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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2015

2015

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
On donne $a$ , $b$ et $c$ trois entiers relatifs et $n$ un entier naturel. Nous rappelons que l'écriture $a \equiv b [n]$ , qui représente la relation de congruence, signifie que $a - b$ est divisible par $n$ , autrement dit qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $a - b = k \times n$ .
On démontre que la relation de congruence :
AEst une relation d'ordre.
BEst une relation d'ordre total.
CEst une relation d'équivalence.
DEst une relation qui ne confère aucune structure à l'ensemble des nombres entiers.
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
Parmi les propositions suivantes, quelle(s) propriété(s) est (sont) vraie(s) ?
ASi $P$ est un polynôme à coefficients entiers et si $a \equiv b [n]$ alors $P (a) \equiv P (b) [n]$ .
BSi $a \times c \equiv b \times c [n]$ alors $a \equiv b [n]$ .
Algèbre linéaire et matrices
A $5^{4} \equiv - 1 [13]$ .
B $5^{4} \equiv 1 [13]$ .
C $5^{4} \equiv 7 [13]$ .
Algèbre linéaire et matrices
On en déduit alors que pour tout couple d'entiers naturels $(k, r)$ :
A $5^{4 k + r} \equiv (- 1)^{k} \times 5^{r} [13]$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel. Les restes possibles de la division de $5^{n}$ par $13$ sont :
A $1$ , $5$ , $- 1$ et $- 5$ .
B $1$ , $5$ , $8$ et $12$ .
C
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel. On définit l'entier $A_{n}$ par $A_{n} = 1 + 5^{n} + 5^{2 n} + 5^{3 n}$ . On démontre que $A_{n} \equiv 0 [13]$ si et seulement si :
Algèbre linéaire et matrices
Partie II
Soit $f$ la fonction définie pour $x$ nombre réel strictement positif par $f (x) = \int_{x}^{2 x} \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$ . On note $C_{f}$ la représentation graphique de $f$ .
On établit que $f$ est définie car :
ALa fonction $g : t \mapsto \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )}$ est continue pour tout nombre réel strictement positif.
BLa fonction $g : t \mapsto \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )}$ est non nulle pour tout nombre réel strictement positif.
Intégration
On démontre que pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
A $f^{'} (x) = \frac{1}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ .
B $f^{'} (x) = \frac{ln ( x ^{4} + 2 x ^{2} + 1 ) - ln ( 1 + 4 x ^{2} )}{ln ( 1 + 4 x ^{2} ) ln ( 1 + x ^{2} )}$ .
Intégration
On en déduit alors que $f$ est :
AStrictement croissante pour tout réel $x$ strictement positifs.
BStrictement décroissante pour tout réel $x$ strictement positifs.
CStrictement décroissante pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $] 0, 2]$ et strictement croissante pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[2, + \infty [$ .
Fonctions, limites et développements limités
On note $g$ la fonction $t \mapsto \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )}$ , intégrée dans $f$ (notation de la question 7). On démontre que $x \to 0 lim f (x) = + \infty$ car pour tout réel $x$ strictement positif, nous avons, $\forall t \in [x, 2 x]$ :
Intégration
De façon plus précise, on démontre que la fonction $f$ vérifie pour tout $x$ nombre réel strictement positif :
A $\frac{2 x}{ln ( 1 + 2 x ^{2} )} ⩽ f (x) ⩽ \frac{2 x}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ .
Intégration
On démontre alors que pour $x$ tendant vers $+ \infty$ , nous avons :
A $f (x) \sim \frac{2 ln x}{x}$ .
B $f (x) \sim \frac{x}{2 ln x}$ .
Intégration
On en déduit que la courbe représentative $C_{f}$ de cette fonction $f$ :
AAdmet une asymptote verticale.
BAdmet une asymptote horizontale.
CAdmet une branche parabolique d'axe l'axe des abscisses.
DAdmet une branche parabolique d'axe l'axe des ordonnées.
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités
Partie III
Soit $n$ un entier naturel non nul. On définit pour tout nombre réel $x$ la fonction $f_{n}$ par $f_{n} (x) = x^{5} + n x - 1$ .
Après étude des variations de la fonction $f_{n}$ :
AOn démontre que pour tout entier naturel non nul $n$ , l'équation $f_{n} (x) = 0$ admet une unique solution sur l'ensemble des réels que l'on note $u_{n}$ .
Suites et séries numériques
On démontre que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1, e]$ :
A $(u_{n})$ est croissante car $f_{n}$ est croissante.
B $(u_{n})$ est décroissante car $f_{n}$ est croissante.
Suites et séries numériques
On en déduit que $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ car pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1, e]$ :
A $0 < u_{n} < \frac{1}{n}$ .
Suites et séries numériques
AOn démontre que $u_{n} \sim \frac{1}{2 n}$ .
BOn démontre que $u_{n} \sim \frac{1}{n}$ .
Suites et séries numériques
On démontre que :
A $\frac{1}{n} - u_{n} \sim \frac{1}{n ^{6}}$ .
Suites et séries numériques
Partie IV
Soit $k$ la fonction définie par $k (x) = x - ln (1 + x^{2})$ . On note $C_{k}$ la courbe représentative de $k$ dans un repère orthonormé. On donne la valeur approchée $ln 2 \approx 0, 69$ .
On établit que :
ALa fonction $k$ est définie, continue et dérivable sur l'ensemble des réels positifs.
BLa fonction $k$ est définie, continue et dérivable sur l'ensemble des réels négatifs.
CLa fonction $k$ est définie, continue et dérivable uniquement sur l'ensemble des réels strictement positifs.
DLa fonction $k$ est définie, continue et dérivable uniquement sur l'ensemble des réels strictement négatifs.
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités
On établit que la fonction $k$ est strictement croissante car :
A $k^{'} (x) = \frac{( 1 + x ) ^{2}}{1 + x ^{2}}$ .
Fonctions, limites et développements limités
On en déduit que $C_{k}$ admet au point d'abscisse $0$ une tangente :
AHorizontale.
BD'équation $y = 2 x$ .
CD'équation $y = x$ .
DVerticale.
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités
On en déduit que $C_{k}$ admet au point d'abscisse $1$ une tangente :
AHorizontale.
BD'équation $y = 2 x$ .
CD'équation $y = \frac{3}{2} x$ .
Fonctions, limites et développements limités
On démontre que $x \to + \infty lim k (x) = + \infty$ car pour tout réel $x$ strictement positif :
A $k (x) = x [1 - 2 \frac{ln x}{x} - \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x ^{2}} )}{x}]$ .
Fonctions, limites et développements limités
Pour tout entier naturel $n$ , on définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = k (u_{n})$ . On peut alors établir que :
Suites et séries numériques
Pour tout entier naturel $n$ , on définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = k (u_{n})$ . On démontre que la suite $(u_{n})$ est convergente vers $l$ car :
Suites et séries numériques
Pour tout entier naturel $n$ , on définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = k (u_{n})$ . La suite $(u_{n})$ est convergente vers $l$ . On établit que cette limite $l$ est l'unique solution de l'équation $k (l) = l$ car :
Suites et séries numériques
On démontre que pour tout $x$ :
ADe l'intervalle $[0, 1]$ , nous avons $k (x) ⩽ x - \frac{1}{2} x^{2}$ .
BDe l'intervalle $[0, + \infty [$ , nous avons $k (x) ⩽ x - \frac{1}{2} x^{2}$ .
Fonctions, limites et développements limités
Pour tout entier naturel $n$ , on définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = k (u_{n})$ . On en déduit que :
Suites et séries numériques
Pour tout entier naturel $n$ , on définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = k (u_{n})$ . Pour tout entier naturel $n$ , on définit deux suites $(S_{n})$ et $(T_{n})$ telles que $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}^{2}$ et $T_{n} = k = 0 \sum n 2 (u_{k} - u_{k + 1})$ . On démontre que :
Suites et séries numériques
Pour tout entier naturel $n$ , on définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = k (u_{n})$ . Pour tout entier naturel $n$ , on définit deux suites $(S_{n})$ et $(T_{n})$ telles que $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}^{2}$ et $T_{n} = k = 0 \sum n 2 (u_{k} - u_{k + 1})$ . On démontre que :
Suites et séries numériques
Partie V
On note $M_{n} (C)$ l'ensemble des matrices carrées $n \times n$ dont les coefficients sont des nombres complexes. Soit $A = (a_{ij})_{1 ⩽ i, j ⩽ n}$ une matrice de $M_{n} (C)$ qui vérifie la propriété suivante, que l'on note $P (n)$ : il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $A^{n} + A^{n - 1} + \dots + A + I = (0)$ , $(0)$ étant la matrice nulle.
On établit que :
A $A$ est inversible d'inverse $A^{n}$ .
B $A$ n'est pas inversible.
C $A$ est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier naturel $k$ tel que : $A^{k} = (0)$ et $A^{k - 1} \neq = (0)$ .
Algèbre linéaire et matrices
On démontre que la matrice $A = 2 i + 1 0 2 i + 2 i + 1 i 2 i + 2 - i - 1 0 - i - 2$ :
Algèbre linéaire et matrices
$λ$ étant un nombre complexe non nul, en s'inspirant du résultat $\frac{1}{1 - \frac{a}{λ}} = k = 0 \sum + \infty (\frac{a}{λ})^{k}$ appliqué aux matrices, on démontre que, $A$ nilpotente implique que $A - λ I$ :
Algèbre linéaire et matrices
$A = (a_{ij})_{1 ⩽ i, j ⩽ n}$ vérifie à présent pour tout $1 ⩽ i ⩽ n$ , $∣ a_{ii} ∣ > j \neq = i \sum n ∣ a_{ij} ∣$ . On démontre que :
Algèbre linéaire et matrices
On démontre que la matrice $B = - 1 10 - 1 20 - 3 01$ :
Algèbre linéaire et matrices
On démontre que la matrice $C = 1 - 1 - 1 1311 - 2 48$ :
Algèbre linéaire et matrices

CSi

a \equiv b [n]

et si un entier naturel

m

divise

n

alors

a \equiv b [m]

DSi un nombre entier naturel

d

divise

a

b

alors

\frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} [n]

EAucune des propositions n'est exacte

5^{4} \equiv 0 [13]

EAucune des propositions n'est exacte

5^{4 k + r} \equiv 0 [13]

5^{4 k + r} \equiv 5^{r} [13]

5^{4 k + r} \equiv 7^{k} \times 5^{r} [13]

EAucune des propositions n'est exacte

1

2

5

10

1

5

7

9

EAucune des propositions n'est exacte

A $n$ est un multiple de $4$ .
B $n$ n'est pas un multiple de $4$ .
C $n$ est un multiple de $5$ .
D $n$ n'est pas un multiple de $5$ .
EAucune des propositions n'est exacte

CL'intervalle

[x, 2 x]

est inclus dans l'ensemble des réels strictement positifs.

DLa fonction

h : t \mapsto ln (1 + t^{2})

est croissante pour tout nombre réel strictement positif.

EAucune des propositions n'est exacte

f^{'} (x) = \frac{ln ( 1 + x ^{2} ) - ln ( 1 + 4 x ^{2} )}{ln ( 1 + 4 x ^{2} ) ln ( 1 + x ^{2} )}

f^{'} (x) = \frac{ln ( 1 + x ^{2} ) - ln ( 1 + 2 x ^{2} )}{ln ( 1 + 2 x ^{2} ) ln ( 1 + x ^{2} )}

EAucune des propositions n'est exacte

DStrictement décroissante pour tout réel

x

appartenant à l'intervalle

[2, + \infty [

et strictement croissante pour tout réel

x

appartenant à l'intervalle

] 0, 2]

EAucune des propositions n'est exacte

A $\frac{1}{ln ( 1 + x ^{2} )} ⩽ g (t)$ .
B $\frac{x}{ln ( 1 + 2 x ^{2} )} ⩽ g (t)$ .
C $\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} ⩽ g (t)$ .
D $\frac{1}{ln ( 1 + 2 x ^{2} )} ⩽ g (t)$ .
EAucune des propositions n'est exacte

\frac{x}{ln ( 1 + 2 x ^{2} )} ⩽ f (x) ⩽ \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}

\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} ⩽ f (x) ⩽ \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}

\frac{1}{ln ( 1 + 2 x ^{2} )} ⩽ f (x) ⩽ \frac{1}{ln ( 1 + x ^{2} )}

EAucune des propositions n'est exacte

f (x) \sim \frac{ln x}{x}

f (x) \sim \frac{x}{ln x}

EAucune des propositions n'est exacte

BOn démontre que pour tout entier naturel non nul

n

, l'équation

f_{n} (x) = 0

admet deux solutions réelles que l'on note

u_{n}

v_{n}

COn démontre que pour tout entier naturel non nul

n

, l'équation

f_{n} (x) = 0

n'admet pas de solution réelle.

DOn ne peut rien dire quant à l'équation

f_{n} (x) = 0

EAucune des propositions n'est exacte

(u_{n})

est croissante puis décroissante.

DOn ne peut rien dire quant aux variations de

(u_{n})

EAucune des propositions n'est exacte

0 < u_{n} < \frac{1}{2 n}

0 < u_{n} < \frac{1}{3 n}

0 < u_{n} < \frac{1}{4 n}

EAucune des propositions n'est exacte

COn démontre que

u_{n} \sim \frac{1}{n - 1}

DIl n'est pas possible de trouver un équivalent de cette suite.

EAucune des propositions n'est exacte

\frac{1}{n} - u_{n} \sim \frac{1}{2 n ^{6}}

\frac{1}{n} - u_{n} \sim \frac{1}{n ^{5}}

\frac{1}{n} - u_{n} \sim \frac{1}{2 n ^{5}}

EAucune des propositions n'est exacte

k^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{1 + x ^{2}}

k^{'} (x) = \frac{( 1 + x ) ^{2}}{1 + x ^{2}}

k^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} + 1

EAucune des propositions n'est exacte

k (x) = x [1 - \frac{ln x}{x} - \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x ^{2}} )}{x}]

k (x) = x [1 - 2 \frac{ln x}{x} + \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x ^{2}} )}{x}]

k (x) = x [1 - \frac{ln x}{x} + \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x ^{2}} )}{x}]

EAucune des propositions n'est exacte

ALa suite $(u_{n})$ est croissante car la fonction $k$ est croissante sur l'ensemble des réels positifs.
BLa suite $(u_{n})$ est croissante car la fonction $k$ est croissante sur l'ensemble des réels positifs et $u_{1} > u_{0}$ .
CLa suite $(u_{n})$ est décroissante car la fonction $k$ est croissante sur l'ensemble des réels positifs et $u_{1} < u_{0}$ .
DLa suite $(u_{2 n})$ est croissante et que la suite $(u_{2 n + 1})$ est décroissante.
EAucune des propositions n'est exacte

ALa suite $(u_{n})$ est croissante majorée.
BLa suite $(u_{n})$ est décroissante minorée par $- 1$ .
CLa suite $(u_{n})$ est décroissante minorée par $0$ .
DLa suite $(u_{2 n})$ est croissante majorée et que la suite $(u_{2 n + 1})$ est décroissante minorée.
EAucune des propositions n'est exacte

ALa fonction $k$ est continue sur l'ensemble des réels positifs.
BLa fonction $k$ est strictement croissante sur l'ensemble des réels positifs.
CLa fonction $k$ est croissante sur l'ensemble des réels positifs.
DLa fonction $k$ est croissante sur l'ensemble des réels.
EAucune des propositions n'est exacte

CDe l'intervalle

[1, + \infty [

, nous avons

k (x) ⩽ x - \frac{1}{2} x^{2}

DDe l'intervalle

] - \infty, + \infty [

, nous avons

k (x) ⩽ x - \frac{1}{2} x^{2}

EAucune des propositions n'est exacte

A $u_{n}^{2} ⩽ 2 (u_{n} - u_{n + 1})$ car $u_{n} ⩾ 0$ .
B $u_{n}^{2} ⩽ 2 (u_{n} - u_{n + 1})$ car $0 ⩽ u_{n} ⩽ 1$ .
C $\frac{1}{2} u_{n}^{2} ⩽ 2 (u_{n} - u_{n + 1})$ car $0 ⩽ u_{n} ⩽ 1$ .
D $\frac{1}{2} u_{n}^{2} ⩽ 2 (u_{n} - u_{n + 1})$ car $u_{n} ⩾ 0$ .
EAucune des propositions n'est exacte

ALa suite $(S_{n})$ est croissante et que pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} ⩽ T_{n}$ .
BLa suite $(S_{n})$ est décroissante et que pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} ⩽ T_{n}$ .
CLa suite $(T_{n})$ est décroissante et que pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} ⩽ T_{n}$ .
DLa suite $(T_{n})$ est croissante et que pour tout entier naturel $n$ , $S_{n} ⩽ T_{n}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $n \to + \infty lim S_{n} = + \infty$ et par conséquent $n \to + \infty lim T_{n} = + \infty$ .
B $n \to + \infty lim T_{n} = 0$ et par conséquent $n \to + \infty lim S_{n} = 0$ .
C $n \to + \infty lim T_{n} = 1$ et la suite $(S_{n})_{n \in N}$ converge.
D $n \to + \infty lim T_{n} = 2$ et la suite $(S_{n})_{n \in N}$ converge.
EAucune des propositions n'est exacte

A

est quelconque.

EAucune des propositions n'est exacte

AVérifie $P (n)$ .
BNe vérifie pas $P (n)$ .
CA pour inverse : $A^{- 1} = 1 + 2 i 0 2 - 2 i 1 - i i 2 - 2 i - 1 + i 0 i + 2$ .
DA pour inverse : $A^{- 1} = 1 - 2 i 0 2 - 2 i 1 - i - i 2 - 2 i - 1 + i 0 i - 2$ .
EAucune des propositions n'est exacte

AN'est pas inversible.
BEst inversible d'inverse $(A - λ I)^{- 1} = - λ^{- 1} I - λ^{- 2} A - \dots - λ^{- n} A^{n - 1}$ .
CEst nilpotente.
DEst la matrice nulle.
EAucune des propositions n'est exacte

ALes vecteurs colonnes de $A$ forment un système lié et donc la matrice n'est pas inversible.
BLes vecteurs colonnes de $A$ forment un système libre et donc la matrice est inversible.
CLes vecteurs colonnes de $A$ forment un système libre mais on ne peut pas se prononcer sur le fait que soit inversible.
DLes vecteurs colonnes de $A$ forment un système lié mais on ne peut pas se prononcer sur le fait que soit inversible.
EAucune des propositions n'est exacte

AN'est pas inversible.
BEst inversible, d'inverse : $B^{- 1} = 210110631$ .
CEst inversible, d'inverse : $B^{- 1} = - 2 10 - 1 10 - 6 31$ .
DEst inversible, d'inverse : $B^{- 1} = - 2 - 1 0 - 1 10 - 6 31$ .
EAucune des propositions n'est exacte

AN'est pas inversible.
BEst inversible, d'inverse : $C^{- 1} = 11 - 2 01 - 3 001$ .
CEst inversible, d'inverse : $C^{- 1} = 100140 - 2 20$ .
DEst inversible, d'inverse : $C^{- 1} = 112013001$ .
EAucune des propositions n'est exacte

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