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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2020

2020

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
Étant donné un paramètre réel $α$ , on note $E_{α}$ l'ensemble des suites $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ de réels qui vérifient, pour tout $n$ positif, la relation : $u_{n + 2} = α (u_{n + 1} + u_{n}) .$
On peut établir :
APour tout $α$ réel, il existe deux réels non nuls $r$ et $s$ , avec $r < s$ , tels que les suites $(r^{n})_{n ⩾ 0}$ et $(s^{n})_{n ⩾ 0}$ appartiennent à l'ensemble $E_{α}$ .
Suites et séries numériques
Alors, lorsqu'ils existent, les réels $r$ et $s$ vérifient :
A $r = - 4$ , $s = 0$ et $∣ r ∣ > ∣ s ∣$ .
B $r = \frac{α + α ( α + 4 )}{2}$ , $s = \frac{α - α ( α + 4 )}{2}$ et $∣ r ∣ > ∣ s ∣$ .
Suites et séries numériques
On suppose $α \in] - 4, 0 [$ . Soit $(w_{n})_{n ⩾ 0}$ une suite dont le terme général s'écrit sous la forme $w_{n} = a r^{n} + b s^{n},$ avec $(a, b) \in R^{2}$ , $r$ et $s$ étant solutions de l'équation $x^{2} + α x + α = 0.$
Suites et séries numériques
On suppose $α \in] 0, \frac{1}{2} [$ . Soit $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ une suite appartenant à $E_{α}$ .
Suites et séries numériques
Connaissant $u_{0}$ et $u_{1}$ , on peut écrire :
A $u_{n} = \frac{u _{0} s - u _{1}}{s - r} r^{n} + \frac{u _{1} - u _{0} r}{s - r} s^{n}$
Suites et séries numériques
On montre alors :
ASi $u_{0} s - u_{1} \neq = 0$ , alors il existe un indice $n_{0}$ tel que, pour $n > n_{0}$ , $u_{n}$ ne s'annule pas et garde un signe constant. De plus, on a : $n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ s ∣.$
Suites et séries numériques
Par contre :
ASi $u_{0} s - u_{1} = 0$ , alors $u_{n}$ change de signe à chaque rang. De plus, on a : $n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ s ∣.$
Suites et séries numériques
Supposons maintenant $α > \frac{1}{2}$ . Les suites bornées de $E_{α}$ sont les suites $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ telles que :
Suites et séries numériques
Partie II
Pour tout $n \in N$ , on considère les fonctions $t_{n}$ telles que $t_{n} (x) = cos (n Arccos x)$ .
L'identité $cos (Arccos α) = α$ est vérifiée pour $α \in I$ , avec :
A $I = R$
B $I = [0, π]$
C $I = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Trigonométrie
L'identité $Arccos (cos α) = α$ est vérifiée pour $α \in J$ , avec :
A $J = R$
B $J = [0, π]$
C $J = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Trigonométrie
On en déduit que, pour tout entier naturel $n$ :
ALa fonction $t_{n}$ est définie sur $D = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .
Trigonométrie
On a :
APour tout $x \in D$ , $t_{0} (x) = 1$ et $t_{1} (x) = x$ .
BPour tout $x \in D$ , $t_{0} (x) = 1$ et $t_{1} (x) = π - x$ .
Trigonométrie
Pour $n \in N^{*}$ et $k \in Z$ , on note $θ_{k} = \frac{2 k + 1}{2 n} π$ . La fonction $t_{n}$ s'annule pour :
Trigonométrie
On suppose $n ⩾ 2$ et $p \in {1, \dots, n - 1}$ . On montre que :
A $k = 0 \sum n - 1 e^{i p θ_{k}} = 0 si p est impair$
Trigonométrie
Ainsi, on en déduit que, si les $x_{k}, k \in {0, \dots, n - 1}$ sont solutions de l'équation $t_{n} (x) = 0$ :
Trigonométrie
On admet que pour $x \in I$ , le changement de variable bijectif $θ = Arccos x$ permet d'écrire $t_{n} (x) = cos (n θ)$ , avec $θ \in J$ . Pour $n ⩾ 1$ , on a :
Trigonométrie
Ainsi, pour tout $n \in N$ , la fonction $t_{n}$ est la restriction à $I$ d'un polynôme $T_{n}$ de $R [X]$ .
ALe polynôme $T_{n}$ est de degré $n - 1$ , pour $n ⩾ 1$ son terme de plus haut degré admet pour coefficient $2^{n}$ .
Polynômes
On peut montrer que :
ALe polynôme $T_{n}$ admet à la fois des racines réelles et des racines complexes non réelles.
BLes racines du polynôme $T_{n}$ sont toutes réelles.
CLes racines du polynôme $T_{n}$ sont toutes complexes non réelles.
Polynômes
Partie III
Soit $E$ un espace vectoriel sur $R$ , d'élément neutre $0_{E}$ , et $Id$ l'application identique de $E$ dans $E$ . L'ensemble $L (E)$ est l'ensemble des endomorphismes de $E$ . On dit que $p$ , élément de $L (E)$ , est un projecteur si et seulement si $p^{2} = p$ . Dans cette partie, $p$ désigne un projecteur de $E$ .
Soit $u \in E$ . On a :
A $u \in Im p ⟺ p (u) = 0_{E}$
B $u \in Im p ⟺ p (u) = u$
Algèbre linéaire et matrices
On a :
A $Ker p \cap Im p = \emptyset$
B $Ker p \cup Im p = E$
C $Ker p$ et $Im p$ sont complémentaires dans $E$ .
Algèbre linéaire et matrices
L'application linéaire $q = Id - p$ vérifie :
A $q^{2} = q$ et $Ker q = Ker p$
B $q^{2} = p$ et $Ker q = Im p$
Algèbre linéaire et matrices
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans $E$ . On admet la propriété $(P)$ suivante : $(P)$ : Pour tout $u \in E$ , il existe un unique couple $(u_{1}, u_{2}) \in F \times G$ tel que $u = u_{1} + u_{2}$ On introduit $p_{1}$ et $q_{1}$ , applications de $E$ dans $E$ définies par : Pour tout $u \in E$ , $p_{1} (u) = u_{1}$ et $q_{1} (u) = u_{2}$ , où $(u_{1}, u_{2})$ est donné par la propriété $(P)$ L'application $p_{1}$ est la projection sur $F$ parallèlement à $G$ , alors que $q_{1}$ est la projection sur $G$ parallèlement à $F$ .
Algèbre linéaire et matrices
Dans $R^{3}$ muni de la base $(i, j, k)$ , on considère $F = {(x, y, z) \in R^{3} tels que x = y = z} et G = {(x, y, z) \in R^{3} tels que 2 x + y = 0} .$
Algèbre linéaire et matrices
La projection $p$ sur $F$ parallèlement à $G$ est représentée de façon matricielle dans la base $(i, j, k)$ par :
Algèbre linéaire et matrices
La projection $q$ sur $G$ parallèlement à $F$ est représentée de façon matricielle dans la base $(i, j, k)$ par :
Algèbre linéaire et matrices
Soit $f$ l'application linéaire de $R^{3}$ définie par la matrice $A = \frac{1}{10} 321642963$ :
Algèbre linéaire et matrices
Partie IV
On désigne par « carré parfait » tout entier $n \in N$ tel qu'il existe un entier $q$ vérifiant $q^{2} = n$ .
La somme de cinq carrés parfaits d'entiers consécutifs :
Aest toujours un carré parfait.
Best un carré parfait si le plus petit entier est pair, et n'est pas un carré parfait si le plus petit entier est impair.
Cn'est jamais un carré parfait.
Don ne peut pas déterminer sous quelles conditions cette somme est un carré parfait ou ne l'est pas.
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes
Soit $p$ un entier de la forme $p = 8 n + 7$ , avec $n \in N$ .
A $p$ ne peut être la somme de trois carrés parfaits.
BIl existe des valeurs de $p$ telles que $p$ est la somme de trois carrés parfaits.
CIl existe des valeurs de $p$ telles que $p$ est la somme de trois carrés parfaits d'entiers consécutifs.
Polynômes
Si $p$ est premier et $8 p^{2} + 1$ est premier alors :
A $8 p^{2} - 3$ est premier.
B $8 p^{2} - 1$ est premier.
Polynômes
Dans les questions 30 à 32, le triplet $(x, y, z) \in Z^{3}$ est solution de l'équation $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ . On suppose que $PGCD (x, y, z) = 1$ .
Polynômes
Comme à la question 30, le triplet $(x, y, z) \in Z^{3}$ est solution de l'équation $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ , avec $PGCD (x, y, z) = 1$ .
Polynômes
Comme à la question 30, le triplet $(x, y, z) \in Z^{3}$ est solution de l'équation $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ , avec $PGCD (x, y, z) = 1$ .
Polynômes
Partie V
On considère la suite de fonctions $f_{n}$ définie sur $R_{+}$ par : $f_{0} (x) = 1 - x et f_{n + 1} (x) = \frac{1}{2 - f _{n} ( x )} .$
On a, pour $n ⩾ 1$ :
A $f_{n} (x) = \frac{1 + n x}{1 + ( n + 1 ) x}$
Fonctions, limites et développements limités
Le développement limité de $f_{n}$ en $0$ à l'ordre $5$ est :
A $f_{n} (x) = 1 - x + n x^{2} - n^{2} x^{3} + n^{3} x^{4} - n^{4} x^{5} + x^{5} o (x)$
Fonctions, limites et développements limités
Partie VI
La famille Capulet compte deux enfants. L'aînée est une fille. La probabilité $p$ que les deux enfants soient des filles est :
A $p = \frac{1}{4}$
B $p = \frac{1}{3}$
Probabilités et dénombrement
La famille Montaigu compte deux enfants, dont un garçon. La probabilité $p$ que les deux enfants soient des garçons est :
A $p = \frac{1}{4}$
B $p = \frac{1}{3}$
Probabilités et dénombrement

BPour tout

α > 0

, il existe deux réels non nuls

r

s

, avec

r < s

, tels que les suites

(r^{n})_{n ⩾ 0}

(s^{n})_{n ⩾ 0}

appartiennent à l'ensemble

E_{α}

CPour tout

α < - 4

, il existe deux réels non nuls

r

s

, avec

r < s

, tels que les suites

(r^{n})_{n ⩾ 0}

(s^{n})_{n ⩾ 0}

appartiennent à l'ensemble

E_{α}

DPour tout

α \in] - 4, 0 [

, il existe deux réels non nuls

r

s

, avec

r < s

, tels que les suites

(r^{n})_{n ⩾ 0}

(s^{n})_{n ⩾ 0}

appartiennent à l'ensemble

E_{α}

EAucune des propositions n'est exacte

r = \frac{α - α ( α + 4 )}{2}

s = \frac{α + α ( α + 4 )}{2}

∣ r ∣ < ∣ s ∣

r = \frac{α - α ( α + 4 )}{2}

s = \frac{α + α ( α + 4 )}{2}

∣ r ∣ > ∣ s ∣

EAucune des propositions n'est exacte

ALa suite $(w_{n})_{n ⩾ 0}$ appartient à $E_{α}$ .
BLa suite $(w_{n})_{n ⩾ 0}$ appartient à $E_{- α}$ .
CPour toute suite $(u_{n})_{n ⩾ 0} \in E_{α}$ , il existe un couple de réels $(a, b)$ tels que $u_{n} = a r^{n} + b s^{n}$
DPour toute suite $(u_{n})_{n ⩾ 0} \in E_{- α}$ , il existe un couple de réels $(a, b)$ tels que $u_{n} = a r^{n} + b s^{n}$
EAucune des propositions n'est exacte

ALa suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ converge vers une limite $l > 0$ .
BLa suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ converge vers $0$ .
CLa suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ tend vers $+ \infty$ .
DLa suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ n'a pas de limite.
EAucune des propositions n'est exacte

u_{n} = \frac{u _{1} s - u _{0}}{s - r} r^{n} + \frac{u _{0} - u _{1} r}{s - r} s^{n}

u_{n} = \frac{u _{1} - u _{0} r}{s - r} r^{n} + \frac{u _{0} s - u _{1}}{s - r} s^{n}

u_{n} = \frac{u _{0} - u _{1} r}{s - r} r^{n} + \frac{u _{1} s - u _{0}}{s - r} s^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

u_{0} s - u_{1} \neq = 0

, alors il existe un indice

n_{0}

tel que, pour

n > n_{0}

u_{n}

ne s'annule pas et garde un signe constant. De plus, on a :

n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ r ∣.

CSi

u_{1} - u_{0} r \neq = 0

, alors il existe un indice

n_{0}

tel que, pour

n > n_{0}

u_{n}

ne s'annule pas et garde un signe constant. De plus, on a :

n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ s ∣.

DSi

u_{1} - u_{0} r \neq = 0

, alors il existe un indice

n_{0}

tel que, pour

n > n_{0}

u_{n}

ne s'annule pas et garde un signe constant. De plus, on a :

n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ r ∣.

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

u_{0} s - u_{1} = 0

, alors

u_{n}

change de signe à chaque rang. De plus, on a :

n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ r ∣.

CSi

u_{1} - u_{0} r = 0

, alors

u_{n}

change de signe à chaque rang. De plus, on a :

n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ s ∣.

DSi

u_{1} - u_{0} r = 0

, alors

u_{n}

change de signe à chaque rang. De plus, on a :

n \to \infty lim \frac{ln ∣ u _{n} ∣}{n} = ln ∣ r ∣.

EAucune des propositions n'est exacte

A $u_{0} s - u_{1} = 0$ . Ces suites $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ sont alors de la forme $u_{n} = μ s^{n}, μ \in R$ .
B $u_{0} s - u_{1} = 0$ . Ces suites $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ sont alors de la forme $u_{n} = μ r^{n}, μ \in R$ .
C $u_{1} - u_{0} r = 0$ . Ces suites $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ sont alors de la forme $u_{n} = μ r^{n}, μ \in R$ .
D $u_{1} - u_{0} r = 0$ . Ces suites $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ sont alors de la forme $u_{n} = μ s^{n}, μ \in R$ .
EAucune des propositions n'est exacte

EAucune des propositions n'est exacte

BLa fonction

t_{n}

est définie sur

D = [0, π]

CLa fonction

t_{n}

est définie sur

D = [- 1, 1]

DLa fonction

t_{n}

est définie sur

D = R

EAucune des propositions n'est exacte

CPour tout

x \in D

t_{2} (x) = 1 - 2 x^{2}

t_{3} (x) = 4 x^{3} - 3 x

DPour tout

x \in D

t_{2} (x) = 2 x^{2} - 1

t_{3} (x) = 3 x - 4 x^{3}

EAucune des propositions n'est exacte

A $x_{k} = θ_{k}, k \in Z$ .
B $x_{k} = θ_{k}, k \in {0, \dots, n - 1}$ .
C $x_{k} = cos (θ_{k}), k \in Z$ .
D $x_{k} = cos (θ_{k}), k \in {0, \dots, n - 1}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

k = 0 \sum n - 1 e^{i p θ_{k}} = \frac{1}{sin \frac{p π}{2 n}} si p est pair

k = 0 \sum n - 1 e^{i p θ_{k}} = 0 si p est pair

k = 0 \sum n - 1 e^{i p θ_{k}} = \frac{1}{sin \frac{p π}{2 n}} si p est impair

EAucune des propositions n'est exacte

k = 0 \sum n - 1 t_{p} (x_{k}) = 0 si p est impair

k = 0 \sum n - 1 t_{p} (x_{k}) = \frac{1}{sin \frac{p π}{2 n}} si p est pair

k = 0 \sum n - 1 t_{p} (x_{k}) = 0 si p est pair

k = 0 \sum n - 1 t_{p} (x_{k}) = \frac{1}{sin \frac{p π}{2 n}} si p est impair

EAucune des propositions n'est exacte

A $t_{n - 1} (x) + t_{n + 1} (x) = x t_{n} (x)$
B $t_{n - 1} (x) + t_{n + 1} (x) = 2 x t_{n} (x)$
C $t_{n - 1} (x) + t_{n + 1} (x) = - x t_{n} (x)$
D $t_{n - 1} (x) + t_{n + 1} (x) = - 2 x t_{n} (x)$
EAucune des propositions n'est exacte

BLe polynôme

T_{n}

est de degré

n

, pour

n ⩾ 1

son terme de plus haut degré admet pour coefficient

2^{n + 1}

CLe polynôme

T_{n}

est de degré

n + 1

, pour

n ⩾ 1

son terme de plus haut degré admet pour coefficient

2^{n}

DLe polynôme

T_{n}

est de degré

n

, pour

n ⩾ 1

son terme de plus haut degré admet pour coefficient

2^{n - 1}

EAucune des propositions n'est exacte

DOn ne peut pas se prononcer sur le caractère réel ou non des racines du polynôme

T_{n}

: cela dépend de

n

EAucune des propositions n'est exacte

u \in Ker p ⟺ p (u) = 0_{E}

u \in Ker p ⟺ p (u) = u

EAucune des propositions n'est exacte

Ker p

Im p

sont supplémentaires dans

E

EAucune des propositions n'est exacte

q^{2} = q

Im q = Ker p

q^{2} = p

Im q = Im p

EAucune des propositions n'est exacte

A $p_{1}$ est un endomorphisme de $G$
B $p_{1}$ est un projecteur de $G$
C $q_{1}$ est un endomorphisme de $F$
D $q_{1}$ est un projecteur de $F$
EAucune des propositions n'est exacte

A $F$ est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ , mais pas $G$ .
B $G$ est un sous-espace vectoriel de $R^{3}$ , mais pas $F$ .
C $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $R^{3}$ .
D $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $R^{3}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $M = 111 1 - 2 0 001$
B $M = \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} 000$
C $M = \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} 001$
D $M = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \frac{2}{3} - \frac{1}{3} 001$
EAucune des propositions n'est exacte

A $N = 111 1 - 2 0 001$
B $N = \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} 000$
C $N = \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} 001$
D $N = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \frac{2}{3} - \frac{1}{3} 001$
EAucune des propositions n'est exacte

AL'application $f$ est la projection sur $F^{'}$ parallèlement à $G^{'}$ , avec : $F^{'} = {(x, y, z) \in R^{3}, tels que x + 2 y + 3 z = 0}$ et $G^{'} = {(x, y, z) \in R^{3}, tels que 2 x = 3 y = 6 z}$ .
BL'application $f$ est la projection sur $F^{'}$ parallèlement à $G^{'}$ , avec : $F^{'} = {(x, y, z) \in R^{3}, tels que 2 x = 3 y = 6 z}$ et $G^{'} = {(x, y, z) \in R^{3}, tels que x + 2 y + 3 z = 0}$ .
CL'application $f$ est la projection sur $F^{'}$ parallèlement à $G^{'}$ , avec : $F^{'} = {(x, y, z) \in R^{3}, tels que 2 x = 3 y = - 3 z}$ et $G^{'} = {(x, y, z) \in R^{3}, tels que x + 2 y + 3 z = 0}$ .
DL'application $f$ n'est pas une projection.
EAucune des propositions n'est exacte

p

ne peut être la somme de trois carrés parfaits d'entiers consécutifs.

EAucune des propositions n'est exacte

8 p^{2} + 3

est premier.

8 p^{2} + 5

est premier.

EAucune des propositions n'est exacte

A $x$ et $y$ ne sont pas premiers entre eux.
B $x$ et $z$ ne sont pas premiers entre eux.
C $y$ et $z$ ne sont pas premiers entre eux.
D $x$ , $y$ et $z$ sont 2 à 2 premiers entre eux.
EAucune des propositions n'est exacte

ALes nombres $x$ , $y$ et $z$ sont pairs.
BLes nombres $x$ , $y$ et $z$ sont impairs.
CLes nombres $x$ , $y$ et $z$ sont tels que deux sont pairs et un est impair.
DLes nombres $x$ , $y$ et $z$ sont tels que deux sont impairs et un est pair.
EAucune des propositions n'est exacte

ALe nombre $z$ est impair.
BLe nombre $z$ est pair.
CLes nombres $x$ et $y$ sont tous les deux impairs.
DLes nombres $x$ et $y$ sont l'un pair et l'autre impair.
EAucune des propositions n'est exacte

f_{n} (x) = \frac{1 + ( n + 1 ) x}{1 + n x}

f_{n} (x) = \frac{1 + ( n - 1 ) x}{1 + n x}

f_{n} (x) = \frac{1 + n x}{1 + ( n - 1 ) x}

EAucune des propositions n'est exacte

f_{n} (x) = 1 - x + (n + 1) x^{2} - (n + 1)^{2} x^{3} + (n + 1)^{3} x^{4} - (n + 1)^{4} x^{5} + x^{5} o (x)

f_{n} (x) = 1 + x - n x^{2} + n^{2} x^{3} - n^{3} x^{4} + n^{4} x^{5} + x^{5} o (x)

f_{n} (x) = 1 + x - (n - 1) x^{2} + (n - 1)^{2} x^{3} - (n - 1)^{3} x^{4} + (n - 1)^{4} x^{5} + x^{5} o (x)

EAucune des propositions n'est exacte

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