Algèbre linéaire et matrices

18 méthodes · 159 questions

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Au QCM EPL, une proposition ne se réduit presque jamais à un résultat : elle porte aussi une justification, un connecteur logique ou un mot de vocabulaire précis. Une conclusion vraie assortie d'une raison fausse, insuffisante ou étrangère à l'énoncé donne une proposition FAUSSE. Lis donc la phrase entière avant d'entamer le moindre calcul.

Déclencheur : deux propositions qui affirment la même chose avec des justifications différentes, ou une proposition rédigée sous la forme d'une conclusion suivie de car ou de donc.

Instances :
(i) La conclusion est vraie mais la raison invoquée ne la démontre pas, ou n'est elle-même pas vraie : la proposition entière est fausse ;
(ii) L'implication attendue est correcte mais la proposition refuse abusivement de conclure, alors qu'un théorème du programme tranche ;
(iii) Un objet a été remplacé par son voisin : complémentaire pour supplémentaire, ensemble vide pour sous-espace nul, endomorphisme de $G$ pour endomorphisme de $E$ , module d'un nombre complexe pour élément d'un anneau abstrait.

Questions corrigées (3)

Question 34 · ENAC EPL 2015

A = (a_{ij})_{1 ⩽ i, j ⩽ n}

vérifie à présent pour tout

1 ⩽ i ⩽ n

∣ a_{ii} ∣ > j \neq = i \sum n ∣ a_{ij} ∣

. On démontre que :

ALes vecteurs colonnes de $A$ forment un système lié et donc la matrice n'est pas inversible.
BLes vecteurs colonnes de $A$ forment un système libre et donc la matrice est inversible.
CLes vecteurs colonnes de $A$ forment un système libre mais on ne peut pas se prononcer sur le fait que soit inversible.
DLes vecteurs colonnes de $A$ forment un système lié mais on ne peut pas se prononcer sur le fait que soit inversible.
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B

Notons

C_{1}, \dots, C_{n}

les colonnes de

A

. Soit

λ_{1}, \dots, λ_{n}

des nombres complexes. On pose

M = max ({∣ λ_{1} ∣, \dots, ∣ λ_{n} ∣})

et on note

i_{0}

un indice tel que

∣ λ_{i_{0}} ∣ = M

j = 1 \sum n λ_{j} C_{j} = 0 ⟹ \forall i \in [[1, n]], j = 1 \sum n λ_{j} a_{ij} = 0 ⟹ - λ_{i} a_{ii} = j \neq = i \sum λ_{j} a_{ij}

⟹ ∣ λ_{i} ∣∣ a_{ii} ∣ ⩽ j \neq = i \sum ∣ λ_{j} ∣∣ a_{ij} ∣ ⩽ M j \neq = i \sum ∣ a_{ij} ∣ ⟹ ∣ λ_{i_{0}} ∣∣ a_{i_{0} i_{0}} ∣ ⩽ M j \neq = i_{0} \sum ∣ a_{i_{0} j} ∣

Si de plus on suppose que l'un au moins des

λ_{i}

n'est pas nul, alors

M > 0

et après simplification, on obtient

∣ a_{i_{0} i_{0}} ∣ ⩽ j \neq = i_{0} \sum ∣ a_{i_{0} j} ∣

. Ainsi, si la famille des colonnes est liée, alors

\exists i_{0} \in [[1, n]], ∣ a_{i_{0} i_{0}} ∣ ⩽ j \neq = i_{0} \sum ∣ a_{i_{0} j} ∣

. Par contraposition, si

\forall i \in [[1, n]], ∣ a_{ii} ∣ > j \neq = i \sum ∣ a_{ij} ∣

, alors la famille des colonnes de

A

est libre. On sait alors que

A

est inversible. Donc, B est vrai et A, C et D sont faux.

Question 19 · ENAC EPL 2017

on démontre que

S_{2} (A)

est un ensemble multiplicatif car :

A $\forall (x, y, z, t) \in A^{4}$ , $(x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2}) = (x z - y t)^{2} + (y z - x t)^{2}$
B $\forall (x, y, z, t) \in A^{4}$ , $∣ x + i y ∣^{2} ∣ z + i t ∣^{2} = ∣ (x - i y) (z + i t) ∣^{2}$
C $\forall (x, y, z, t) \in A^{4}$ , $∣ x + i y ∣^{2} ∣ z + i t ∣^{2} = ∣ (x + i y) (z + i t) ∣^{2}$
D $\forall (x, y, z, t) \in A^{4}$ , $(x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2}) = (x z - y t)^{2} + (y z + x t)^{2}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

(x z - y t)^{2} + (y z + x t)^{2} = x^{2} z^{2} + y^{2} t^{2} + y^{2} z^{2} + x^{2} t^{2} = (x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2})

. Si

(a, b) \in S_{2} (A)

, alors il existe

(x, y, z, t) \in A^{4}

tel que

a = x^{2} + y^{2}

b = z^{2} + t^{2}

et donc

ab = (x z - y t)^{2} + (y z + x t)^{2}

A

étant munie de lois internes,

x z - y t

y z + x t

sont dans

A

puis

ab \in S_{2} (A)

. D est vrai.

(x z - y t)^{2} + (y z - x t)^{2} = x^{2} z^{2} + y^{2} t^{2} + y^{2} z^{2} + x^{2} t^{2} - 4 x y z t \neq = (x^{2} + y^{2}) (z^{2} + t^{2})

. A est faux.

A

n'a aucune raison d'être un sous-ensemble de

C

, les modules n'ont pas de sens. B et C sont faux.

Question 23 · ENAC EPL 2017

on en déduit que :

A $S_{3} (Q)$ est multiplicatif.
B $S_{3} (Q)$ n'est pas multiplicatif.
C $S_{3} (Q)$ n'est pas multiplicatif car $S_{3} (Z)$ l'est.
D $S_{3} (Q)$ est multiplicatif car $S_{3} (Z)$ l'est.
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B

3 = 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} \in S_{3} (Z) \subset S_{3} (Q)

5 = 2^{2} + 1^{2} + 0^{2} \in S_{3} (Z)

. Mais

3 \times 5 = 15 \in / S_{3} (Q)

car

15 \equiv - 1 [8]

. Donc,

S_{3} (Z)

S_{3} (Q)

ne sont pas multiplicatifs. B est vrai et A, C et D sont faux.