Aperçu de l'épreuve

Questions

Corrigés rédigés

100%

Chapitres couverts

École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2013

2013

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
Dans toute cette partie on suppose que $p$ est un entier naturel non nul. On note $M_{p} (R)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $p$ à coefficients réels. On désigne par $O$ la matrice nulle et par $I$ la matrice unité de $M_{p} (R)$ . Une matrice $A$ de $M_{p} (R)$ est dite nilpotente d'indice 3 si elle vérifie $A^{3} = O$ et $A^{2}$ est une matrice non nulle, où $A^{k}$ désigne le produit de la matrice $A$ par elle-même $k$ fois, $k$ étant un entier naturel non nul. On suppose dans les trois premières questions (questions 1 à 3) de cette partie que la matrice $A$ de $M_{p} (R)$ est nilpotente d'indice 3. Pour tout réel $t$ , on note $E (t)$ la matrice définie par $E (t) = I + t A + \frac{t ^{2} A ^{2}}{2}$ .
La matrice $E (t)$ vérifie, pour tout $t$ réel,
A $E (t) + E (s) = E (s t)$ pour tout $s$ réel
B $E (t) E (s) = E (s + t)$ pour tout $s$ réel
Algèbre linéaire et matrices
La matrice $E (t)$
An'est pas inversible pour tout $t$ réel
Best inversible et a pour inverse $(- E (t))$ pour tout $t$ réel
Cest inversible pour tout $t$ réel et a pour inverse $E (1/ t)$ pour tout $t$ réel non nul
Dest symétrique pour tout $t$ réel
E
Algèbre linéaire et matrices
L'application de $R$ dans $M_{p} (R)$ qui à $t$ réel associe la matrice $E (t)$
Aest linéaire
Best injective car son noyau est réduit à 0
Cest bijective car toute application linéaire injective sur un espace de dimension finie est bijective
Dn'est pas linéaire mais est injective car la famille $(I, A, A^{2})$ est libre
Algèbre linéaire et matrices
Dans toute la suite de cette partie, on note $B_{0} = (e_{1}, e_{2})$ la base canonique de $R^{2}$ , on considère la matrice $A$ de $M_{2} (R)$ définie par $A = (41 - 6 - 1)$ et on note $f$ l'endomorphisme de $R^{2}$ qui lui est canoniquement associé.

On note $F$ le sous-espace noyau de l'endomorphisme $(f - 2 id_{R^{2}})$ et $G$ le sous-espace noyau de l'endomorphisme $(f - id_{R^{2}})$ où $id_{R^{2}}$ désigne l'endomorphisme identité de $R^{2}$ . On montre que :
Algèbre linéaire et matrices
On considère la matrice $A$ de $M_{2} (R)$ définie par $A = (41 - 6 - 1)$ et on note $f$ l'endomorphisme de $R^{2}$ qui lui est canoniquement associé. On considère la famille de vecteurs $(u, v)$ définis par $u = (3, 1)$ et $v = (2, 1)$ , les coordonnées de ces vecteurs étant exprimées dans la base canonique de $R^{2}$ . Reprenant, si elle existe, la famille de vecteurs $(u, v)$ définie dans la question 4, on note $P$ la matrice de passage de la base $(u, v)$ à la base canonique de $R^{2}$ et on désigne par $D$ la matrice de l'endomorphisme $f$ dans la base $(u, v)$ . On a
Algèbre linéaire et matrices
On note $∣ \cdot ∣$ la valeur absolue. On désigne par $g$ la fonction exponentielle qui à $x$ réel associe $g (x) = e^{x}$ et on note, pour tout $k$ entier naturel, $g^{(k)}$ la dérivée d'ordre $k$ de la fonction $g$ .

Pour tout $t$ réel, on montre que :
Fonctions, limites et développements limités
On considère la matrice $A$ de $M_{2} (R)$ définie par $A = (41 - 6 - 1)$ On désigne par $g$ la fonction exponentielle qui à $x$ réel associe $g (x) = e^{x}$ . Pour tout réel $t$ et pour tout entier naturel $n$ , on note $E_{n} (t)$ la matrice définie par $E_{n} (t) = k = 0 \sum n \frac{t ^{k} A ^{k}}{k !} = (a_{n} (t) c_{n} (t) b_{n} (t) d_{n} (t))$ On désigne par $E (t)$ la matrice $(a (t) c (t) b (t) d (t))$ où $a (t) = n \to + \infty lim a_{n} (t)$ ; $b (t) = n \to + \infty lim b_{n} (t)$ ; $c (t) = n \to + \infty lim c_{n} (t)$ et $d (t) = n \to + \infty lim d_{n} (t)$ .

Pour tout $t$ réel, on établit que :
Algèbre linéaire et matrices
Reprenant, si elles existent, les matrices $Q$ et $R$ définies dans la question 7, on note $q$ et $r$ les endomorphismes de $R^{2}$ canoniquement associés aux matrices, respectivement $Q$ et $R$ . On établit que :
Ales endomorphismes $q$ et $r$ sont des symétries
Ble sous-espace image de l'endomorphisme $r$ est inclus dans le sous-espace noyau de l'endomorphisme $q$ car $QR = R Q = O$
Algèbre linéaire et matrices
Partie II
Pour tout réel $a$ positif ou nul, on note $f_{a}$ la fonction définie sur $R_{+}^{*}$ par $f_{a} (t) = t^{a}$ , $R_{+}^{*}$ désignant l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On notera $\tilde{f}_{a}$ le prolongement par continuité, lorsqu'il existe, de la fonction $f_{a}$ à l'ensemble $R_{+}$ des nombres réels positifs ou nuls. On désigne par $ln$ la fonction logarithme népérien.
La fonction $f_{a}$
An'est prolongeable par continuité en 0 que pour $a = 0$
Best prolongeable par continuité en 0 en posant, pour tout $a$ réel positif ou nul, $\tilde{f}_{a} (0) = 0$ car la fonction $(a ln t)$ tend vers $- \infty$ lorsque $t$ tend vers 0
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $f_{a}$
An'est de classe $C^{1}$ sur $R_{+}^{*}$ pour aucune valeur du réel positif ou nul $a$
Ba pour dérivée, pour tout $a$ réel positif ou nul, la fonction $f_{a}^{'}$ définie sur $R_{+}^{*}$ par $f_{a}^{'} (t) = t^{a + 1} / (a + 1)$
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $\tilde{f}_{a}$ , prolongement par continuité à $R_{+}$ de la fonction $f_{a}$ , lorsqu'il est possible,
An'est pas de classe $C^{1}$ sur $R_{+}$ pour $a$ réel positif ou nul quelconque
Fonctions, limites et développements limités
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. On note $h_{a, b}$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0, 1 [$ par $h_{a, b} (t) = f_{a} (t) f_{b} (1 - t)$ .

La fonction $h_{a, b}$
Fonctions, limites et développements limités
On note, pour tout couple $(a, b)$ de réels positifs ou nuls tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ existe, $I (a, b) = \int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ $(a, b)$ étant un couple quelconque de réels positifs ou nuls, on a
Intégration
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. On note $h_{a, b}$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0, 1 [$ par $h_{a, b} (t) = f_{a} (t) f_{b} (1 - t)$ . On note, pour tout couple $(a, b)$ de réels positifs ou nuls tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ existe, $I (a, b) = \int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ Pour tout couple de réels positifs ou nuls $(a, b)$ , on établit que :
Intégration
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. On note $h_{a, b}$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0, 1 [$ par $h_{a, b} (t) = f_{a} (t) f_{b} (1 - t)$ . On note, pour tout couple $(a, b)$ de réels positifs ou nuls tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ existe, $I (a, b) = \int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ Pour tout $a$ réel positif ou nul et pour tout entier naturel $n$ , si $I (a, b)$ existe, on a
Intégration
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. On note $h_{a, b}$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0, 1 [$ par $h_{a, b} (t) = f_{a} (t) f_{b} (1 - t)$ . On note, pour tout couple $(a, b)$ de réels positifs ou nuls tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ existe, $I (a, b) = \int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels. On montre que :
Intégration
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. On note $h_{a, b}$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0, 1 [$ par $h_{a, b} (t) = f_{a} (t) f_{b} (1 - t)$ . On note, pour tout couple $(a, b)$ de réels positifs ou nuls tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ existe, $I (a, b) = \int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ $p$ et $q$ étant deux entiers naturels, on pose $J (p, q) = \int_{0}^{π /2} (sin θ)^{2 p + 1} (cos θ)^{2 q + 1} d θ$ Pour tout couple $(p, q)$ d'entiers naturels, on établit, à l'aide d'un changement de variable, que :
Intégration
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ .

Pour tout $α$ réel strictement positif, l'ensemble de définition de la fonction $g_{α}$ est
Fonctions, limites et développements limités
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ . Soient $α$ et $x$ deux réels strictement positifs tels que $α < x$ . On a :
Fonctions, limites et développements limités
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ . Pour tout réel $α$ strictement positif, la fonction $g_{α}$
Fonctions, limites et développements limités
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ . Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $C_{α}$ la courbe représentant, dans un repère orthonormal, la restriction, si elle existe, de la fonction $g_{α}$ à l'intervalle $] α, + \infty [$ . On montre que :
Fonctions, limites et développements limités
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ . $α$ étant un réel strictement positif fixé, on considère la suite $(y_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ tel que $n > α$ , par $y_{n} = (1 - (α / n))^{n}$ . On établit que :
Suites et séries numériques
Soient $a$ et $b$ deux réels positifs ou nuls. On note $h_{a, b}$ la fonction définie sur l'intervalle $] 0, 1 [$ par $h_{a, b} (t) = f_{a} (t) f_{b} (1 - t)$ . On note, pour tout couple $(a, b)$ de réels positifs ou nuls tel que l'intégrale $\int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ existe, $I (a, b) = \int_{0}^{1} h_{a, b} (t) d t$ Pour tout réel positif ou nul $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose, si l'intégrale existe, $F_{n} (x) = \int_{0}^{n} (1 - (u / n))^{n} u^{x} d u$ On montre que, pour tout $x$ réel positif ou nul et pour tout $n$ entier naturel non nul,
Intégration
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ . Soient $x$ un réel positif ou nul et $n$ un entier naturel non nul, pour tout $u$ appartenant à l'intervalle $] 0, n [$ , on a
Intégration
Pour tout réel positif ou nul $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose, si l'intégrale existe, $F_{n} (x) = \int_{0}^{n} (1 - (u / n))^{n} u^{x} d u$ Pour tout $x$ réel positif ou nul fixé, la suite de terme général $F_{n} (x)$ , $n$ entier naturel non nul,
Suites et séries numériques
Pour tout réel $α$ strictement positif, on note $g_{α}$ l'application qui à $x$ associe $g_{α} (x) = x ln (1 - (α / x))$ . Pour tout réel positif ou nul $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose, si l'intégrale existe, $F_{n} (x) = \int_{0}^{n} (1 - (u / n))^{n} u^{x} d u$ Soient $x$ un réel positif ou nul et $n$ un entier naturel non nul, pour tout $u$ appartenant à l'intervalle $] 0, n [$ , on a
Intégration
Pour tout réel positif ou nul $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose, si l'intégrale existe, $F_{n} (x) = \int_{0}^{n} (1 - (u / n))^{n} u^{x} d u$ $x$ étant toujours un réel positif ou nul et $n$ un entier naturel non nul, on montre que :
Intégration
Pour tout réel positif ou nul $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose, si l'intégrale existe, $F_{n} (x) = \int_{0}^{n} (1 - (u / n))^{n} u^{x} d u$ $x$ étant un réel positif ou nul fixé, la suite de terme général $F_{n} (x)$ , $n$ entier naturel non nul, est
Suites et séries numériques
Pour tout réel positif ou nul $x$ et pour tout entier naturel non nul $n$ , on pose, si l'intégrale existe, $F_{n} (x) = \int_{0}^{n} (1 - (u / n))^{n} u^{x} d u$ Soit $x$ un réel positif ou nul fixé, on note $F (x)$ la limite, si elle existe, de la suite de terme général $F_{n} (x)$ , $n$ entier naturel non nul. On montre que :
Intégration
Partie III
On considère l'équation différentielle $(E) (1 - x)^{2} y^{'} = (2 - x) y$ On note $I$ l'intervalle $] - \infty, 1 [$ . On désigne par $e$ la fonction exponentielle.
On considère l'équation différentielle $(E) (1 - x)^{2} y^{'} = (2 - x) y$ On note $I$ l'intervalle $] - \infty, 1 [$ . On désigne par $e$ la fonction exponentielle.

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle $I$ est
Fonctions, limites et développements limités
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $I$ respectivement par $f (x) = \frac{1}{1 - x} e^{1/ (1 - x)} et g (x) = \frac{1}{1 - x} e^{- 1/ (1 - x)}$ Les développements limités des fonctions $f$ et $g$ au voisinage de 0 à l'ordre 3 s'écrivent
Fonctions, limites et développements limités
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par $f (x) = \frac{1}{1 - x} e^{1/ (1 - x)}$ Pour tout entier naturel $n$ , on désigne par $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ sur $I$ . On suppose que pour tout entier naturel $n$ il existe un polynôme $P_{n}$ tel que $f^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{1 - x}) e^{1/ (1 - x)}$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ . On établit alors que :
Fonctions, limites et développements limités
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par $f (x) = \frac{1}{1 - x} e^{1/ (1 - x)}$ Pour tout entier naturel $n$ , on désigne par $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ sur $I$ . On suppose que pour tout entier naturel $n$ il existe un polynôme $P_{n}$ tel que $f^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{1 - x}) e^{1/ (1 - x)}$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ . On déduit, en dérivant $n$ fois les deux membres de l'équation (E), que, pour tout $n$ entier naturel non nul,
Polynômes
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par $f (x) = \frac{1}{1 - x} e^{1/ (1 - x)}$ Pour tout entier naturel $n$ , on désigne par $f^{(n)}$ la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ sur $I$ . On suppose que pour tout entier naturel $n$ il existe un polynôme $P_{n}$ tel que $f^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{1 - x}) e^{1/ (1 - x)}$ pour tout réel $x$ appartenant à $I$ . Pour tout $n$ entier naturel, on pose $a_{n} = f^{(n)} (0)$ .

On montre que :
Fonctions, limites et développements limités
On désigne par $(u_{p})$ la suite définie pour tout entier naturel $p$ par $u_{p} = k = 0 \sum p 1/ k!$ . Pour tous entiers naturels $n$ et $p$ , on pose $S_{p} (n) = k = 0 \sum p (n + k)! / (k!)^{2}$ .

On montre que :
Suites et séries numériques
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par $f (x) = \frac{1}{1 - x} e^{1/ (1 - x)}$ Pour tout $n$ entier naturel, on pose $a_{n} = f^{(n)} (0)$ . Pour tous entiers naturels $n$ et $p$ , on pose $S_{p} (n) = k = 0 \sum p (n + k)! / (k!)^{2}$ . Pour tout couple $(n, p)$ d'entiers strictement positifs, on établit que :
Suites et séries numériques

Aperçu de l'épreuve

Partie I

Partie II

Partie III