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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2017

2017

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
Soit $A = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33}$ une matrice carrée d'ordre 3 à coefficients dans $R$ . On note pour $k$ variant de 1 à 3 : $C_{k} (A) = i = 1 \sum 3 a_{ik}$ et $L_{k} (A) = j = 1 \sum 3 a_{k j}$ . On considère $M$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels qui vérifient la propriété suivante : $A \in M$ si et seulement si : $L_{1} (A) = L_{2} (A) = L_{3} (A) = C_{1} (A) = C_{2} (A) = C_{3} (A)$ . On note $s (A)$ la valeur commune de ces six sommes. On note $I = 100010001$ la matrice identité d'ordre 3 et $J$ la matrice d'ordre 3 définie par : $J = 111111111$ .
on démontre que :
APour tout $a \in R^{*}$ et pour tout $n \in N$ , $(a I)^{n} \in M$ avec $s ((a I)^{n}) = a^{n}$ .
Algèbre linéaire et matrices
soit deux nombres réels $u$ et $v$ et la matrice $K$ définie par $K = 0 - 2 u u 5 - 6 v 35$ .
Algèbre linéaire et matrices
soit $L$ la matrice définie par $L = a b c d e z x y t$ avec $(a, b, c, d, e, x, y, z, t) \in R^{9}$ .
Algèbre linéaire et matrices
soit $A$ une matrice carrée d'ordre 3 :
A $A J = - J A ⟺ A \in M$ .
B $A J = J A ⟺ A \in M$ .
Algèbre linéaire et matrices
A $(A, B) \in M^{2} ⟹ A B \in M$ et $s (A B) = s (A) s (B)$ .
B $(A, B) \in M^{2} ⟹ A B \in M$ et $s (A B) = - s (A) s (B)$ .
Algèbre linéaire et matrices
Partie II
On définit la suite $(I_{n})_{n \in N}$ : pour tout entier naturel $n$ nous avons : $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2}} d x$ .
on démontre que pour tout entier naturel $n$ :
A $I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{2 n + 3}$
Intégration
on établit que $f$ est définie car :
ALa suite $(I_{n})_{n \in N}$ est convergente car elle est croissante majorée.
BLa suite $(I_{n})_{n \in N}$ est convergente car elle est décroissante minorée.
Suites et séries numériques
on démontre que pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
A $n \to + \infty lim I_{n} = 0$ car $0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 n + 3}$
Suites et séries numériques
on démontre par récurrence que $\forall n \in N^{*}$ :
A $2 (- 1)^{n} I_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} - ln 2$
Suites et séries numériques
on démontre que $\forall n \in N$ :
A $I_{n} = \frac{1}{4 ( n + 1 )} + \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x$
Intégration
on démontre que :
A $0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x \leq \frac{1}{2 n + 7}$ et $k = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} = ln 2$
Suites et séries numériques
nous en déduisons que :
A $k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} - ln 2 \sim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$
Suites et séries numériques
Partie III - A
On dispose de deux pièces : la pièce $C$ donne face avec la probabilité $1/2$ ; la pièce $D$ donne face avec la probabilité $2/3$ . On choisit une des deux pièces au hasard. On la lance. Si l'on obtient face, on conserve la pièce que l'on vient de lancer, sinon on change de pièce. On effectue ainsi une suite de lancers. On note $p_{n}$ la probabilité de jouer avec la pièce $C$ au $n$ -ième lancer et $F_{n}$ l'événement « on obtient face au $n$ -ième lancer ».
AOn démontre que : $p_{n + 1} = \frac{1}{6} p_{n} + \frac{1}{3}$ .
Probabilités et dénombrement
AOn démontre que : $p_{n} = \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} + \frac{1}{5}$ .
Probabilités et dénombrement
AOn démontre que : $P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} + \frac{3}{5}$ .
Probabilités et dénombrement
Partie III - B
Un magasin de sport proche de plusieurs équipes de football de Nationale 2 vend trois marques de crampons : K, A et N. Le gérant du magasin estime que : Chaque joueur change de paire de crampons chaque année, une seule fois, est fidèle à ce magasin, et le remplaçant éventuel l'année suivante effectue le même choix de paire de crampons qu'aurait fait celui qu'il remplace ; Un joueur qui a acheté une paire de crampons de la marque K au début de la saison choisira, l'année suivante, une paire de l'une des trois catégories avec équiprobabilité. Un joueur qui a acheté une paire de crampons de la marque A au début de la saison optera, l'année suivante, pour une paire de crampons de la marque K avec la probabilité $1/4$ , pour une paire de crampons de la marque A avec la probabilité $1/4$ , pour une paire de crampons de la marque N avec la probabilité $1/2$ . Un joueur qui a acheté une paire de crampons de la marque N au début de la saison optera, l'année suivante, pour une paire de crampons de la marque K avec la probabilité $1/4$ , pour une paire de crampons de la marque A avec la probabilité $1/2$ , pour une paire de crampons de la marque N avec la probabilité $1/4$ . Le volume des ventes de ce commerçant est composé : d'une part $p_{0} = 45/100$ de paires de crampons de la marque K ; d'une part $q_{0} = 25/100$ de paires de crampons de la marque A ; et d'une part $r_{0} = 30/100$ de paires de crampons de la marque N.

On désigne par $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ les parts respectives des paires de crampons K, A, N dans les ventes de ce magasin la $n$ -ième saison suivante.
on montre que pour tout $n \in N$ ,
A $(p_{n} q_{n} r_{n}) = (45/100 25/100 30/100) 1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4^{n}$
Probabilités et dénombrement
on a l'égalité :
A $1/3 1/4 1/4 1/3 1/2 1/4 1/3 1/2 1/4 = 344 2 - 1 - 1 01 - 1 100 0 1/12 0 00 - 1/4 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2$ où $344 2 - 1 - 1 01 - 1^{- 1} = 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2$
Algèbre linéaire et matrices
si l'attitude des joueurs reste constante, on démontre qu'à long terme, les trois catégories de crampons K, A et N représenteront dans la vente respectivement :
A $\frac{4}{11}$ , $\frac{4}{11}$ et $\frac{3}{11}$
Probabilités et dénombrement
Partie IV
Un sous-ensemble $S$ d'une structure $A$ , munie des mêmes lois que par exemple l'ensemble des nombres réels ou des nombres complexes, est dit multiplicatif si le produit de deux éléments de $S$ appartient à $S$ . Pour tout entier $n \geq 1$ , on note $S_{n} (A)$ l'ensemble des éléments $x$ de $A$ qui peuvent s'écrire sous la forme $x = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}$ avec $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ dans $A$ .
on démontre que $S_{2} (A)$ est un ensemble multiplicatif car :
A $\forall (x, y, z, t) \in A^{4}$ , $(x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2}) = (x z - y t)^{2} + (y z - x t)^{2}$
Algèbre linéaire et matrices
Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont congrus modulo 8 si et seulement s'ils ont même reste dans la division euclidienne par 8 ; on écrit alors $a \equiv b [8]$ . L'ensemble $Z /8 Z$ est formé des 8 classes de congruence modulo 8, notées $\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{6}, \overset{ˉ}{7}$ , munies de l'addition et de la multiplication induites par les opérations dans $Z$ . On établit que :
Algèbre linéaire et matrices
Soient $(a, b, c, d) \in Z^{4}$ tels que : $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \equiv 0 [8]$ .
Algèbre linéaire et matrices
On en déduit que :
ASi $n \equiv - 1 [8]$ alors $n \in S_{3} (Z)$ et $n \in S_{3} (Q)$ .
Algèbre linéaire et matrices
on en déduit que :
A $S_{3} (Q)$ est multiplicatif.
B $S_{3} (Q)$ n'est pas multiplicatif.
C $S_{3} (Q)$ n'est pas multiplicatif car $S_{3} (Z)$ l'est.
Algèbre linéaire et matrices
Partie V
On considère $E$ un $R$ -espace vectoriel de dimension 3, muni d'une base $B = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ . On considère les trois vecteurs suivants : $u_{1} = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ ; $u_{2} = e_{2} + e_{3}$ ; $u_{3} = e_{1} + 2 e_{3}$ . On pose $F = Vect (u_{1}, u_{2})$ et $G = Vect (u_{3})$ .
la matrice $P$ de la famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ dans la base $B$ est :
A $P = 101110112$
Algèbre linéaire et matrices
On note $P$ la matrice de la famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ dans la base $B$ . on démontre que $P$ est inversible :
ACar $det (P) = 2$ et on a alors : $P^{- 1} = 1 - 1 0 1/2 1/2 - 1/2 - 1/2 1/2 1/2$
Algèbre linéaire et matrices
On note $P$ la matrice de la famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ dans la base $B$ . on démontre que $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est une base de $E$ que l'on notera $B^{'}$ car :
Algèbre linéaire et matrices
La famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est une base de $E$ que l'on notera $B^{'}$ . On définit l'application linéaire $p_{F}$ par sa matrice dans la base $B^{'}$ : $Q = 100010000$ et $p_{G}$ par la matrice $Q^{'} = 000000001$ .
Algèbre linéaire et matrices
La famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est une base de $E$ que l'on notera $B^{'}$ . On définit l'application linéaire $p_{F}$ par sa matrice dans la base $B^{'}$ : $Q = 100010000$ . on démontre que :
Algèbre linéaire et matrices
La famille $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est une base de $E$ que l'on notera $B^{'}$ . On définit l'application linéaire $p_{F}$ par sa matrice dans la base $B^{'}$ : $Q = 100010000$ et $p_{G}$ par la matrice $Q^{'} = 000000001$ . on note $A_{F}$ la matrice de $p_{F}$ dans la base $B$ et $A_{G}$ celle de $p_{G}$ dans la base $B$ . On démontre que :
Algèbre linéaire et matrices
Partie VI
On note $I = \int_{0}^{π} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t$ et $f (t) = \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )}$ . Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, i, j)$ . On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ . Dans cette partie $x$ est un nombre réel strictement positif.
Soit $a$ un nombre réel non nul.
APour $t \in R$ , nous avons : $\int_{0}^{t} \frac{1}{1 + a ^{2} u ^{2}} d u = arctan (\frac{t}{a})$ .
Intégration
on établit que :
ALa fonction $f$ est définie, continue sur $R$ . $C_{f}$ sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à l'axe des ordonnées de la restriction de $C_{f}$ à l'intervalle $[0; \frac{π}{2}]$ suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur $2 k π i$ , $k \in Z$ .
Fonctions, limites et développements limités
pour des valeurs de $t$ convenablement choisies, nous avons :
A $f$ est dérivable et $f^{'} (t) = \frac{2 ( 1 - x ) sin ( t ) cos ( t )}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )}$
Fonctions, limites et développements limités
on montre que :
ASi $x = 1$ , $f^{'} (t) = 0$ et si $x < 1$ , $C_{f}$ admet $\frac{1}{x}$ comme minimum sur $R$ et des tangentes horizontales en $k π, k \in Z$ et $\frac{π}{2} + k π, k \in Z$ .
Fonctions, limites et développements limités
on montre que :
A $I = 2 \int_{0}^{π /2} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t$
Intégration
pour $a \in [0; \frac{π}{2} [$ , on note $H (a) = \int_{0}^{a} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t$ ; à l'aide du changement de variable $u = tan (t)$ , on trouve :
Intégration
Pour $a \in [0; \frac{π}{2} [$ , on note $H (a) = \int_{0}^{a} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t$ . on déduit que :
Intégration

BPour tout

a \in R^{*}

et pour tout

n \in N

(a I)^{n} \in M

avec

s ((a I)^{n}) = a^{n - 1}

CPour tout

a \in R^{*}

et pour tout

n \in N

(a J)^{n} = 3^{n - 1} a^{n} J

(a J)^{n} \in M

avec

s ((a J)^{n}) = 3^{n - 1} a^{n}

DPour tout

a \in R^{*}

et pour tout

n \in N

(a J)^{n} = 3^{n - 1} a^{n} J

(a J)^{n} \in M

avec

s ((a J)^{n}) = (3 a)^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

AIl existe un unique couple de réels $(u, v)$ tel que $K \in M$ .
BIl existe exactement deux couples de réels $(u, v)$ tels que $K \in M$ .
CIl existe une infinité de couples de réels $(u, v)$ tels que $K \in M$ .
DIl n'existe pas de couples de réels $(u, v)$ tels que $K \in M$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $M$ est un sous espace vectoriel de dimension 5 de l'espace vectoriel composé par l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans $R$ .
B $L \in M ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = b + c y = a + c z = a + b + c - d t = - c + d$
C $L \in M ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ x = b + c - d y = a + c - e z = a + b + c - d - e t = - c + d + e$
D $M$ est un sous espace vectoriel de dimension 4 de l'espace vectoriel composé par l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans $R$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A \in M ⟹ A J = s (A) J

A \in M ⟹ A J = - s (A) J

EAucune des propositions n'est exacte

CSoit

C

une matrice inversible appartenant à

M ⟹ C^{- 1} \in M

s (C^{- 1}) = - s (C)^{- 1}

DSoit

C

une matrice inversible appartenant à

M

C^{- 1}

n'appartient pas forcément à

M

EAucune des propositions n'est exacte

I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{2 n + 4}

I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{2 n + 5}

I_{n} + I_{n + 1} = \frac{1}{2 n + 1}

EAucune des propositions n'est exacte

CLa suite

(I_{n})_{n \in N}

est convergente car la fonction

x \mapsto \frac{x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2}}

est continue.

DLa suite

(I_{n})_{n \in N}

est convergente car :

\forall x \in [0, 1]

n \to + \infty lim \frac{x ^{2 n + 1}}{1 + x ^{2}} = 0

EAucune des propositions n'est exacte

n \to + \infty lim I_{n} = 0

car

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 n + 2}

n \to + \infty lim I_{n} = 0

car

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 n + 1}

n \to + \infty lim I_{n} = 0

car

0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{2 n + 5}

EAucune des propositions n'est exacte

2 (- 1)^{n - 1} I_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} - ln 2

2 (- 1)^{n - 1} I_{n - 1} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} - ln 2

2 (- 1)^{n - 1} I_{n} = k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} - ln 2

EAucune des propositions n'est exacte

I_{n} = \frac{1}{4 n} + \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

I_{n} = \frac{1}{3 ( n + 1 )} + \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

I_{n} = \frac{1}{4 ( n + 1 )} + \frac{1}{n} \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

EAucune des propositions n'est exacte

0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x \leq \frac{1}{2 n + 6}

k = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} = ln 2

0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x \leq \frac{1}{2 n + 5}

k = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} = - ln 2

0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{2 n + 3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x \leq \frac{1}{2 n + 3}

k = 1 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} = ln 2

EAucune des propositions n'est exacte

k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} - ln 2 \sim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 n}

k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{k} - ln 2 \sim \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 n}

k = 1 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} - ln 2 \sim \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n}

EAucune des propositions n'est exacte

BOn démontre que :

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{3}

COn démontre que :

p_{n + 1} = \frac{1}{6} p_{n} + \frac{2}{3}

DOn démontre que :

p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3}

EAucune des propositions n'est exacte

BOn démontre que :

p_{n} = \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} + \frac{2}{5}

COn démontre que :

p_{n} = \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} + \frac{2}{5}

DOn démontre que :

p_{n} = \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} + \frac{1}{5}

EAucune des propositions n'est exacte

BOn démontre que :

P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} + \frac{1}{5}

COn démontre que :

P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} + \frac{1}{5}

DOn démontre que :

P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} + \frac{3}{5}

EAucune des propositions n'est exacte

p_{n} q_{n} r_{n} = 1/3 1/4 1/4 1/3 1/4 1/2 1/3 1/2 1/4^{n} 45/100 25/100 30/100

p_{n} q_{n} r_{n} = 1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4^{n} 45/100 25/100 30/100

(p_{n} q_{n} r_{n}) = (45/100 25/100 30/100) 1/3 1/4 1/4 1/3 1/2 1/4 1/3 1/2 1/4^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4 = 344 2 - 1 - 1 01 - 1 100 0 1/12 0 00 - 1/4 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2

où

344 2 - 1 - 1 01 - 1^{- 1} = 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2

1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/2 1/4 1/2 1/4 = 344 2 - 1 - 1 01 - 1 100 0 1/12 0 00 1/4 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2

où

344 2 - 1 - 1 01 - 1^{- 1} = 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2

1/3 1/4 1/4 1/3 1/2 1/4 1/3 1/2 1/4 = 344 2 - 1 - 1 01 - 1 100 0 1/12 0 00 1/4 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2

où

344 2 - 1 - 1 01 - 1^{- 1} = 1/11 4/11 0 1/11 - 3/22 1/2 1/11 - 3/22 - 1/2

EAucune des propositions n'est exacte

\frac{2}{11}

\frac{4}{11}

\frac{4}{11}

\frac{3}{11}

\frac{4}{11}

\frac{4}{11}

\frac{4}{11}

\frac{4}{11}

\frac{2}{11}

EAucune des propositions n'est exacte

\forall (x, y, z, t) \in A^{4}

∣ x + i y ∣^{2} ∣ z + i t ∣^{2} = ∣ (x - i y) (z + i t) ∣^{2}

\forall (x, y, z, t) \in A^{4}

∣ x + i y ∣^{2} ∣ z + i t ∣^{2} = ∣ (x + i y) (z + i t) ∣^{2}

\forall (x, y, z, t) \in A^{4}

(x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2}) = (x z - y t)^{2} + (y z + x t)^{2}

EAucune des propositions n'est exacte

A $S_{1} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{4}}$ , $S_{2} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}}$ , $S_{3} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{6}}$
B $S_{1} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{3}}$ , $S_{2} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{5}}$ , $S_{3} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{6}}$
C $S_{1} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{4}}$ , $S_{2} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{5}}$ , $S_{3} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{6}}$
D $S_{1} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{4}}$ , $S_{2} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}}$ , $S_{3} (Z /8 Z) = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}, \overset{ˉ}{4}, \overset{ˉ}{5}, \overset{ˉ}{7}}$
EAucune des propositions n'est exacte

AOn ne peut pas établir la parité de $a, b, c, d$ .
BParmi les nombres $a, b, c, d$ , certains sont pairs et d'autres sont impairs.
C $a, b, c, d$ sont forcément impairs.
D $a, b, c, d$ sont forcément pairs.
EAucune des propositions n'est exacte

BSi

n \equiv - 1 [8]

alors

n \in / S_{3} (Z)

n \in / S_{3} (Q)

CSi

n \equiv - 1 [8]

alors

n \in S_{3} (Z)

n \in / S_{3} (Q)

DSi

n \equiv - 1 [8]

alors

n \in / S_{3} (Z)

n \in S_{3} (Q)

EAucune des propositions n'est exacte

S_{3} (Q)

est multiplicatif car

S_{3} (Z)

l'est.

EAucune des propositions n'est exacte

BCar

det (P) = 2

et on a alors :

P^{- 1} = 1 - 1 0 1/2 1/2 - 1/2 1/2 1/2 1/2

CCar

det (P) = 2

et on a alors :

P^{- 1} = 110 1/2 1/2 - 1/2 - 1/2 1/2 1/2

DCar

det (P) = - 2

et on a alors :

P^{- 1} = 1 - 1 0 1/2 1/2 1/2 - 1/2 1/2 1/2

EAucune des propositions n'est exacte

A $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ est liée.
B $Card (u_{1}, u_{2}, u_{3}) = dim E$ .
C $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ , composée de trois vecteurs, est génératrice.
D $P$ est inversible.
EAucune des propositions n'est exacte

A $p_{F} \circ p_{G} = p_{F}, p_{G} \circ p_{F} = p_{G}, p_{F} \circ p_{F} = 0, p_{G} \circ p_{G} = 0, p_{F} + p_{G} = Id_{E}$
B $p_{F} \circ p_{G} = 0, p_{G} \circ p_{F} = 0, p_{F} \circ p_{F} = p_{F}, p_{G} \circ p_{G} = p_{G}, p_{F} + p_{G} = Id_{E}$
C $p_{F} \circ p_{G} = 0, p_{G} \circ p_{F} = 0, p_{F} \circ p_{F} = p_{G}, p_{G} \circ p_{G} = p_{F}, p_{F} + p_{G} = Id_{E}$
D $p_{F} \circ p_{G} = 0, p_{G} \circ p_{F} = 0, p_{F} \circ p_{F} = p_{F}, p_{G} \circ p_{G} = p_{G}, p_{F} + p_{G} = 0$
EAucune des propositions n'est exacte

A $Ker (p_{F}) = F$ , $Im (p_{F}) = G$ , $dim Ker (p_{F}) = 2$ et $dim Im (p_{F}) = 1$ .
B $Ker (p_{F}) = F$ , $Im (p_{F}) = G$ , $dim Ker (p_{F}) = 1$ et $dim Im (p_{F}) = 2$ .
C $Ker (p_{F}) = G$ , $Im (p_{F}) = F$ , $dim Ker (p_{F}) = 2$ et $dim Im (p_{F}) = 1$ .
D $Ker (p_{F}) = G$ , $Im (p_{F}) = F$ , $dim Ker (p_{F}) = 1$ et $dim Im (p_{F}) = 2$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $A_{F} = 100 1/2 10 - 1/2 00$ et $A_{G} = 000 - 1/2 00 1/2 01$
B $A_{F} = 000 - 1/2 00 1/2 01$ et $A_{G} = 100 1/2 10 - 1/2 00$
C $A_{F} = 100 1/2 10 - 1/2 00$ et $A_{G} = 000 - 1/2 00 1/2 00$
D $A_{F} = 100 1/2 10 1/2 00$ et $A_{G} = 000 - 1/2 00 1/2 01$
EAucune des propositions n'est exacte

BPour

t \in R

, nous avons :

\int_{0}^{t} \frac{1}{1 + a ^{2} u ^{2}} d u = \frac{1}{a} arctan (a t)

CPour

t \in R

, nous avons :

\int_{0}^{t} \frac{1}{1 + a ^{2} u ^{2}} d u = \frac{1}{a} arctan (\frac{t}{a})

DPour

t \in R

, nous avons :

\int_{0}^{t} \frac{1}{1 + a ^{2} u ^{2}} d u = a arctan (a t)

EAucune des propositions n'est exacte

BLa fonction

f

est définie, continue sur

R

C_{f}

sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à l'axe des ordonnées de la restriction de

C_{f}

à l'intervalle

[0; \frac{π}{2}]

suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur

k π i

k \in Z

CLa fonction

f

est définie, continue sur

R

C_{f}

sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à la droite d'équation

x = \frac{π}{2}

de la restriction de

C_{f}

à l'intervalle

[0; \frac{π}{2}]

suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur

k π i

k \in Z

DLa fonction

f

est définie, continue sur

R

C_{f}

sera obtenue en construisant le symétrique orthogonal par rapport à la droite d'équation

x = \frac{π}{2}

de la restriction de

C_{f}

à l'intervalle

[0; \frac{π}{2}]

suivi de la transformation du tout par les translations de vecteur

2 k π i

k \in Z

EAucune des propositions n'est exacte

f

est dérivable et

f^{'} (t) = \frac{2 ( 1 - x ) cos ( t )}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )}

f

est dérivable et

f^{'} (t) = \frac{( 1 - x ) sin ( t ) cos ( t )}{( cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t ) ) ^{2}}

f

est dérivable et

f^{'} (t) = \frac{2 ( 1 - x ) sin ( t ) cos ( t )}{( cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t ) ) ^{2}}

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

x = 1

f^{'} (t) = 0

et si

x > 1

C_{f}

admet

\frac{1}{x}

comme maximum sur

R

et des tangentes horizontales en

k π, k \in Z

\frac{π}{2} + k π, k \in Z

CSi

x = 1

f^{'} (t) = 0

et si

x < 1

C_{f}

admet

\frac{1}{x}

comme maximum sur

R

et des tangentes horizontales en

k π, k \in Z

\frac{π}{2} + k π, k \in Z

DSi

x = 1

f^{'} (t) = 0

et si

x > 1

C_{f}

admet

\frac{1}{x}

comme minimum sur

R

et des tangentes horizontales en

k π, k \in Z

\frac{π}{2} + k π, k \in Z

EAucune des propositions n'est exacte

I = 2 \int_{0}^{π /2} \frac{x}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t

I = a \to π /2 lim \int_{0}^{a} \frac{2}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t

car la fonction

u \mapsto \int_{0}^{u} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t

est continue sur

[0; \frac{π}{2}]

puisque la fonction

x \mapsto \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )}

l'est aussi.

I = a \to π /2 lim \int_{0}^{a} \frac{2}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t

car la fonction

u \mapsto \int_{0}^{u} \frac{2}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t

est continue sur

[0; \frac{π}{2}]

puisque

t \mapsto f (t)

l'est aussi.

EAucune des propositions n'est exacte

A $H (a) = \int_{0}^{tan (a)} \frac{1}{1 + ( xu ) ^{2}} d u$
B $H (a) = \int_{0}^{tan (a)} \frac{1}{1 + x u ^{2}} d u$
C $H (a) = \int_{0}^{tan (a)} \frac{1}{1 + u ^{2}} d u$
D $H (a) = \frac{1}{x} \int_{0}^{tan (a)} \frac{1}{1 + x u ^{2}} d u$
EAucune des propositions n'est exacte

A $H (a) = arctan (x tan (a))$ et $\int_{0}^{π} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t = π$
B $H (a) = x arctan (x tan (a))$ et $\int_{0}^{π} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t = π x$
C $H (a) = \frac{1}{x} arctan (x tan (a))$ et $\int_{0}^{π} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t = \frac{π}{x}$
D $H (a) = \frac{1}{x} arctan (x tan (a))$ et $\int_{0}^{π} \frac{1}{cos ^{2} ( t ) + x sin ^{2} ( t )} d t = \frac{x}{π}$
EAucune des propositions n'est exacte

Aperçu de l'épreuve

Partie I

Partie II

Partie III - A

Partie III - B

Partie IV

Partie V

Partie VI