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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2019

2019

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
Soit $n \in N^{*}$ et un polynôme de $Z [X]$ qui s'écrit $P (X) = k = 0 \sum n a_{k} X^{k}$ , avec $(a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}) \in Z^{n}$ .
APour tout $P$ ainsi défini, $P$ n'admet jamais de racine dans $Q$ .
BPour tout $P$ ainsi défini, $P$ admet toujours au moins une racine dans $Q$ .
CSi le rationnel $\frac{p}{q}$ , avec $p \in Z, q \in Z^{*}$ et $pgcd (p, q) = 1$ , est racine de $P$ alors $p$ divise $a_{0}$ et $q$ divise $a_{n}$ .
Polynômes
La proposition suivante est vérifiée :
Ail suffit de chercher tous les diviseurs $p_{i}$ entiers relatifs de $a_{0}$ et tous les diviseurs $q_{j}$ entiers relatifs de $a_{n}$ et les rationnels $\frac{p _{i}}{q _{j}}$ sont alors parmi les racines possibles du polynôme $P$ .
Polynômes
Soit $Q (X) = 6 X^{3} - 2 X^{2} + 3 X + 4$ . La proposition suivante est vérifiée :
Ale nombre de rationnels pouvant éventuellement être racine de $Q$ est : 8.
Ble nombre de rationnels non entiers pouvant éventuellement être racine de $Q$ est : 5.
Polynômes
Soit $R (X) = 78 X^{3} + u X^{2} + v X - 14$ , $u$ et $v$ étant des entiers relatifs. La proposition suivante est vérifiée :
A
Polynômes
Soit $S (X) = X^{3} - 3 X + 1$ . La proposition suivante est vérifiée :
A $S$ admet une racine rationnelle.
B $S$ n'admet pas de racine rationnelle.
C $S$ admet deux racines rationnelles.
Polynômes
En étudiant la fonction polynomiale associée à $S (X) = X^{3} - 3 X + 1$ , on démontre que :
A $S$ admet seulement une racine réelle.
B $S$ admet trois racines réelles distinctes.
C $S$ admet seulement deux racines réelles distinctes.
Polynômes
Partie II
L'objectif de cette partie est d'étudier les suites définies pour tout entier $n$ par : $u_{n + 1} = \frac{a u _{n} + b}{c u _{n} + d}$ le premier terme $u_{0}$ étant donné et $(a, b, c, d) \in R^{4}$ .
Pour tout $(a, b) \in R^{2} ∖ {(0, 0)}$ , si $c = 0$ et $d \neq = 0$ alors $(u_{n})_{n \in N}$ est une suite :
Suites et séries numériques
Pour toute la suite du sujet, nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . Si $a d - b c = 0$ alors $(u_{n})_{n \in N}$ est une suite :
Suites et séries numériques
On suppose désormais que $a d - b c \neq = 0$ , et l'on reste dans le cas $c \neq = 0$ fixé à la question 8. Pour que la suite $(u_{n})_{n \in N}$ soit définie pour tout $n \in N$ , il faut et il suffit que $u_{0}$ soit :
Suites et séries numériques
Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . Étude du cas général avec $c \neq = 0$ , $a d - b c \neq = 0$ et $u_{0}$ convenablement choisi. La proposition suivante est vérifiée :
Suites et séries numériques
Nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . Supposons que $f$ admette deux points fixes distincts $α$ et $β$ . On en déduit alors que :
Suites et séries numériques
Nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . Supposons que $f$ admette deux points fixes distincts $α$ et $β$ . Lorsque $u_{0} = α$ ou $u_{0} = β$ , la suite $(u_{n})_{n \in N}$ est :
Suites et séries numériques
Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . Dans toute la suite, on suppose que $u_{0} \neq = β$ et que $u_{0} \neq = α$ , $α$ et $β$ étant deux points fixes distincts de $f$ . On rappelle que $c \neq = 0$ . La suite de terme général $\frac{u _{n} - α}{u _{n} - β}$ est une suite :
Suites et séries numériques
Nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . On suppose que $u_{0} \neq = β$ et que $u_{0} \neq = α$ , $α$ et $β$ étant deux points fixes distincts de $f$ . La suite de terme général $\frac{u _{n} - α}{u _{n} - β}$ est une suite géométrique de raison $k$ . Nous en déduisons alors :
Suites et séries numériques
Nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . Supposons maintenant que $f$ admette un seul point fixe $α$ . La suite de terme général $\frac{1}{u _{n} - α}$ est une suite :
Suites et séries numériques
Nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . Supposons que $f$ admette un seul point fixe $α$ . On en déduit que :
Suites et séries numériques
Nous nous plaçons dans le cas où $c \neq = 0$ . Soit $f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ la fonction associée à $(u_{n})_{n \in N}$ . On suppose que $a d - b c \neq = 0$ . Supposons maintenant que $f$ n'admette pas de point fixe. Alors $(u_{n})_{n \in N}$ :
Suites et séries numériques
Partie III
Soit $E$ l'ensemble des matrices de $M_{3} (R)$ de la forme : $M (a, b, c) = b + c - a c - a b - a a - b a a - b a - c a - c a avec (a, b, c) \in R^{3} .$
A $M (a, b, c) = a A + b B + c C$ où $A = 1 - 1 - 1 111111, B = 101 - 1 1 - 1 000, C = 010000 - 1 - 1 1$ et de plus $A + B + C = 2 Id$ .
Algèbre linéaire et matrices
$E$ est un espace vectoriel réel de dimension 3 de base :
A $P = - 1 - 1 - 1 111111, Q = 101 - 1 0 - 1 000, R = 110000 - 1 - 1 0$ .
Algèbre linéaire et matrices
On note $A$ , $B$ et $C$ les matrices telles que $M (a, b, c) = a A + b B + c C$ pour tout $(a, b, c) \in R^{3}$ . La table de multiplication des éléments de la base est donnée par le tableau :
Algèbre linéaire et matrices
On en déduit, pour $(a, b, c) \in R^{3}$ et $(a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}$ que :
Algèbre linéaire et matrices
On en déduit que :
A $\forall (a, b, c) \in R^{3}$ et $\forall (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}$ nous avons : $M (a, b, c) - M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in E$ et $M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \times M (a, b, c)$ .
Algèbre linéaire et matrices
Partie IV
Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche ou rouge. On sait que cette urne contient au moins deux boules de chaque couleur. On note $n$ , $b$ et $r$ le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges. On tire simultanément deux boules dans l'urne et on note leur couleur. On note l'événement $G$ : « obtenir deux boules de la même couleur ». On note $g (n, b, r)$ la probabilité en fonction de $n$ , $b$ et $r$ de l'événement $G$ .
On démontre que :
A $g (n, b, r) = \frac{1}{120} [n (n - 1) + b (b - 1) + r (r - 1)]$
Probabilités et dénombrement
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ , soient les points $N, B et R$ de coordonnées respectives $(15, 0, 0)$ , $(0, 15, 0)$ et $(0, 0, 15)$ . Une équation cartésienne du plan $(N B R)$ est :
A $- x - y - z = 15$
Géométrie
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé d'origine $O$ , soient les points $N, B et R$ de coordonnées respectives $(15, 0, 0)$ , $(0, 15, 0)$ et $(0, 0, 15)$ . Soit $M$ le point de coordonnées $(n, b, r)$ comme définies précédemment. On démontre que :
Probabilités et dénombrement
On en déduit que la probabilité $g (n, b, r)$ est minimale pour :
A $(n, b, r) = (4, 4, 4)$
B $(n, b, r) = (3, 3, 3)$
Probabilités et dénombrement
Cette probabilité minimale est :
A $\frac{2}{7}$
B $\frac{2}{35}$
C $\frac{11}{70}$
Probabilités et dénombrement
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'événement $G$ soit minimale. Un joueur mise $x$ euros, avec $x \in N^{*}$ puis il tire simultanément au hasard deux boules de l'urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit $k$ fois le montant de sa mise, avec $k$ nombre réel strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien. On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Le jeu est équitable pour :
A $k ⩽ \frac{7}{2}$
Probabilités et dénombrement
Partie V
Pour $n \in N^{*}$ , on considère la fonction $f_{n}$ définie sur l'intervalle $[0; \frac{π}{2}]$ par : $f_{n} : x \mapsto n (cos x)^{n} sin x$
La fonction $f_{n}$ :
Aadmet un maximum sur $[0; \frac{π}{2}]$ en un point unique $x_{n}$ vérifiant : $x_{n} = arctan \frac{1}{n}$ .
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $f_{n}$ admet un maximum sur $[0; \frac{π}{2}]$ en un point unique $x_{n}$ . On démontre que :
A
Suites et séries numériques
La fonction $f_{n}$ admet un maximum sur $[0; \frac{π}{2}]$ en un point unique $x_{n}$ . On note $y_{n} = f_{n} (x_{n})$ . On démontre que :
Suites et séries numériques
Soit la fonction $f$ définie par : $f (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t$ . Un développement limité de $f$ en 0 à l'ordre 4 est donné par l'expression :
Intégration
Partie VI
On considère les suites $(x_{n})_{n \in N}$ , $(y_{n})_{n \in N}$ et $(z_{n})_{n \in N}$ définies pour tout $n \in N^{*}$ par : $x_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} cos t d t, y_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} sin t d t et z_{n} = x_{n} + i y_{n} .$
On démontre que $n \to + \infty lim x_{n} = 0$ et $n \to + \infty lim y_{n} = 0$ si et seulement si :
Intégration
$\forall n \in N^{*}$ , on démontre que :
A $x_{n + 1} = (n + 1) y_{n} + sin (1)$
Intégration
$\forall n \in N^{*}$ , on démontre que :
A $y_{n + 1} = (n + 1) x_{n} + cos (1)$
Intégration
On déduit que :
A $n \to + \infty lim n x_{n} = cos 1$ et $n \to + \infty lim n y_{n} = sin 1$
Intégration

DSi le rationnel

\frac{p}{q}

, avec

p \in Z, q \in Z^{*}

pgcd (p, q) = 1

, est racine de

P

alors

p

divise

a_{n}

q

divise

a_{0}

EAucune des propositions n'est exacte

Bil suffit de chercher tous les diviseurs

p_{i}

entiers naturels de

a_{0}

et tous les diviseurs

q_{j}

entiers naturels de

a_{n}

et les rationnels

\frac{p _{i}}{q _{j}}

sont alors parmi les racines possibles du polynôme

P

Cil n'existe pas de critère de localisations des éventuelles racines de

P

Dl'étude des variations de la fonction polynomiale associée à

P

permet de déterminer le nombre de racines de

P

EAucune des propositions n'est exacte

Cle nombre de rationnels pouvant éventuellement être racine de

Q

est : 14.

Dle nombre de rationnels non entiers pouvant éventuellement être racine de

Q

est : 10.

EAucune des propositions n'est exacte

R

admet éventuellement des racines parmi exactement 28 rationnels positifs non entiers.

R

admet éventuellement des racines parmi exactement 32 rationnels positifs non entiers.

R

admet éventuellement des racines parmi exactement 20 rationnels positifs non entiers.

R

admet éventuellement des racines parmi exactement 24 rationnels positifs non entiers.

EAucune des propositions n'est exacte

S

admet trois racines rationnelles.

EAucune des propositions n'est exacte

S

n'admet pas de racines réelles.

EAucune des propositions n'est exacte

Agéométrique.
Barithmético-géométrique.
Carithmétique.
Dconstante.
EAucune des propositions n'est exacte

Atelle que $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .
Bnon définie.
Cconstante.
Dtelle que $n \to + \infty lim u_{n} = \frac{a}{c}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Anon nul.
Bdifférent de $- \frac{d}{c}$ .
Cdifférent de $\frac{a}{c}$ .
Dun nombre réel.
EAucune des propositions n'est exacte

Ala fonction $f$ peut admettre au plus deux points fixes.
Bla fonction $f$ peut admettre au plus un point fixe.
Cla fonction $f$ admet exactement deux points fixes.
Dla fonction $f$ admet exactement un point fixe.
EAucune des propositions n'est exacte

A $b = c α^{2} + (d - a) α$ et $b = c β^{2} + (d - a) β$
B $b = c α^{2} + (a - d) α$ et $b = c β^{2} + (a - d) β$
C $b = - c α^{2} + (d - a) α$ et $b = c β^{2} + (d - a) β$
D $b = - c α^{2} + (d - a) α$ et $b = - c β^{2} + (d - a) β$
EAucune des propositions n'est exacte

Anulle.
Bdivergente.
Cconstante.
Dnon définie.
EAucune des propositions n'est exacte

Agéométrique de raison $k = \frac{a - β c}{a - α c}$ et de premier terme $\frac{u _{0} - β}{u _{0} - α}$ .
Bgéométrique de raison $k = \frac{a - α c}{a - β c}$ et de premier terme $\frac{u _{0} - α}{u _{0} - β}$ .
Cgéométrique de raison $k = \frac{a + β c}{a + α c}$ et de premier terme $\frac{u _{0} + β}{u _{0} + α}$ .
Dgéométrique de raison $k = \frac{a + α c}{a + β c}$ et de premier terme $\frac{u _{0} + α}{u _{0} + β}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Asi $∣ k ∣ < 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = β$ ; si $∣ k ∣ > 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = α$ ; si $k = - 1$ , $(u_{n})_{n \in N}$ diverge ; et si $k = 1$ , $(u_{n})_{n \in N}$ est constante.
Bsi $∣ k ∣ < 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = β$ ; si $∣ k ∣ > 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = α$ ; si $k = - 1$ ou $k = 1$ , $(u_{n})_{n \in N}$ est constante.
Csi $∣ k ∣ < 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = α$ ; si $∣ k ∣ > 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = β$ ; si $k = - 1$ , $(u_{n})_{n \in N}$ diverge ; et si $k = 1$ , $(u_{n})_{n \in N}$ est constante.
Dsi $∣ k ∣ < 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = α$ ; si $∣ k ∣ > 1$ alors $n \to + \infty lim u_{n} = β$ ; et si $k = - 1$ , $(u_{n})_{n \in N}$ diverge. $k = 1$ n'est pas possible puisque $c \neq = 0$ et $α \neq = β$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Aarithmétique de premier terme $\frac{1}{u _{0} - α}$ et de raison $k^{'} = \frac{c}{a - α c}$ .
Barithmétique de premier terme $\frac{1}{u _{0} - α}$ et de raison $k^{'} = \frac{b}{a - α b}$ .
Carithmétique de premier terme $\frac{1}{u _{0} - α}$ et de raison $k^{'} = \frac{a}{c - α a}$ .
Darithmétique de premier terme $\frac{1}{u _{0} - α}$ et de raison $k^{'} = \frac{b}{c - α b}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $n \to + \infty lim u_{n} = - \infty$
B $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$
C $n \to + \infty lim u_{n} = α$
D $n \to + \infty lim u_{n} = 0$
EAucune des propositions n'est exacte

Aest telle qu'on ne peut rien dire quant à l'existence d'une limite finie éventuelle en $+ \infty$ .
Badmet une limite infinie en $+ \infty$ .
Cadmet une limite finie en $+ \infty$ .
Dn'admet pas de limite finie en $+ \infty$ .
EAucune des propositions n'est exacte

M (a, b, c) = a A + b B + c C

où

A = - 1 - 1 - 1 111111, B = 101 - 1 0 - 1 000, C = 010 0 - 1 0 - 1 - 1 - 1

et de plus

A + B + C = (0)

M (a, b, c) = a A + b B + c C

où

A = 0 - 1 - 1 111111, B = 101 - 1 0 - 1 001, C = 110010 - 1 - 1 0

et de plus

A + B + C = 2 Id

M (a, b, c) = a A + b B + c C

où

A = - 1 - 1 - 1 111111, B = 001 - 1 - 1 - 1 00 - 1, C = 110000 - 1 - 1 0

et de plus

A + B + C = (0)

EAucune des propositions n'est exacte

P = - 2 - 2 - 2 222222, Q = 202 - 2 0 - 2 000, R = 220000 - 2 - 2 0

P = - 1 - 1 - 1 111111, Q = 101 - 1 0 - 1 000, R = 010 0 - 1 0 - 1 - 1 - 1

P = - 2 - 2 - 2 222222, Q = 002 - 2 - 2 - 2 00 - 2, R = 220000 - 2 - 2 0

EAucune des propositions n'est exacte

A $\times A B C A A 00 B 0 C 0 C 00 B$
B $\times A B C A B 00 B 0 A 0 C 00 C$
C $\times A B C A A 00 B 0 B 0 C 00 C$
D $\times A B C A C 00 B 0 A 0 C 00 B$
EAucune des propositions n'est exacte

A $M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a c^{'}, b a^{'}, c b^{'})$ .
B $M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a b^{'}, c a^{'}, b c^{'})$ .
C $M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a a^{'}, b c^{'}, c b^{'})$ .
D $M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a a^{'}, b b^{'}, c c^{'})$ .
EAucune des propositions n'est exacte

\exists (a, b, c) \in R^{3}

\exists (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}

tels que :

M (a, b, c) - M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in / E

M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \neq = M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \times M (a, b, c)

\forall (a, b, c) \in R^{3}

\forall (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}

nous avons :

M (a, b, c) - M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in E

. Et

\exists (a, b, c) \in R^{3}

\exists (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}

tels que :

M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \neq = M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \times M (a, b, c)

\exists (a, b, c) \in R^{3}

\exists (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}

tels que :

M (a, b, c) - M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in / E

. Et

\forall (a, b, c) \in R^{3}

\forall (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \in R^{3}

nous avons :

M (a, b, c) \times M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = M (a^{'}, b^{'}, c^{'}) \times M (a, b, c)

EAucune des propositions n'est exacte

g (n, b, r) = \frac{1}{210} [n (n + 1) + b (b + 1) + r (r + 1)]

g (n, b, r) = \frac{1}{120} [n (n + 1) + b (b + 1) + r (r + 1)]

g (n, b, r) = \frac{1}{120} [\frac{n ( n - 1 )}{2} + \frac{b ( b - 1 )}{2} + \frac{r ( r - 1 )}{2}]

EAucune des propositions n'est exacte

Ale point $M$ n'appartient pas au plan $(N B R)$ .
B $g (n, b, r) = \frac{1}{210} (O M^{2} - 15)$
Cle point $M$ appartient au plan $(N B R)$ .
D $g (n, b, r) = \frac{1}{120} (O M^{2} - 15)$
EAucune des propositions n'est exacte

(n, b, r) = (6, 6, 6)

(n, b, r) = (7, 7, 7)

EAucune des propositions n'est exacte

k ⩾ \frac{7}{2}

EAucune des propositions n'est exacte

Badmet un maximum sur

[0; \frac{π}{2}]

en un point unique

x_{n}

vérifiant :

x_{n} = arctan \frac{1}{n} + \frac{π}{2}

Cadmet un minimum sur

[0; \frac{π}{2}]

en un point unique

x_{n}

vérifiant :

x_{n} = arctan \frac{1}{n}

Dadmet un minimum sur

[0; \frac{π}{2}]

en un point unique

x_{n}

vérifiant :

x_{n} = arctan \frac{1}{n} + \frac{π}{2}

EAucune des propositions n'est exacte

x_{n} + \infty \sim \frac{1}{n} + \frac{π}{2}

x_{n} + \infty \sim n

x_{n} + \infty \sim \frac{1}{n}

x_{n} + \infty \sim n + \frac{π}{2}

EAucune des propositions n'est exacte

A $y_{n} + \infty \sim \frac{n}{2 e}$
B $y_{n} + \infty \sim \frac{n}{e}$
C $y_{n} + \infty \sim \frac{3 n}{2 e}$
D $y_{n} + \infty \sim \frac{2 n}{3 e}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $f (x) = - x + x^{2} - \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{4})$
B $f (x) = x + x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{4})$
C $f (x) = - x - x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{4})$
D $f (x) = - x + x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{4})$
EAucune des propositions n'est exacte

A $(x_{n})_{n \in N}$ et $(y_{n})_{n \in N}$ sont croissantes majorées et $\forall n \in N, 0 ⩽ x_{n} ⩽ \frac{1}{n + 1}$ et $0 ⩽ y_{n} ⩽ \frac{1}{n + 1}$ .
B $(x_{n})_{n \in N}$ et $(y_{n})_{n \in N}$ sont décroissantes et minorées par 0.
C $n \to + \infty lim ∣ z_{n} ∣ = 0$ .
D $(x_{n})_{n \in N}$ et $(y_{n})_{n \in N}$ sont décroissantes minorées et $\forall n \in N^{*}, 0 ⩽ x_{n} ⩽ \frac{1}{n}$ et $0 ⩽ y_{n} ⩽ \frac{1}{n}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

x_{n + 1} = - (n + 1) y_{n} + sin (1)

x_{n + 1} = - (n + 1) y_{n} + cos (1)

x_{n + 1} = (n + 1) y_{n} + cos (1)

EAucune des propositions n'est exacte

y_{n + 1} = - (n + 1) x_{n} - cos (1)

y_{n + 1} = - (n + 1) x_{n} + cos (1)

y_{n + 1} = (n + 1) x_{n} - cos (1)

EAucune des propositions n'est exacte

n \to + \infty lim n x_{n} = - cos 1

n \to + \infty lim n y_{n} = sin 1

n \to + \infty lim n x_{n} = cos 1

n \to + \infty lim n y_{n} = - sin 1

n \to + \infty lim n x_{n} = - cos 1

n \to + \infty lim n y_{n} = - sin 1

EAucune des propositions n'est exacte

Aperçu de l'épreuve

Partie I

Partie II

Partie III

Partie IV

Partie V

Partie VI