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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2014

2014

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
On note $G L_{n} (R)$ le sous-ensemble de $M_{n, n} (R)$ (matrices carrées de dimension $n$ ), formé des matrices inversibles. On l'appelle le groupe linéaire d'ordre $n$ . La notation « $\cdot$ » désigne le produit matriciel.
A $G L_{n} (R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_{n, n} (R)$ .
B $G L_{n} (R)$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $M_{n, n} (R)$ .
Algèbre linéaire et matrices
$E_{i, j}$ désigne la matrice élémentaire dont tous les termes sont nuls, sauf $e_{ij} = 1$ . $I$ désigne la matrice identité de $R^{n}$ .
APour toute matrice élémentaire $E_{i, j}$ , $i \neq = j$ , la matrice $I + E_{i, j}$ est inversible et admet un inverse de la forme $I + α E_{i, j}$ , avec $α \in R$ .
Algèbre linéaire et matrices
$E_{i, j}$ désigne la matrice élémentaire dont tous les termes sont nuls, sauf $e_{ij} = 1$ . On appelle centralisateur de $G L_{n} (R)$ , noté $C (G L_{n} (R))$ , l'ensemble des matrices de $G L_{n} (R)$ qui commutent avec toute matrice inversible. On a :
Algèbre linéaire et matrices
Soit la matrice $P = 1 - 1 10 1011 01 - 1 - 1 - 1 101 \in M_{n, n} (R) .$
Algèbre linéaire et matrices
Une matrice $A$ est dite nilpotente si $A^{k} = 0$ et $A^{k - 1} \neq = 0$ . On note $N_{n} (R)$ le sous-ensemble des matrices de $M_{n, n} (R)$ formé des matrices nilpotentes.
Algèbre linéaire et matrices
Partie II
Soit $f : [0; 1] \to R$ une fonction continue et $n \in N^{*}$ . On pose $u_{n} (f) = (\int_{0}^{1} ∣ f (t) ∣^{n} d t)^{1/ n}$ .
Soit $λ$ un nombre réel, on a :
A $u_{n} (λ f) = λ^{n} u_{n} (f)$ .
B $u_{n} (λ f) = λ^{1/ n} u_{n} (f)$ .
Intégration
On suppose que $f (x) ⩾ 0$ pour tout $x \in [0; 1]$ , et que le maximum de la fonction $f$ est égal à $1$ . Soit $ε > 0$ .
APour tout entier $n ⩾ 1$ , on a $u_{n} (f) ⩾ 1$ .
Intégration
Soit $g : [0; 1] \to R$ une fonction continue, et $M$ le maximum de la fonction $x \mapsto ∣ g (x) ∣$ sur $[0; 1]$ .
A $n \to \infty lim u_{n} (g) = M$ .
Intégration
Partie III
Pour tout entier $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{π /2} (cos t)^{n} d t$ .
ALa suite $I_{n}$ est croissante.
BLa suite $I_{n}$ est décroissante.
CLa suite $I_{n}$ n'est ni croissante, ni décroissante.
DIl existe $n_{0} \in N$ tel que la suite $I_{n}$ soit décroissante pour $n ⩾ n_{0}$ .
Intégration
On a :
A $I_{0} = 1$ .
B $I_{0} = \frac{π}{2}$ .
Intégration
À l'aide d'une intégration par parties, on montre que la suite $I_{n}$ satisfait la propriété :
A $(n + 1) I_{n + 1} = n I_{n}$ .
Intégration
On en déduit que la suite $I_{n}$ vérifie :
A $n \to \infty lim (n I_{n} I_{n - 1}) = \frac{π}{2}$ .
Intégration
On déduit des résultats précédents :
A $n \to \infty lim n (I_{n})^{2} = \frac{2}{π}$ .
Intégration
On peut montrer que :
A $I_{2 n} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n - 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n}$ pour tout $n ⩾ 1$ .
Intégration
On déduit des résultats précédents que :
A $n \to \infty lim \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{π}$ .
Intégration
Pour tout entier $n \in N$ et tout nombre $x \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , on pose $F_{n} (x) = \int_{0}^{x} (tan t)^{n} d t .$ On a :
Intégration
Pour tout entier $n \in N$ et tout nombre $x \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , on pose $F_{n} (x) = \int_{0}^{x} (tan t)^{n} d t .$ Pour $∣ x ∣ < \frac{π}{2}$ , on a l'égalité
Intégration
Pour tout entier $n \in N$ et tout nombre $x \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$ , on pose $F_{n} (x) = \int_{0}^{x} (tan t)^{n} d t .$ On en déduit :
Intégration
Pour tout entier $n$ , on pose $J_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan t)^{n} d t .$
A
Intégration
Pour tout entier $n$ , on pose $J_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan t)^{n} d t .$ Soit $a$ un réel vérifiant $0 < a < \frac{π}{4}$ . On peut montrer que :
Intégration
Pour tout entier $n$ , on pose $J_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan t)^{n} d t .$ On en déduit :
A
Intégration
Pour tout entier $n$ , on pose $J_{n} = \int_{0}^{π /4} (tan t)^{n} d t .$ Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on a l'égalité :
Suites et séries numériques
On peut ainsi en déduire que :
A $n \to \infty lim (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n - 1}) = \frac{π}{4}$ .
Suites et séries numériques
Partie IV
Soient $n \in N ∖ {0; 1}$ et ${ω_{0}, \dots, ω_{n - 1}}$ les racines $n$ -ièmes de l'unité : $ω_{k} = ω^{k}$ avec $ω = e^{i 2 π / n}$ . Soit $p \in N$ . On note $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ .
On établit que :
A $k = 0 \sum n - 1 ω_{k}^{p} = \frac{1 + ω ^{n p}}{1 - ω ^{p}}$ si $ω^{p} \neq = 1$ .
Nombres complexes
Un calcul permet d'obtenir :
A $k = 0 \sum n - 1 (k n) ω_{k} = 2^{n} cos^{n} \frac{π}{n} - 1$ .
Nombres complexes
Le produit $k = 1 \prod n - 1 ω_{k}$ vaut :
A $(- 1)^{n}$ .
B $(- 1)^{n - 1}$ .
Nombres complexes
Dans toute la suite, $E (x)$ désigne la fonction « partie entière de $x$ », et $j$ est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive. On a :
A $(1 + 1)^{n} = k = 0 \sum n 2 (k n)$ .
Nombres complexes
$j$ est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive. De même,
A $(1 + j^{2})^{n} = k = 0 \sum n (k n) \overline{j}^{2 k}$ .
Nombres complexes
$E (x)$ désigne la fonction « partie entière de $x$ », et $j$ est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive. On pose $Z_{n} = 2^{n} + (1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n}$ . La notation $k \equiv j (n)$ signifie que le reste de la division euclidienne de $k$ par $n$ est $j$ . On souhaite distinguer les cas selon lesquels $k \equiv 0 (3)$ , $k \equiv 1 (3)$ ou $k \equiv 2 (3)$ . On a la décomposition suivante :
Nombres complexes
$E (x)$ désigne la fonction « partie entière de $x$ », et $j$ est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive. On pose $Z_{n} = 2^{n} + (1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n}$ . On obtient alors :
Nombres complexes
$j$ est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive. On remarque que :
A $(1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n} = - 2 Re ((1 + j)^{n})$ .
Nombres complexes
$E (x)$ désigne la fonction « partie entière de $x$ », et $j$ est la racine cubique de l'unité dont la partie imaginaire est strictement positive. Il en résulte que :
A $(1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n} = - 2 cos \frac{nπ}{3}$ .
Nombres complexes
Partie V
Soit $(a, b, c) \in C^{3}$ . On considère le système $(S)$ : $x + y + z = a$ , $x + j y + j^{2} z = b$ , $x + j^{2} y + j z = c$ , où $j$ désigne la racine cubique de l'unité de partie imaginaire strictement positive.
AQuels que soient $(a, b, c) \in C^{3}$ , le système $(S)$ n'admet pas de solution dans $C^{3}$ .
BQuels que soient $(a, b, c) \in C^{3}$ , le système $(S)$ admet une solution unique dans $C^{3}$ .
Nombres complexes
Une solution de $(S)$ est alors :
A $(x, y, z) = (\frac{a + b j ^{2} + c j}{3}, \frac{a + b + c}{3}, \frac{a + bj + c j ^{2}}{3})$ .
Nombres complexes
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution de $(S)$ soit réelle (i.e. $(x, y, z) \in R^{3}$ ) est :
A $a \in R$ et $b = c$ .
B $a \in R$ et $b = \overline{c}$ .
Nombres complexes
Une solution réelle de $(S)$ est alors :
A $(x, y, z) = (\frac{a + 2 Re ( b )}{3}, \frac{a + 2 Re ( b j ^{2} )}{3}, \frac{a + 2 Re ( bj )}{3})$ .
Nombres complexes

(G L_{n} (R), \cdot)

est un groupe commutatif.

(G L_{n} (R), \cdot)

n'est pas un groupe commutatif.

EAucune des propositions n'est exacte

BPour toute matrice élémentaire

E_{i, j}

i \neq = j

, la matrice

I + E_{i, j}

n'est pas inversible.

CPour toute matrice élémentaire

E_{i, i}

, la matrice

I + E_{i, i}

est inversible et admet un inverse de la forme

I + α E_{i, i}

, avec

α \in R

DPour toute matrice élémentaire

E_{i, i}

, la matrice

I + E_{i, i}

n'est pas inversible.

EAucune des propositions n'est exacte

A $C (G L_{n} (R)) = G L_{n} (R)$ .
B $C (G L_{n} (R)) = {i = 1 \sum n α_{i} E_{i, i}, (α_{1}, \dots, α_{n}) \in R^{n}}$ .
C $C (G L_{n} (R)) = {i = 1 \sum n α E_{i, i}, α \in R}$ .
D $C (G L_{n} (R)) = {i = 1 \sum n j = 1 \sum n α_{i} E_{i, j}, (α_{1}, \dots, α_{n}) \in R^{n}}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

ALa matrice $P$ est inversible, et $P^{- 1} = 110 - 1 - 1 011 11 - 1 0 01 - 1 1 .$
BLa matrice $P$ est inversible, et $P^{- 1} = - 1 10 - 1 1011 3 - 1 12 - 2 1 - 1 - 1 .$
CLa matrice $P$ est inversible, et $P^{- 1} = 110 - 1 0011 1 - 1 - 1 2 01 - 1 - 1 .$
DLa matrice $P$ n'est pas inversible.
EAucune des propositions n'est exacte

ALa somme de 2 matrices nilpotentes est une matrice nilpotente.
BLe produit de 2 matrices nilpotentes est une matrice nilpotente.
CLa somme de 2 matrices nilpotentes n'est jamais inversible.
DSi $A \in N_{n} (R)$ matrice nilpotente d'ordre $k$ , alors on a $k ⩽ n$ .
EAucune des propositions n'est exacte

u_{n} (λ f) = λ u_{n} (f)

u_{n} (λ f) = ∣ λ ∣ u_{n} (f)

EAucune des propositions n'est exacte

BIl existe des nombres

u

v

vérifiant

0 ⩽ u < v ⩽ 1

tels que

f (x) ⩾ 1 - ε

pour tout

x \in [u; v]

CPour tout entier

n ⩾ 1

u_{n} (f)

vérifie

u_{n} (f) ⩽ (v - u)^{1/ n} (1 - ε)

DLa suite

u_{n} (f)

admet pour limite

1

EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim u_{n} (g) = \frac{1}{M}

n \to \infty lim u_{n} (g) = ∣ M ∣

n \to \infty lim u_{n} (g) = \frac{1}{∣ M ∣}

EAucune des propositions n'est exacte

I_{1} = \frac{π}{4}

EAucune des propositions n'est exacte

n I_{n + 2} = (n + 2) I_{n}

(n + 2) I_{n + 2} = n I_{n}

(n + 1) I_{n + 2} = (n + 2) I_{n}

EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim (n I_{n} I_{n - 1}) = 1

n \to \infty lim (I_{n - 1} / I_{n}) = 1

n \to \infty lim (I_{n - 1} / I_{n}) = \frac{π}{2}

EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim n (I_{n})^{2} = \frac{π}{2}

n \to \infty lim I_{n} = \frac{2}{π}

n \to \infty lim I_{n} = \frac{π}{2}

EAucune des propositions n'est exacte

I_{2 n} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n}

pour tout

n ⩾ 1

I_{2 n} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n - 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n} \cdot \frac{π}{2}

pour tout

n ⩾ 1

I_{2 n} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n} \cdot \frac{π}{2}

pour tout

n ⩾ 1

EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{π}

n \to \infty lim \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{π}

n \to \infty lim \frac{1 \times 3 \times \dots \times ( 2 n + 1 )}{2 \times 4 \times \dots \times 2 n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{2}{π}

EAucune des propositions n'est exacte

A $F_{1} (x) = 1 + tan^{2} x$ .
B $F_{1} (x) = x$ .
C $F_{2} (x) = tan x - x$ .
D $F_{2} (x) = 2 (tan x + tan^{3} x)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $F_{n + 2} (x) + F_{n} (x) = \frac{1}{n - 1} (tan x)^{n - 1}$ .
B $F_{n + 2} (x) + F_{n} (x) = \frac{1}{n} (tan x)^{n}$ .
C $F_{n + 2} (x) + F_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} (tan x)^{n + 1}$ .
D $F_{n + 2} (x) + F_{n} (x) = \frac{1}{n + 2} (tan x)^{n + 2}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $F_{4} (x) = \frac{tan ^{2} x}{2} - tan x + x$ .
B $F_{4} (x) = \frac{tan ^{3} x}{3} - tan x + x$ .
C $F_{4} (x) = \frac{tan ^{4} x}{4} - tan x + x$ .
D $F_{4} (x) = - \frac{tan x}{2} + x$ .
EAucune des propositions n'est exacte

La suite

J_{n}

est croissante et convergente.

BLa suite

J_{n}

est décroissante et convergente.

CLa suite

J_{n}

est croissante et divergente.

DLa suite

J_{n}

est décroissante et divergente.

EAucune des propositions n'est exacte

A $J_{n} ⩾ a (tan a)^{n} + \frac{π}{4} - a$ .
B $J_{n} ⩽ a (tan a)^{n} + \frac{π}{4} - a$ .
C $J_{n} ⩾ \frac{π}{4} + a$ .
D $J_{n} ⩽ \frac{π}{4} + a$ .
EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim J_{n} = \frac{π}{4}

n \to \infty lim J_{n} = 1 - \frac{π}{4}

n \to \infty lim J_{n} = 0

n \to \infty lim J_{n} = + \infty

EAucune des propositions n'est exacte

A $\frac{π}{4} + (- 1)^{n} J_{2 n + 2} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n - 1}$ .
B $\frac{π}{4} + (- 1)^{n} J_{2 n + 2} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 n + 1}$ .
C $\frac{π}{4} + (- 1)^{n} J_{2 n + 2} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{2 n - 1}$ .
D $\frac{π}{4} + (- 1)^{n} J_{2 n + 2} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 n + 1}) = \frac{π}{4}

n \to \infty lim (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{2 n - 1}) = \frac{π}{4}

n \to \infty lim (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}) = \frac{π}{4}

EAucune des propositions n'est exacte

k = 0 \sum n - 1 ω_{k}^{p} = \frac{1 - ω ^{n p}}{1 - ω ^{p}}

ω^{p} \neq = 1

k = 0 \sum n - 1 ω_{k}^{p} = n

ω^{p} = 1

k = 0 \sum n - 1 ω_{k}^{p} = 1

ω^{p} = 1

EAucune des propositions n'est exacte

k = 0 \sum n - 1 (k n) ω_{k} = - 2^{n} cos^{n} \frac{π}{n} + 1

k = 0 \sum n - 1 (k n) ω_{k} = 2^{n} cos^{n} \frac{π}{n} + 1

k = 0 \sum n - 1 (k n) ω_{k} = - 2^{n} cos^{n} \frac{π}{n} - 1

EAucune des propositions n'est exacte

(- 1)^{n - 1} \cdot ω

(- 1)^{n} \cdot ω

EAucune des propositions n'est exacte

(1 + 1)^{n} = k = 0 \sum n (k n)

(1 + j)^{n} = k = 0 \sum n (k n) j^{k}

(1 + j)^{n} = k = 0 \sum n (k n) j^{2 k}

EAucune des propositions n'est exacte

(1 + j^{2})^{n} = k = 0 \sum n (k n) j^{k}

CEn posant

Z_{n} = 2^{n} + (1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n}

, on obtient

Z_{n} = k = 0 \sum n (k n) (2 + j^{k} + j^{2 k})

DEn posant

Z_{n} = 2^{n} + (1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n}

, on obtient

Z_{n} = k = 0 \sum n (k n) (1 + j^{k} + \overline{j}^{2 k})

EAucune des propositions n'est exacte

A $Z_{n} = k = 0 \sum E ((n - 2) /3) (3 k n) (1 + j^{3 k} + j^{6 k}) + k = 0 \sum E ((n - 1) /3) (3 k + 1 n) (1 + j^{3 k + 1} + j^{6 k + 2}) + k = 0 \sum E (n /3) (3 k + 2 n) (1 + j^{3 k + 2} + j^{6 k + 4})$ .
B $Z_{n} = k = 0 \sum E ((n - 1) /3) (3 k n) (1 + j^{3 k} + j^{6 k}) + k = 0 \sum E (n /3) (3 k + 1 n) (1 + j^{3 k + 1} + j^{6 k + 2}) + k = 0 \sum E ((n + 1) /3) (3 k + 2 n) (1 + j^{3 k + 2} + j^{6 k + 4})$ .
C $Z_{n} = k = 0 \sum E ((n - 1) /3) (3 k - 1 n) (1 + j^{3 k} + j^{6 k}) + k = 0 \sum E (n /3) (3 k n) (1 + j^{3 k + 1} + j^{6 k + 2}) + k = 0 \sum E ((n + 1) /3) (3 k + 1 n) (1 + j^{3 k + 2} + j^{6 k + 4})$ .
D $Z_{n} = k = 0 \sum E (n /3) (3 k n) (1 + j^{3 k} + j^{6 k}) + k = 0 \sum E ((n - 1) /3) (3 k + 1 n) (1 + j^{3 k + 1} + j^{6 k + 2}) + k = 0 \sum E ((n - 2) /3) (3 k + 2 n) (1 + j^{3 k + 2} + j^{6 k + 4})$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $Z_{n} = 3 k = 0 \sum E (n /3) (3 k n)$ .
B $Z_{n} = 3 k = 0 \sum E ((n - 1) /3) (3 k n)$ .
C $Z_{n} = 3 k = 0 \sum E ((n - 2) /3) (3 k n)$ .
D $Z_{n} = 3 k = 0 \sum E ((n - 1) /3) (3 k - 1 n)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

(1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n} = 2 Im ((1 + j)^{n})

(1 + j)^{n} = 2^{n} cos^{n} \frac{π}{3} e^{\frac{inπ}{3}}

(1 + j^{2})^{n} = e^{- \frac{inπ}{3}}

EAucune des propositions n'est exacte

(1 + j)^{n} + (1 + j^{2})^{n} = 2 sin \frac{nπ}{3}

k = 0 \sum E (n /3) (3 k n) = \frac{1}{3} (2^{n} + 2 cos \frac{nπ}{3})

k = 0 \sum E (n /3) (3 k n) = \frac{1}{3} (2^{n} + 2 sin \frac{nπ}{3})

EAucune des propositions n'est exacte

CQuels que soient

(a, b, c) \in C^{3}

, le système

(S)

admet une infinité de solutions dans

C^{3}

DIl existe un sous-ensemble

E \subset C^{3}

E \neq = C^{3}

, tel que le système

(S)

admet une solution si

(a, b, c) \in E

et aucune solution si

(a, b, c) \in / E

EAucune des propositions n'est exacte

(x, y, z) = (\frac{a + b + c}{3}, \frac{a + bj + c j ^{2}}{3}, \frac{a + b j ^{2} + c j}{3})

(x, y, z) = (\frac{a + b + c}{3}, \frac{a + b j ^{2} + c j}{3}, \frac{a + bj + c j ^{2}}{3})

(x, y, z) = (\frac{a + b j ^{2} + c j}{3}, \frac{a + bj + c j ^{2}}{3}, \frac{a + b + c}{3})

EAucune des propositions n'est exacte

(a, b, c) \in R^{3}

a \in R

(b, c) \in i R^{2}

EAucune des propositions n'est exacte

(x, y, z) = (\frac{a + 2 Im ( b )}{3}, \frac{a + 2 Im ( bj )}{3}, \frac{a + 2 Im ( b j ^{2} )}{3})

(x, y, z) = (\frac{a + 2 b}{3}, \frac{a + 2 Re ( b j ^{2} )}{3}, \frac{a + 2 Re ( bj )}{3})

(x, y, z) = (\frac{a + 2 Re ( b )}{3}, \frac{a + 2 Re ( bj )}{3}, \frac{a + 2 Re ( b j ^{2} )}{3})

EAucune des propositions n'est exacte

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