn⩽(1/2)n(a−b)2a+n→+∞liman
C(1/2)n(a−b)2a−n→+∞liman⩽bn
D−(1/2)n(a−b)2a+n→+∞liman⩽bn
EAucune des propositions n'est exacte
EAucune des propositions n'est exacte
Dest dérivable en 0 et f′(0)=1 car f admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 de la forme 1+t+o(t)
EAucune des propositions n'est exacte
Da pour dérivée sur R∗ la fonction f′ définie par f′(t)=t(1+t2)1−t2Arctan(t)
EAucune des propositions n'est exacte
AI(t)=21+t2t−Arctan(t)
BI(t)=−21+t2t+Arctan(t)
CI(t)=−2t2f′(t)
DI(t)=2t2f′(t)
EAucune des propositions n'est exacte
EAucune des propositions n'est exacte
An'est pas continue sur R
Best continue sur R car x→0limϕ(x)=1
Cest paire
Dest impaire
EAucune des propositions n'est exacte
Aϕ(x)⩽f(x)⩽1
B1⩽f(x)⩽ϕ(x)
Cf(x)⩽ϕ(x)⩽1 car les fonctions f et ϕ sont paires et f est croissante sur [0,x] pour tout x réel strictement positif
Df(x)⩽ϕ(x)⩽1 car les fonctions f et ϕ sont paires et f est croissante sur [x,0] pour tout x réel strictement négatif
EAucune des propositions n'est exacte
An'est pas dérivable sur R
Best dérivable sur R∗ et a pour dérivée ϕ′(x)=(f(x)−ϕ(x))/x
Cest dérivable en 0 et ϕ′(0)=1 car ϕ admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 de la forme 1+t+o(t)
Dest dérivable en 0 et ϕ′(0)=0 car ϕ admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 de la forme 1+o(t)
EAucune des propositions n'est exacte
A(πln(x))/2⩽J(x) pour tout x appartenant à l'intervalle [1,+∞[
BJ(x)⩽(πln(x))/2 pour tout x appartenant à l'intervalle [1,+∞[
Cϕ(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞
Dϕ(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞
EAucune des propositions n'est exacte
Aest symétrique par rapport à l'axe des abscisses
Best symétrique par rapport à l'origine du repère
Cest symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
Dadmet une tangente verticale au point d'abscisse 0
EAucune des propositions n'est exacte
Aϕ est une bijection sur R
Bϕ induit une bijection de [0,+∞[ sur ]−∞,1]
Cpour tout n entier naturel ∣un−α∣⩽(1/4)n∣u0−α∣ où α est l'unique solution de l'équation ϕ(x)=x sur R
Dla suite (un) converge vers 0
EAucune des propositions n'est exacte
An'admet pas de solution sur R
Badmet une solution sur l'intervalle ]0,+∞[, de la forme ϕ(x)+K/x, où K est une constante réelle arbitraire, mais n'admet pas de solution sur l'intervalle ]−∞,0[
Cadmet une infinité de solutions sur R, de la forme ϕ(x)+K/x, où K est une constante réelle arbitraire
