ENAC EPL 2019 (physique)

À l'aide d'une analyse dimensionnelle, déterminer l'unité SI (Système International) de $\eta$.

On néglige la poussée d'Archimède devant les deux autres forces. Quelle est, sous forme vectorielle, l'équation différentielle du premier ordre qui décrit le mouvement de la gouttelette dans $\mathcal{R}$ ? Dans les expressions ci-dessous, $t$ est le temps.

La poussée d'Archimède étant toujours négligée, quelle est, dans $\mathcal{R}$, l'expression de $\mathbf{v}(t)$ sachant que la vitesse initiale de la gouttelette est nulle ?

On s'intéresse maintenant au vecteur position $\mathbf{r}$ de la gouttelette. La poussée d'Archimède étant toujours négligée, déterminer $\mathbf{r}(t)$ sachant que la position initiale de la gouttelette est nulle.

Exprimer, en fonction de $D$, $\eta$, ${\rho }_e$ et $g$, la vitesse limite $v_l$ de la gouttelette, puis calculer sa valeur approximative. On donne $D=10\mu \text{m}$, $\eta \approx 2\times 10^{-5}$ SI (SI = Système International des unités) et $g\approx 10{\text{m.s}}^{-2}$ ($g$ est la norme de $\mathbf{g}$).

On s'intéresse désormais à l'influence de la poussée d'Archimède sur la valeur de $v_l$. Quel est l'écart relatif $|v_{l,A}-v_l|/v_{l,A}$, en pourcentage, entre la vitesse limite $v_{l,A}$ obtenue en tenant compte de la poussée d'Archimède et la vitesse $v_l$ obtenue précédemment ?

Un rayon lumineux atteint, sous un angle d'incidence $i$, l'un des dioptres d'une lame à faces parallèles en verre d'épaisseur $e$ et d'indice $n$ (Fig. 1a). La lame est plongée dans l'air (indice $n_a=1$). Après traversée de la lame, le rayon émerge sous un angle $i^{\prime }$. Quelle est la relation entre $i$ et $i^{\prime }$ ?

Comment s'écrit, en fonction de $e$, $n$ et $i$, l'écart $\Delta$ entre ce rayon émergent et le prolongement du rayon incident ? Parmi les réponses proposées, $r$ désigne l'angle de réfraction à la traversée du premier dioptre.

Sur le second dioptre de la lame, le rayon est non seulement réfracté comme précédemment, mais il est aussi partiellement réfléchi. Il retourne alors vers le premier dioptre où il se réfléchit partiellement à nouveau et retourne vers le second dioptre. Quelle est la durée $\Delta t$ de ce trajet (soit un aller-retour dans la lame) pour le rayon lumineux ? Parmi les réponses proposées, $c$ désigne la constante d'Einstein (vitesse de propagation de la lumière dans le vide).

Le second dioptre est maintenant une surface hémi-cylindrique de génératrice $C{\mathbf{e}}_z$ et de rayon $R$ (Fig. 1b). L'ensemble de ce dioptre et du dioptre plan précédent forme une lentille hémi-cylindre. Un rayon incident atteint le dioptre plan en un point $I$, sous incidence normale, de sorte qu'il émerge du dioptre cylindrique tangentiellement à ce dernier (Fig. 1b). Quelle doit être la distance $d=CI$ pour obtenir cette configuration ?

En déduire la distance $CA$ qui sépare $C$ du point d'intersection $A$ du rayon émergent avec l'axe $Cx$ (Fig. 1b).

Un second rayon frappe normalement le dioptre plan de la lentille hémi-cylindrique mais à une distance de $C$ inférieure à $d$. Par rapport au point $A$ précédent, où se trouvera le point d'intersection $B$ avec l'axe $Cx$ du rayon émergent de la lentille hémi-cylindrique ?

On assimile la Terre à une boule solide de rayon $R_T\approx 6000\text{km}$ et de centre $T$. On suppose qu'elle porte une charge électrique $Q\approx -500\text{kC}$ ponctuelle, localisée en $T$. On s'intéresse à la valeur $E_T$, au niveau du sol, du champ électrique dû à cette charge. Pour cela, on précise que, si une charge électrique $Q$ exerce une force électrostatique de valeur $F_e$ sur une autre charge électrique $q$, alors cette dernière est soumise à un champ électrique de valeur $E_e=F_e/|q|$. Exprimer $E_T$ puis calculer sa valeur. On donne $1/(4\pi {ϵ}_0)\approx 9\times 10^9$ SI (SI = Système International des unités), où ${ϵ}_0$ est la permittivité diélectrique du vide.

À l'instar du champ de pesanteur, le champ électrique au voisinage du sol peut-être considéré localement uniforme (sa valeur ne dépend pas de l'altitude), de direction verticale et orienté vers le bas (verticale descendante). Près du sol, l'atmosphère contient très majoritairement des ions de charge électrique $q>0$. Quel est, dans le référentiel terrestre, le vecteur accélération $\mathbf{a}$ d'un ion de masse $m$, dont le poids est négligeable, placé dans le champ électrique de valeur $E_T$ ? Parmi les réponses proposées, ${\mathbf{e}}_z$ est le vecteur unitaire orienté vers le haut (sens de la verticale ascendante).

Le mouvement vertical des ions positifs précédent définit un courant électrique. La valeur moyenne de ce courant est de $2\times 10^{-12}\text{A}$ par mètre carré de surface terrestre. En considérant la totalité de la surface terrestre, quel est l'ordre de grandeur de la durée $\Delta t$ au bout de laquelle la charge positive transportée par ce courant est égale à $|Q|$ ?

Les résultats précédents indiquent que la charge électrique de la Terre serait complètement neutralisée en peu de temps s'il n'existait pas un mécanisme de recharge. Ce sont les orages qui, en jouant le rôle de batterie électrique, permettent de maintenir une valeur de $Q$ quasi constante. On se propose de déterminer quelques grandeurs caractéristiques qui interviennent dans un nuage d'orage. Pour cela, on peut modéliser grossièrement un tel nuage par un ensemble de deux charges ponctuelles, disposées verticalement, l'une négative $Q_n\approx -40\text{C}$ proche de la base du nuage et l'autre positive $Q_p\approx 40\text{C}$ à plus haute altitude. Sachant que ces deux charges sont distantes de $d=5\text{km}$, exprimer le vecteur force électrostatique ${\mathbf{F}}_e$ qu'exerce la charge négative $Q_n$ sur la charge positive $Q_p$, puis calculer sa norme $F_e$. Parmi les réponses proposées, ${\mathbf{e}}_z$ est le vecteur unitaire orienté vers le haut (sens de la verticale ascendante), $z_n$ la coordonnée verticale de la charge $Q_n$ et $z_p$ celle de la charge $Q_p$.

Quelle est l'expression de l'énergie potentielle ${\mathcal{E}}_{p,e}$ de la charge $Q_p$ soumise à la force électrostatique de la part de la charge $Q_n$ ? On prendra comme origine des énergies potentielles la configuration où les charges sont à des distances mutuelles infinies. Sachant que la production annuelle moyenne de puissance électrique en France était, en 2016, d'environ $150\text{GW}$ (données officielles d'EDF), que vaut le rapport $\alpha ={\mathcal{E}}_{p,e}/{\mathcal{E}}_{EDF}$ entre la valeur de ${\mathcal{E}}_{p,e}$ et la valeur de l'énergie ${\mathcal{E}}_{EDF}$ produite en une seconde sur le réseau électrique français ?

Le nuage d'orage précédent présente une tension électrique $U$ entre la base et son sommet que l'on peut écrire $U=2{\mathcal{E}}_{p,e}/|Q_n|$. Calculer $U$ numériquement. En outre, sachant que la valeur $E_o$ du champ électrique correspondant peut être prise égale à $F_e/|Q_n|$, quel est le rapport ${\alpha }_E=E_o/E_T$ entre $E_o$ et la valeur $E_T$ du champ obtenue à la question 13 ?

On note $W$ le travail (transfert mécanique) reçu algébriquement par le gaz sur un cycle de transformations. Quel est le signe de $W$ et quel est le bilan énergétique du gaz au bout d'un cycle de transformations ?

Quelles sont les expressions de $Q_1$ et $Q_2$ ?

On admet désormais que $Q_1$ et $Q_2$ sont respectivement identiques aux chaleurs $Q_f$ et $Q_c$ que le gaz recevrait algébriquement de la part d'une source froide (température $T_f$) et de la part d'une source chaude (température $T_c$). Ce faisant, on se ramène à un moteur ditherme. Quelles sont, parmi les affirmations ci-dessous, celles qui sont inexactes ?

Déterminer l'efficacité ${\eta }_m$ du moteur.

En considérant que ce moteur fonctionne entre les deux températures extrêmes $T_f$ et $T_c$, quelle est l'efficacité ${\eta }_C$ du cycle de Carnot correspondant ?

Si l'on note $S^{(c)}$ l'entropie créée au cours d'un cycle de ce moteur, quel est le bilan entropique du gaz au cours d'un tel cycle ?

Quelle est, en fonction des coordonnées polaires $(r,\phi )$ du satellite, l'expression, dans le référentiel géocentrique, du vecteur moment cinétique $\mathbf{L}$, au point $T$, du satellite ? On note ${\mathbf{e}}_z$ le vecteur unitaire défini par ${\mathbf{e}}_z={\mathbf{e}}_r\times {\mathbf{e}}_{\phi }$, où ${\mathbf{e}}_r$ et ${\mathbf{e}}_{\phi }$ sont respectivement les vecteurs unitaires radial et orthoradial.

Quelle est l'énergie potentielle effective ${\mathcal{E}}_{p,ef}$ du satellite ? On note $L$ la norme de $\mathbf{L}$ et $G$ la constante de Newton, ou constante de gravitation universelle.

Le satellite est géostationnaire. Quelle(s) particularité(s) présente le mouvement orbital du satellite ?

Le satellite est en orbite basse circulaire à une altitude $h=600\text{km}$ autour de la Terre. Quelle est l'expression puis la valeur de la vitesse $v_s$ du satellite au cours de son mouvement dans le référentiel géocentrique ? On donne la valeur approximative de la constante de Newton : $G\approx 7\times 10^{-11}$ SI (SI = Système International des unités).

Quelles sont les éventuelles affirmations exactes concernant les énergies du satellite sur son orbite ?

On peut transposer les résultats ci-dessus concernant un satellite en orbite circulaire, soumis à une force gravitationnelle, à un électron, soumis à la force électrostatique, en orbite circulaire autour d'un proton. Ce modèle de l'atome d'hydrogène est connu sous le nom de modèle de Bohr. Dans ce modèle, l'orbite électronique est telle que son rayon est un multiple d'une constante fondamentale $a_B$ appelée rayon de Bohr : $r_n=n^2{a}_B$, où $n$ est un nombre entier naturel différent de zéro. En outre, le moment cinétique de l'électron par rapport au point $O$ centré sur le proton est, lui-aussi, quantifié : $L_O=n\hslash$ où $n$ est le même nombre entier que précédemment et $\hslash =h/(2\pi )$, $h$ étant la constante de Planck. Comment s'écrit, dans ce modèle, l'énergie mécanique ${\mathcal{E}}_m$ de l'électron ?

Quelle est l'équation différentielle du premier ordre qui régit l'évolution de la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur pour $t\ge 0$ ?

Comment s'écrit la tension $u_C(t)$ en fonction du temps, solution de l'équation précédente, si, à l'instant initial ($t=0$), la plaque qui reçoit algébriquement le courant porte une charge $q(t=0)=q_0=C{u}_C(0)$, où $u_C(0)=u_C(t=0)$ ?

Que vaut la tension $u_C$ en régime établi (ou permanent) ?

Quelle est l'évolution de l'intensité $i(t)$ du courant dans le circuit ?

On souhaite faire un bilan énergétique du circuit $RC$. Pour cela, on rappelle que, selon la convention internationale issue de la thermodynamique, les échanges d'énergie sont algébriques : pour un système, une quantité d'énergie qui est effectivement reçue est comptée positivement alors qu'une quantité d'énergie effectivement perdue est comptée négativement. Quelle est, à l'issue du régime transitoire, l'expression de l'énergie électrique ${\mathcal{E}}_e$ reçue algébriquement par le circuit $RC$ série de la part de la source de tension ?

Donner, à l'issue du régime transitoire, l'expression de l'énergie ${\mathcal{E}}_C$ reçue par le condensateur de la part de la source de tension et celle de l'énergie ${\mathcal{E}}_R$ reçue par le résistor de la part de la source de tension.