Géométrie

2 méthodes · 13 questions

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Signaux : projection ou symétrie orthogonale, distance à un plan, supplémentaire orthogonal d'un plan de $R^{3}$ .

1. Lire le vecteur normal : $a x + b y + cz = 0$ donne $n = (a, b, c)$ et $F^{⊥} = Vect (n)$ .
2. Projeter : $p (x) = x - \frac{( x ∣ n )}{∥ n ∥ ^{2}} n$ , de matrice $I_{3} - \frac{1}{∥ n ∥ ^{2}} n n^{T}$ ; sur une droite dirigée par $u$ , $p (x) = \frac{( x ∣ u )}{∥ u ∥ ^{2}} u$ .
3. Réfléchir par $s = 2 p - id$ , mesurer par $d (x, F) = \frac{∣ ( x ∣ n ) ∣}{∥ n ∥}$ ; contrôler $p (n) = 0$ .

Intuition : on retire à $x$ sa composante normale une fois pour projeter, deux fois pour réfléchir.

Piège : en base orthonormée, un projecteur de matrice non symétrique n'est pas orthogonal.

Questions corrigées (3)

Question 31 · ENAC EPL 2018

R^{3}

est rapporté à une base orthonormée. La matrice de la projection orthogonale sur le plan d'équation

2 x - 2 y + z = 0

est

A $M = - 3 4 - 2 4 - 3 2 - 2 20$
B $M = \frac{1}{3} - 1 4 - 2 4 - 1 2 - 2 22$
C $M = \frac{1}{3} 7 - 4 2 - 4 7 - 2 2 - 2 4$
D $M = \frac{1}{9} 54 - 2 452 - 2 28$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

Un vecteur normal au plan

P

est

n = (2, - 2, 1)

, de norme

∥ n ∥^{2} = 9

. La trace de

M

doit valoir

dim P = 2

. Seule D) a une trace égale à

(5 + 5 + 8) /9 = 2

. Plus précisément,

p_{P} (u) = u - \frac{u \cdot n}{∥ n ∥ ^{2}} n = (x, y, z) - \frac{2 x - 2 y + z}{9} (2, - 2, 1) = \frac{1}{9} (5 x + 4 y - 2 z, 4 x + 5 y + 2 z, - 2 x + 2 y + 8 z)

. La matrice est donc

M = \frac{1}{9} 54 - 2 452 - 2 28

. D) est vrai.

Question 35 · ENAC EPL 2008

E

est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 dont une base est

B

et dont on note le produit scalaire

⟨ ., . ⟩

. On note

u = (a, b, c)_{B}

un vecteur normé fixé de

E

a

un scalaire. On définit

f_{a}

par

\forall x \in E

f_{a} (x) = x + a ⟨ x, u ⟩ u

A $f_{a}$ est un automorphisme orthogonal si et seulement si $a = - 2$ .
B $f_{2}$ est un automorphisme orthogonal.
C $f_{- 2}$ est la symétrie orthogonale par rapport au plan vectoriel orthogonal à $u$ .
D $f_{2}$ est la symétrie orthogonale par rapport à la droite vectorielle engendrée par $u$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :C

Pour tout

x

∥ f_{a} (x) ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + (2 a + a^{2}) ⟨ x, u ⟩^{2}

(car

∥ u ∥ = 1

f_{a}

conserve la norme si et seulement si

2 a + a^{2} = 0

, c'est-à-dire

a = 0

a = - 2

.
A) est fausse :

a = 0

donne aussi un automorphisme orthogonal (

f_{0} = i d

).
B) est fausse :

∥ f_{2} (u) ∥ = ∥3 u ∥ = 3

.
C) est vraie :

f_{- 2}

fixe tout vecteur de

u^{⊥}

et envoie

u

sur

- u

; c'est la réflexion par rapport au plan

u^{⊥}

.
D) est fausse :

f_{2}

n'est même pas orthogonal ; la symétrie par rapport à la droite

R u

est

- f_{- 2}

, soit

x \mapsto 2 ⟨ x, u ⟩ u - x

Question 36 · ENAC EPL 2008

L'espace

E

est rapporté à un repère orthonormal

(O, i, j, k)

. L'espace vectoriel associé

E

est rapporté à la base

(i, j, k)

. Soit

D

la droite de

E

dont la représentation paramétrique est donné par :

⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 1 - 2 t z = 1 + t

ALes coordonnées du point symétrique de $M (a, b, c)$ par rapport à $D$ sont $(1 + \frac{a - 2 b + c}{6}, 1 - \frac{a - 2 b + c}{3}, 1 + \frac{a - 2 b + c}{6})$ .
BLes coordonnées du point symétrique de $M (a, b, c)$ par rapport à $D$ sont $(\frac{6 - 2 a - 2 b + c}{3}, \frac{6 - 2 a + b - 2 c}{3}, \frac{6 - 2 a - 2 b + c}{3})$ .
CLa droite symétrique par rapport à $D$ de l'axe $(z^{'} O z)$ a pour représentation paramétrique : $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 2 - 2 t z = 2 - t$ .
DLa droite symétrique par rapport à $D$ de l'axe $(z^{'} O z)$ a pour équations cartésiennes : ${6 - 2 x - y = 0 y = z$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

D

passe par

A (1, 1, 1)

et est dirigée par

u = (1, - 2, 1)

, avec

∥ u ∥^{2} = 6

. La partie linéaire de la symétrie orthogonale par rapport à

D

est

v \mapsto 2 \frac{⟨ v , u ⟩}{6} u - v

, soit

(x, y, z) \mapsto \frac{1}{3} (- 2 x - 2 y + z, - 2 x + y - 2 z, x - 2 y - 2 z) .

Avec

s (M) = A + s (A M)

, on obtient

s (M) = (\frac{6 - 2 a - 2 b + c}{3}, \frac{6 - 2 a + b - 2 c}{3}, \frac{6 + a - 2 b - 2 c}{3})

.
A) est fausse : elle donne le projeté orthogonal de

M

sur

D

, pas son symétrique. B) est fausse : sa troisième coordonnée est erronée. L'image de l'axe

(z^{'} O z)

passe par

s (O) = (2, 2, 2)

et est dirigée par

s (k) = \frac{1}{3} (1, - 2, - 2)

.
C) est fausse : la direction

(1, - 2, - 1)

n'est pas colinéaire à

(1, - 2, - 2)

.
D) est vraie : le point

(2, 2, 2)

vérifie

6 - 2 x - y = 0

y = z

, et le vecteur

(1, - 2, - 2)

vérifie

- 2 x - y = 0

y = z