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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2018

2018

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
On considère l'équation différentielle $(1 - x^{2}) y^{'} - 2 x y = x^{2} (E)$ . On note $V =] - \infty, - 1 [\cup] - 1, 1 [\cup] 1, + \infty [$ .
Une solution sur $V$ de l'équation homogène associée à $(E)$ est :
A $y (x) = C (1 - x^{2})$ , avec $C \in R$
B $y (x) = C (1 + x^{2})$ , avec $C \in R$
Fonctions, limites et développements limités
L'ensemble des solutions sur $V$ de l'équation homogène associée à $(E)$ forme un sous-espace vectoriel de dimension $n$ de l'ensemble des fonctions continues et dérivables sur $V$ , avec :
A $n = 0$
B $n = 1$
C $n = 2$
D
Fonctions, limites et développements limités
On montre que la fonction $y_{p}$ est une solution particulière de $(E)$ sur $V$ , avec :
A $y_{p} (x) = \frac{x ^{3}}{3}$
Fonctions, limites et développements limités
AL'ensemble des solutions de $(E)$ sur $V$ est de la forme $y (x) = (\frac{x ^{3}}{3} + C) (1 - x^{2})$ , avec $C \in R$
Fonctions, limites et développements limités
Partie II
Soit la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par $u_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} + 2^{n}$ . Alors $u_{n}$ vérifie
Suites et séries numériques
Soit la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par la relation de récurrence $3 u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} - 5 u_{n} = 0 (R)$ et par la donnée de $u_{0} = 1$ et $u_{1} = \frac{13}{3}$ . Les réels $q$ tels que la suite géométrique $(q^{n})$ vérifie la relation $(R)$ sont :
Suites et séries numériques
Soit la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par la relation de récurrence $3 u_{n + 2} - 2 u_{n + 1} - 5 u_{n} = 0 (R)$ et par la donnée de $u_{0} = 1$ et $u_{1} = \frac{13}{3}$ . Alors la suite $(u_{n})_{n \in N}$ est définie par :
Suites et séries numériques
Partie III
La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $Q (x) = \frac{1}{x ( x - 1 ) ^{2}}$ est
A $Q (x) = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1}$
Polynômes
Une primitive $F$ sur $] 0, 1 [$ de la fonction $Q (x) = \frac{1}{x ( x - 1 ) ^{2}}$ est
A $F (x) = ln (x) - ln (1 - x) - \frac{1}{x - 1}$
Intégration
Une primitive $F$ sur $] 1, + \infty [$ de la fonction $Q (x) = \frac{1}{x ( x - 1 ) ^{2}}$ est
A $F (x) = ln (x) - ln (1 - x) - \frac{1}{x - 1}$
Intégration
On considère la fraction rationnelle $Q (x) = \frac{1}{x ( x - 1 ) ^{2}}$ . On en déduit que :
A $I = \int_{2}^{3} Q (x) d x$ existe et vaut $I = ln (\frac{3}{4}) - \frac{1}{2}$
Intégration
Une primitive de $g (x) = e^{- x} e^{- 2 in x}$ est donnée par
A $G (x) = - e^{- x} e^{- 2 in x}$
Intégration
Soit la fonction $f$ définie pour $t < 0$ par : $f (t) = \frac{2 t}{( 1 + t ^{2} ) ( 1 + t ) ^{2}}$ La décomposition en éléments simples de $f$ est :
Polynômes
Soit la fonction $f$ définie pour $t < 0$ par : $f (t) = \frac{2 t}{( 1 + t ^{2} ) ( 1 + t ) ^{2}}$ Une primitive de $f$ est :
Intégration
Pour tout entier naturel $n$ on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} x [ln (\frac{1}{x})]^{n} d x$
Intégration
Pour tout entier naturel $n$ on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} x [ln (\frac{1}{x})]^{n} d x$ . On peut montrer que :
Intégration
Pour tout entier naturel $n$ on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} x [ln (\frac{1}{x})]^{n} d x$ . On en déduit ainsi la valeur de $I_{n}$ en fonction de $n$ :
Intégration
Partie IV
La série $n = 1 \sum \infty \frac{n}{( - 2 ) ^{n} ( n - 1 )!}$
Aest convergente mais pas absolument convergente
B
Suites et séries numériques
La série $n = 1 \sum + \infty \frac{cos ( nπ ) - cos ( \frac{nπ}{2} )}{n ^{2}}$
Suites et séries numériques
Soient les suites définies, pour $n \in N^{*}$ , par $u_{n} = p = 1 \sum n \frac{1}{p} - ln n$ et $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ .
Suites et séries numériques
Partie V
Pour tout nombre réel $α$ , on désigne par $[α]$ la partie entière de $α$ .
Le produit de quatre entiers consécutifs est nécessairement divisible par :
A16
B18
C20
D24
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
Soient $a$ et $b$ deux entiers positifs tels que $b$ divise $a^{2} + 1$ , alors :
A $b divise a^{4} + 1$
B $b divise a^{4} + 1 ⟺ b divise 2$
Polynômes
Le nombre de zéros à la fin de $23!$ est :
A2
B3
C4
D5
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
Pour $n ⩾ 5$ , le dernier chiffre de $n!$ qui soit différent de zéro est toujours :
Aun nombre pair
Bun nombre impair
Cun nombre pair si $n$ est pair
Dun nombre impair si $n$ est impair
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
Le nombre $p$ est un diviseur premier de $2^{21} - 1$ si :
A $p = 2$
B $p = 3$
C $p = 7$
Polynômes
Le nombre $p$ est un diviseur premier de $2^{21} - 1$ si :
A $p = 113$
B $p = 127$
C $p = 131$
Polynômes
Le nombre $p$ est un diviseur premier de $3^{12} - 1$ si :
A $p = 3$
B $p = 5$
C $p = 7$
Polynômes
Quel que soit $n \in N^{*}$ , quel que soit $x \in R$ , on a :
A $[\frac{[ n x ]}{n}] = [x]$
Fonctions, limites et développements limités
Le reste de la division de l'entier $N = 200 0^{1000}$ par $7$ est
A1
B2
C5
D6
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
Partie VI
Soit $a$ un nombre réel non nul ; on considère la matrice $A = 0 \frac{1}{a} \frac{1}{a ^{2}} a 0 \frac{1}{a} a^{2} a 0$ . Le déterminant de $A$ vaut
Algèbre linéaire et matrices
$R^{3}$ est rapporté à une base orthonormée. La matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation $2 x - 2 y + z = 0$ est
A $M = - 3 4 - 2 4 - 3 2 - 2 20$
Géométrie
Soient les matrices à trois lignes et à trois colonnes $A = 210 43 - 1 301 et B = - 3 - 3 - 1 872 - 16 - 12 - 3$ L'inverse de la matrice $M = B A$ :
Algèbre linéaire et matrices
Dans $E$ espace vectoriel sur $R$ de dimension 3, $B = (i, j, k)$ désigne une base de $E$ . L'application linéaire $f$ de $E$ dans $E$ est définie par : $u = f (i) v = f (j) w = f (k) = - 3 i + j + k = - 2 i + j + 4 k = 4 i - j + 2 k$
Algèbre linéaire et matrices
Partie VII
Soit la fonction $f$ définie par $f (0) = 0 et f (x) = \frac{e ^{x} - x - 1}{x} si x \neq = 0$
Fonctions, limites et développements limités
Soit la fonction de $R^{*}$ dans $R$ définie par $f (x) = \frac{x + 1}{e ^{1/ x}}$ :
ALa courbe représentative de $f$ n'admet pas d'asymptote au voisinage de $+ \infty$
Fonctions, limites et développements limités
Soit $a$ un paramètre réel. Les solutions de l'équation $2 (1 + i) z^{2} + 2 (a + i) z + ia (1 - i) = 0$ sont :
A
Nombres complexes

y (x) = \frac{C}{1 - x ^{2}}

, avec

C \in R

y (x) = - ln (1 - x^{2}) + C

, avec

C \in R

EAucune des propositions n'est exacte

y_{p} (x) = \frac{x ^{3}}{3} (1 - x^{2})

y_{p} (x) = \frac{x ^{3}}{3 ( 1 - x ^{2} )}

y_{p} (x) = \frac{x ^{3}}{3} ln (1 - x^{2})

EAucune des propositions n'est exacte

BL'ensemble des solutions de

(E)

sur

V

est de la forme

y (x) = (\frac{x ^{3}}{3} + C) (1 + x^{2})

, avec

C \in R

CL'ensemble des solutions de

(E)

sur

V

est de la forme

y (x) = (\frac{x ^{3}}{3} + C) ln (1 - x^{2})

, avec

C \in R

DL'ensemble des solutions de

(E)

sur

V

est de la forme

y (x) = \frac{\frac{x ^{3}}{3} + C}{1 - x ^{2}}

, avec

C \in R

EAucune des propositions n'est exacte

A $2 u_{n + 2} + 5 u_{n + 1} + 2 u_{n} = 0$
B $2 u_{n + 2} - 5 u_{n + 1} + 2 u_{n} = 0$
C $2 u_{n + 2} - 3 u_{n + 1} - 2 u_{n} = 0$
D $2 u_{n + 2} + 3 u_{n + 1} - 2 u_{n} = 0$
EAucune des propositions n'est exacte

A $q_{1} = - \frac{5}{3}$ et $q_{2} = - 1$
B $q_{1} = \frac{5}{3}$ et $q_{2} = - 1$
C $q_{1} = - \frac{5}{3}$ et $q_{2} = 1$
D $q_{1} = \frac{5}{3}$ et $q_{2} = 1$
EAucune des propositions n'est exacte

A $u_{n} = 2 (\frac{5}{3})^{n} - (- 1)^{n}$
B $u_{n} = - \frac{5}{4} (- \frac{5}{3})^{n} + \frac{9}{4} (1)^{n}$
C $u_{n} = 2 (\frac{5}{3})^{n} - (1)^{n}$
D $u_{n} = 2 (- \frac{5}{3})^{n} - (1)^{n}$
EAucune des propositions n'est exacte

Q (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

Q (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

Q (x) = \frac{1}{x ^{2}} - \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

EAucune des propositions n'est exacte

F (x) = ln (x) - ln (x - 1) + \frac{1}{x - 1}

F (x) = - \frac{1}{x} - ln (x) + ln (1 - x)

F (x) = - \frac{1}{x} - ln (1 - x) + \frac{1}{x - 1} + C

, avec

C \in R

EAucune des propositions n'est exacte

F (x) = ln (x) - ln (1 - x) + \frac{1}{x - 1}

F (x) = - \frac{1}{x} - ln (x) + ln (1 - x)

F (x) = - \frac{1}{x} - ln (1 - x) + \frac{1}{x - 1} + C

, avec

C \in R

EAucune des propositions n'est exacte

I = \int_{2}^{3} Q (x) d x

existe et vaut

I = ln (\frac{3}{4}) + \frac{1}{2}

I = \int_{2}^{3} Q (x) d x

existe et vaut

I = \frac{1}{6} - ln (3)

I = \int_{2}^{3} Q (x) d x

n'existe pas

EAucune des propositions n'est exacte

G (x) = - 2 in e^{- x} e^{- 2 in x}

G (x) = \frac{- 1}{2 in + 1} e^{- x} e^{- 2 in x}

G (x) = \frac{1}{- 2 in x - x} e^{- x} e^{- 2 in x}

EAucune des propositions n'est exacte

A $f (t) = \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}} + \frac{2}{1 + t} + \frac{2 t - 1}{1 + t ^{2}}$
B $f (t) = \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}} + \frac{2}{1 + t} + \frac{2}{1 + t ^{2}}$
C $f (t) = \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}} + \frac{2}{1 + t} + \frac{2 t - 2}{1 + t ^{2}}$
D $f (t) = - \frac{1}{( 1 + t ) ^{2}} + \frac{1}{1 + t ^{2}}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $F (t) = - \frac{1}{1 + t} + 2 ln (1 + t) + ln (1 + t^{2}) - arctan (1 + t^{2}) + C$ , $C \in R$
B $F (t) = - \frac{1}{1 + t} + 2 ln (- 1 - t) + 2 arctan (1 + t^{2}) + C$ , $C \in R$
C $F (t) = \frac{1}{1 + t} + arctan t + C$ , $C \in R$
D $F (t) = - \frac{1}{1 + t} + 2 ln (- 1 - t) + ln (1 + t^{2}) - arctan (1 + t^{2}) + C$ , $C \in R$
EAucune des propositions n'est exacte

A $I_{0} = \frac{1}{3}$
B $I_{0} = \frac{1}{2}$
C $I_{0} = 1$
D $I_{0} = \frac{1}{4}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $I_{n} = \frac{n}{2} I_{n - 1}$ pour $n > 0$
B $I_{n + 1} = \frac{n + 1}{2} I_{n}$
C $I_{n} = \frac{n - 1}{2} I_{n - 1}$ pour $n > 0$
D $I_{n + 1} = \frac{n}{2} I_{n}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $I_{n} = \frac{n !}{2 ^{n}}$
B $I_{n} = \frac{( n + 1 )!}{2 ^{n}}$
C $I_{n} = \frac{n !}{2 ^{n + 1}}$
D $I_{n} = \frac{( n + 1 )!}{2 ^{n + 1}}$
EAucune des propositions n'est exacte

est absolument convergente, donc convergente

Cest convergente, donc absolument convergente

Dn'est ni convergente, ni absolument convergente

EAucune des propositions n'est exacte

Aconverge car son terme général tend vers 0
Bconverge car son terme général est équivalent à $\frac{1}{n ^{2}}$ quand $n \to + \infty$
Cconverge car c'est une série à termes positifs
Dconverge vers $\frac{3 π ^{2}}{16}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $n ⩾ 1 \sum v_{n}$ diverge car $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n}$ diverge
B $n ⩾ 1 \sum v_{n}$ converge car $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge
C $n ⩾ 1 \sum v_{n}$ converge car $n ⩾ 1 \sum \frac{1}{n ^{3}}$ converge
D $n ⩾ 1 \sum v_{n}$ diverge car $v_{n}$ ne tend pas vers zéro
EAucune des propositions n'est exacte

b divise a^{4} + 1 ⟺ b = 1

b divise a^{4} + 1 ⟺ b = 2

EAucune des propositions n'est exacte

[\frac{[ n x ]}{n}] = [x] + 1

[\frac{[ n x ]}{n}] = [x] - 1

DOn ne peut pas exprimer

[\frac{[ n x ]}{n}]

indépendamment de

n

EAucune des propositions n'est exacte

A0 car il n'y a que des 0 sur la diagonale
B2
C1
D $a$
EAucune des propositions n'est exacte

M = \frac{1}{3} - 1 4 - 2 4 - 1 2 - 2 22

M = \frac{1}{3} 7 - 4 2 - 4 7 - 2 2 - 2 4

M = \frac{1}{9} 54 - 2 452 - 2 28

EAucune des propositions n'est exacte

Avaut $M^{- 1} = 21028215 - 25 - 21 - 6$
Bvaut $M^{- 1} = 2 - 28 - 25 - 1 2121 0 - 5 - 6$
Cvaut $M^{- 1} = - 21 65 43 - 12 - 10 - 63 1714$
Dn'existe pas car $det M = 0$
EAucune des propositions n'est exacte

A ${u, v, w}$ est une base de $E$
B ${u, v, w}$ n'est pas une base de $E$
CL'ensemble des vecteurs $x$ tels que $f (x) = 0$ est ${0}$
DL'ensemble des vecteurs $x$ tels que $f (x) = 0$ est ${k x_{0}, k \in R}$ , avec $x_{0} = - 2 i + j + k$
EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est continue sur $R$
B $f$ est dérivable sur $R$
C $f^{'} (0) = 1$
D $f$ n'est pas dérivable en 0
EAucune des propositions n'est exacte

BLa courbe représentative de

f

admet la droite d'équation

y = x

comme asymptote au voisinage de

+ \infty

CLa courbe représentative de

f

admet la droite d'équation

y = - x

comme asymptote au voisinage de

- \infty

DLa courbe représentative de

f

admet la droite d'équation

y = \frac{x}{2}

comme asymptote au voisinage de

+ \infty

EAucune des propositions n'est exacte

z_{1} = - \frac{a}{1 + i}

z_{2} = - \frac{1 + i}{2}

z_{1} = - \frac{a}{1 + i}

z_{2} = - \frac{1 - i}{2}

z_{1} = \frac{a}{1 + i}

z_{2} = - \frac{1 + i}{2}

z_{1} = - \frac{a}{1 - i}

z_{2} = \frac{1 + i}{2}

EAucune des propositions n'est exacte

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