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100%

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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2016

2016

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $0 < x ⩽ y$ . On pose $m = \frac{x + y}{2}$ , $g = x y$ et $\frac{1}{h} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ .
On a :
A $m - x ⩽ 0$
B $m - x ⩾ 0$
C $m - y ⩽ 0$
D $m - y ⩾ 0$
Fonctions, limites et développements limités
La quantité $g$ vérifie :
A $g - x ⩾ 0$
B $g - y ⩾ 0$
C $g - x ⩽ 0$
Fonctions, limites et développements limités
La quantité $h$ vérifie :
A $h - x ⩽ 0$
B $h - y ⩾ 0$
C $h - x ⩾ 0$
Fonctions, limites et développements limités
Les quantités $m, g, h$ vérifient :
A $m - g ⩽ 0$
B $h - g ⩾ 0$
C $m - h ⩾ 0$
Fonctions, limites et développements limités
On en déduit enfin :
A $x ⩽ m ⩽ g ⩽ h ⩽ y$
B $x ⩽ h ⩽ g ⩽ m ⩽ y$
Fonctions, limites et développements limités
Partie II
Soit $z = e^{\frac{2 iπ}{5}}$ . On pose $α = z + z^{4}$ et $β = z^{2} + z^{3}$ .
On montre :
A $α + β = 1$
B $α + β = - 1$
C $α β = 1$
D $α β = - 1$
Nombres complexes
Les nombres $α$ et $β$ sont les racines du trinôme du second degré :
A $X^{2} + X - 1$
B $X^{2} - X - 1$
Nombres complexes
On déduit des résultats précédents :
A $cos \frac{2 π}{5} = \frac{5 - 1}{2}$ et $sin \frac{2 π}{5} = \frac{5 - 1}{2}$
Nombres complexes
Partie III
Pour tout $k \in N$ , on pose $I_{k} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{k}}{1 + x ^{2}} d x$ .
On a :
A $I_{0} = ln (1 + 2)$
B $I_{0} = \frac{π}{2}$
Intégration
Une intégration par parties permet d'exhiber la relation de récurrence :
A $k I_{k} = 2 + (k - 1) I_{k - 2}$
Intégration
On en déduit :
A $I_{2} = \frac{1}{2} ln (\frac{e ^{2}}{1 + 2})$
Intégration
Partie IV
On considère le système linéaire $(S)$ : $⎩ ⎨ ⎧ 3 x + y = 8 - 2 x + y - 2 z = - 1 x - 2 y + 3 z = - 3$
Ce système s'écrit de façon matricielle $A X = B$ , avec :
A $A = 3 - 2 1 11 - 2 0 - 2 3, X = (x y z)$ et $B = (8 - 1 - 3)$
Algèbre linéaire et matrices
Le système $(S)$ s'écrit de façon matricielle $A X = B$ . Le déterminant de la matrice $A$ vaut :
A $0$ , car un des coefficients de la matrice $A$ est nul
B $1$
C $0$ , car la somme des coefficients d'une ligne ou d'une colonne de la matrice $A$ est nulle
D $25$
Algèbre linéaire et matrices
Le système $(S)$ :
Apossède une infinité de solutions
Badmet pour unique solution $(x, y, z) = (1, 5, 2)$
Cn'admet pas de solutions dans $R^{3}$
Dadmet pour unique solution $(x, y, z) = (2, 2, - \frac{1}{2})$
Algèbre linéaire et matrices
Le système $(S)$ s'écrit de façon matricielle $A X = B$ . L'inverse $A^{- 1}$ de la matrice $A$ :
An'existe pas puisque $A$ n'est pas inversible
Bvaut $A^{- 1} = \frac{1}{25} - 1 - 3 - 2 496375$
Algèbre linéaire et matrices
Partie V
Soit $θ \in] - π; π [$ . On considère le nombre complexe $z = 1 + cos θ + i sin θ$ .
Le module de $z$ vaut :
A $∣ z ∣ = 2 + 2 cos θ$
B $∣ z ∣ = 2$
Nombres complexes
Un argument $α$ de $z$ vérifie :
A $α = \frac{θ}{2} + 2 k π, k \in Z$
B $α = \frac{θ}{2} + k π, k \in Z$
Nombres complexes
On obtient ainsi :
A $z = 2 cos (\frac{θ}{2}) e^{i \frac{θ}{2}}$
Nombres complexes
Partie VI
Soient $a$ et $b$ des réels vérifiant, pour tout $k \in Z$ : $a \neq = \frac{π}{2} + k π$ , $b \neq = \frac{π}{2} + k π$ , $a + b \neq = \frac{π}{2} + k π$ et $a - b \neq = \frac{π}{2} + k π$ .
On a :
A $tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 + tan a tan b}$
B $tan (a - b) = - \frac{tan a + tan b}{1 + tan a tan b}$
Trigonométrie
En posant $θ = arctan \frac{1}{5}$ , on en déduit :
A $tan (2 θ) = \frac{5}{13}$
Trigonométrie
On pose $θ = arctan \frac{1}{5}$ . On obtient alors :
A $tan (4 θ - \frac{π}{4}) = \frac{81}{16}$
Trigonométrie
On a :
APour tout $x \in R$ , $arctan (tan x) = x$
B $arctan (tan x) = x$ uniquement si $x \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [$
Trigonométrie
On déduit des résultats précédents :
A $\frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} + arctan \frac{1}{239}$
Trigonométrie
En posant $φ = arctan \frac{1}{2}$ et en calculant $tan (φ - \frac{π}{4})$ puis $tan (2 φ - \frac{π}{4})$ , on obtient :
Trigonométrie
Partie VII
Dans une entreprise, deux ateliers fabriquent les mêmes pièces. L'atelier n°1, mieux équipé, a une cadence de production deux fois plus rapide que l'atelier n°2. Le pourcentage de pièces défectueuses est de $3%$ pour l'atelier n°1 et de $4%$ pour l'atelier n°2. On prélève au hasard une pièce dans l'ensemble de la production.
La probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 1 est :
A $p (A_{1}) = \frac{2}{3}$
B $p (A_{1}) = \frac{4}{7}$
Probabilités et dénombrement
La probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 1 et soit défectueuse est :
A $p_{1} = \frac{3}{100}$
B $p_{1} = \frac{1}{60}$
Probabilités et dénombrement
La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est :
A $p_{3} = \frac{7}{200} = 0, 035$
B $p_{3} = \frac{1}{30}$
Probabilités et dénombrement
Partie VIII
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à $2$ , pour lequel l'application $Ψ : E \times E \to R$ , $(P, Q) \mapsto \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ définit un produit scalaire sur $E$ . On considère la base $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ de $E$ , où $P_{0} (t) = 1$ , $P_{1} (t) = t$ et $P_{2} (t) = t^{2}$ .
En posant $Q_{0} (t) = P_{0} (t)$ , une base orthogonale de $E$ est $(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2})$ avec :
Algèbre linéaire et matrices
En posant $Q_{0} (t) = P_{0} (t)$ , une base orthogonale de $E$ est $(Q_{0}, Q_{1}, Q_{2})$ . La base orthonormée associée est alors $(R_{0}, R_{1}, R_{2})$ avec :
Algèbre linéaire et matrices
En posant $S_{0} (t) = P_{2} (t)$ , une base orthogonale de $E$ est $(S_{0}, S_{1}, S_{2})$ avec :
Algèbre linéaire et matrices
En posant $S_{0} (t) = P_{2} (t)$ , une base orthogonale de $E$ est $(S_{0}, S_{1}, S_{2})$ . La base orthonormée associée est alors $(T_{0}, T_{1}, T_{2})$ avec :
Algèbre linéaire et matrices
Partie IX
Équations. Les questions 32 à 36 peuvent être traitées de façon indépendante.
L'équation $sin (4 x) + sin (3 x) = sin x$ admet pour solutions :
A $S = {π + 2 k π; - π + 2 k π; \frac{2 k π}{3}; \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, avec k \in Z}$
Trigonométrie
Les solutions de l'équation $cos (3 x) + sin (3 x) = 2$ sont :
A $x = \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z$
Trigonométrie
Dans $C$ , l'équation $sin z = 3$ :
Aadmet des solutions de la forme $z = \frac{π}{2} + 2 k π - i ln (3 - 22)$
Trigonométrie
Pour $a \in R$ , on considère le système d'équations : $(S) ⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z = 1 x + a y + z = a x + y + a z = a^{2}$
Algèbre linéaire et matrices
Soit le système d'équations $(S) ⎩ ⎨ ⎧ x + y = \frac{π}{3} sin x + sin y = \frac{1}{2}$ Les solutions de $(S)$ sont :
Trigonométrie

EAucune des propositions n'est exacte

x ⩽ g ⩽ m ⩽ h ⩽ y

x ⩽ m ⩽ h ⩽ g ⩽ y

EAucune des propositions n'est exacte

cos \frac{4 π}{5} = \frac{- 5 - 1}{4}

sin \frac{4 π}{5} = \frac{1}{4} 10 + 25

cos \frac{6 π}{5} = \frac{5 - 1}{4}

sin \frac{6 π}{5} = \frac{1}{4} 10 - 25

cos \frac{8 π}{5} = \frac{5 - 1}{4}

sin \frac{8 π}{5} = - \frac{1}{4} 10 - 25

EAucune des propositions n'est exacte

I_{1} = \frac{2}{3} (1 - 22)

EAucune des propositions n'est exacte

k I_{k} = 2 - (k - 1) I_{k - 2}

k I_{k} = - 2 + (k - 1) I_{k - 2}

k I_{k} = - 2 - (k + 1) I_{k - 2}

EAucune des propositions n'est exacte

I_{3} = \frac{2 - 2}{3}

I_{2} = \frac{2 + ln ( 1 + 2 )}{2}

I_{3} = 2 - \frac{2}{3}

EAucune des propositions n'est exacte

A = 3 - 2 1 11 - 2 0 - 2 3, X = x y z

B = 8 - 1 - 3

A = 310 - 2 1 - 2 1 - 2 3, X = (x y z)

B = (8 - 1 - 3)

A = 310 - 2 1 - 2 1 - 2 3, X = x y z

B = 8 - 1 - 3

EAucune des propositions n'est exacte

Cvaut

A^{- 1} = 1/3 10 - 1/2 1 - 1/2 1 - 1/2 1/3

Dvaut

A^{- 1} = - 1 43 - 3 97 - 2 65

EAucune des propositions n'est exacte

∣ z ∣ = 2 cos (\frac{θ}{2})

∣ z ∣ = 2 + cos (\frac{θ}{2})

EAucune des propositions n'est exacte

tan α = tan (\frac{θ}{2})

tan α = tan (\frac{θ}{2}) + k π, k \in Z

EAucune des propositions n'est exacte

z = 2 cos (\frac{θ}{2}) e^{- i \frac{θ}{2}}

z = 2 cos (\frac{θ}{2}) (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})

z = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) (1 + i tan (\frac{θ}{2}))

EAucune des propositions n'est exacte

tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}

tan (a - b) = \frac{tan a - tan b}{1 - tan a tan b}

EAucune des propositions n'est exacte

tan (2 θ) = \frac{5}{12}

tan (4 θ) = \frac{65}{97}

tan (4 θ) = \frac{119}{120}

EAucune des propositions n'est exacte

tan (4 θ - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{239}

tan (4 θ - \frac{π}{4}) = \frac{16}{81}

tan (4 θ - \frac{π}{4}) = \frac{1}{239}

EAucune des propositions n'est exacte

CPour tout

x \in R

tan (arctan x) = x

tan (arctan x) = x

uniquement si

x \in] - \frac{π}{2}; \frac{π}{2} [

EAucune des propositions n'est exacte

\frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} - arctan \frac{1}{239}

\frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} + arctan \frac{81}{16}

\frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} - arctan \frac{16}{81}

EAucune des propositions n'est exacte

A $\frac{π}{4} = arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{3}$
B $\frac{π}{4} = arctan \frac{1}{2} - arctan \frac{1}{3}$
C $\frac{π}{4} = 2 arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{7}$
D $\frac{π}{4} = 2 arctan \frac{1}{2} - arctan \frac{1}{7}$
EAucune des propositions n'est exacte

CLa probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 2 est :

p (A_{2}) = \frac{2}{3}

p (A_{2}) = \frac{3}{7}

EAucune des propositions n'est exacte

CLa probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 2 et soit défectueuse est :

p_{2} = \frac{4}{100}

p_{2} = \frac{1}{75}

EAucune des propositions n'est exacte

CLa probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 1 sachant qu'elle est défectueuse est :

p_{4} = \frac{4}{7}

p_{4} = \frac{5}{9}

EAucune des propositions n'est exacte

A $Q_{1} (t) = t$
B $Q_{1} (t) = t + 1$
C $Q_{2} (t) = t^{2} - \frac{t}{2} - \frac{1}{3}$
D $Q_{2} (t) = t^{2} - \frac{1}{3}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $R_{0} (t) = \frac{1}{2}$ , et $R_{1} (t) = \frac{3}{2} \frac{( t + 1 )}{2}$
B $R_{0} (t) = \frac{1}{2}$ , et $R_{1} (t) = t \frac{3}{2}$
C $R_{2} (t) = \frac{3 10}{4} (t^{2} - \frac{1}{3})$
D $R_{2} (t) = 3 \frac{10}{31} (t^{2} - \frac{t}{2} - \frac{1}{3})$
EAucune des propositions n'est exacte

A $S_{1} (t) = t$
B $S_{1} (t) = t - \frac{5}{4} t^{2}$
C $S_{2} (t) = 1 - \frac{5}{3} t^{2}$
D $S_{2} (t) = t^{2} - \frac{1}{3}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $T_{0} (t) = \frac{5}{2} t^{2}$ , et $T_{1} (t) = 2 \frac{6}{31} (t - \frac{5}{4} t^{2})$
B $T_{0} (t) = \frac{5}{2} t^{2}$ , et $T_{1} (t) = t \frac{3}{2}$
C $T_{2} (t) = \frac{3 2}{4} (1 - \frac{5}{3} t^{2})$
D $T_{2} (t) = \frac{3 10}{4} (t^{2} - \frac{1}{3})$
EAucune des propositions n'est exacte

S = {π + 4 k π; - π + 4 k π; \frac{k π}{3}; \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, avec k \in Z}

S = {π + 4 k π; - π + 2 k π; \frac{2 k π}{3}; \frac{π}{4} + k \frac{π}{4}, avec k \in Z}

S = {π + 2 k π; - π + 4 k π; \frac{2 k π}{3}; \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, avec k \in Z}

EAucune des propositions n'est exacte

x = \frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z

x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, k \in Z

x = - \frac{7 π}{12} + \frac{2 k π}{3}, k \in Z

EAucune des propositions n'est exacte

Badmet des solutions de la forme

z = \frac{π}{2} + 2 k π - i ln (3 + 22)

Cadmet des solutions de la forme

z = \frac{π}{2} + 2 k π + i ln (3 - 22)

Dn'admet pas de solution

EAucune des propositions n'est exacte

A $\forall a \in R ∖ {- 2}$ , le système $(S)$ admet une solution unique $(x, y, z) = (- \frac{1 + a}{2 + a}, \frac{1}{a + 2}, \frac{( a + 1 ) ^{2}}{a + 2})$
BSi $a = - 2$ , le système $(S)$ admet une infinité de solutions
CSi $a = 0$ , alors tout $(x, y, z) \in R^{3}$ est solution de $(S)$
DSi $a = 1$ , le système $(S)$ admet une infinité de solutions
EAucune des propositions n'est exacte

A ${(\frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{6} + 2 k π), k \in Z} \cup {(- \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z}$
B ${(\frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{6} - \frac{2 k π}{3}), k \in Z} \cup {(- \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{2} - 2 k π), k \in Z}$
C ${(\frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{6} - 2 k π), k \in Z} \cup {(- \frac{π}{6} + 2 k π, \frac{π}{2} - 2 k π), k \in Z}$
D ${(\frac{π}{2} + 2 k π, - \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}), k \in Z} \cup {(- \frac{π}{6} + \frac{2 k π}{3}, \frac{π}{2} + 2 k π), k \in Z}$
EAucune des propositions n'est exacte

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