Électricité (électrocinétique)

9 méthodes · 65 questions

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Un circuit qui ne contient qu'un condensateur (ou une bobine) et des résistances obéit à une équation différentielle du premier ordre. Le geste sûr : écrire la loi des mailles, remplacer le courant du condensateur par $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ (ou la tension de la bobine par $u_{L} = L \frac{d i}{d t}$ ), puis ranger sous la forme canonique $\frac{d x}{d t} + \frac{x}{τ} = \frac{source}{τ}$ où $x$ désigne $u_{C}$ , la charge $q$ ou une intensité. La constante de temps $τ$ se lit alors au dénominateur du terme sans dérivée.

Déclencheur : un énoncé demande l'équation différentielle vérifiée par $u_{C}$ , par la charge $q$ ou par une intensité, dans un circuit à un seul composant réactif (ou à plusieurs condensateurs, ou plusieurs bobines, réductibles à un seul équivalent).

Instances :
(i) $R C$ série sur un échelon : la maille $E = R i + u_{C}$ avec $i = C \frac{d u _{C}}{d t}$ donne $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{R C} = \frac{E}{R C}$ , donc $τ = R C$ ;
(ii) même circuit écrit en charge : $E = R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C}$ conduit à $\frac{d q}{d t} + \frac{q}{R C} = \frac{E}{R}$ , le second membre change mais pas la constante de temps ;
(iii) $R L$ série : la maille $E = R i + L \frac{d i}{d t}$ donne $\frac{d i}{d t} + \frac{R}{L} i = \frac{E}{L}$ , soit $τ = \frac{L}{R}$ , et le régime est établi après quelques $τ$ .

Questions corrigées (3)

Question 26 · ENAC EPL 2024 (physique)

Que peut-on affirmer lorsque

t > 0

Schéma du circuit : un générateur de tension E en série avec un interrupteur K et un résistor R alimente une association en dérivation de N condensateurs identiques de capacité C, parcourus par les courants i1, i2, ..., ik, ..., iN ; la tension aux bornes des condensateurs est uC et le courant débité par le générateur est i.

A $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}$ avec $τ = \frac{R C}{N}$
B $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}$ avec $τ = \frac{R C}{N ^{1/2}}$
C $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}$ avec $τ = N R C$
D $\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = 0$ avec $τ = N R C$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :C

Les

N

condensateurs en dérivation équivalent à une capacité

C_{e q} = N C

. Loi des mailles :

E = R i + u_{C}

avec

i = C_{e q} \frac{d u _{C}}{d t} = N C \frac{d u _{C}}{d t}

, d'où

\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}

avec

τ = N R C

. Réponse C.

Question 28 · ENAC EPL 2024 (physique)

Que peut-on affirmer lorsque

t > 0

A $\frac{d i _{k} ( t )}{d t} + \frac{i _{k} ( t )}{τ ^{'}} = 0$ avec $τ^{'} = N R C$
B $\frac{d i _{k} ( t )}{d t} + \frac{i _{k} ( t )}{τ ^{'}} = 0$ avec $τ^{'} = R C$
C $\frac{d i _{k} ( t )}{d t} + \frac{i _{k} ( t )}{τ ^{'}} = \frac{E}{R}$ avec $τ^{'} = R C$
D $\frac{d i _{k} ( t )}{d t} + \frac{i _{k} ( t )}{τ ^{'}} = \frac{E}{R}$ avec $τ^{'} = \frac{R C}{N}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :A

Chaque condensateur vérifie

i_{k} = C \frac{d u _{C}}{d t}

. En dérivant l'équation en

u_{C}

(

\frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{τ} = \frac{E}{τ}

), on obtient

\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + \frac{1}{τ} \frac{d u _{C}}{d t} = 0

, soit

\frac{d i _{k}}{d t} + \frac{i _{k}}{τ ^{'}} = 0

avec

τ^{'} = τ = N R C

. Réponse A.

Question 14 · ENAC EPL 2025 (physique)

L'intensité du courant électrique évolue (lorsque

t > 0

) selon la loi

i (t) = A exp (- \frac{t}{τ})

où

A

τ

sont deux constantes. Déterminer ces constantes :

Schéma du circuit : depuis le générateur de tension E, la branche du haut comporte l'interrupteur K1 puis le résistor R (tension uR, courant i) et aboutit à un nœud ; de ce nœud, le condensateur C1 (tension u1, courant i1) descend vers un nœud intermédiaire ; de ce nœud intermédiaire, le condensateur C2 (tension u2) rejoint la borne de référence du générateur, et en parallèle sur C2 une branche formée d'un second résistor R en série avec l'interrupteur K2 (courant i2). Initialement C1 est chargé à E/2 et C2 est déchargé.

A $A = \frac{E}{R}$
B $A = \frac{E}{2 R}$
C $τ = \frac{R C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}$
D $τ = R (C_{1} + C_{2})$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B, C

C_{1}

C_{2}

en série équivalent à

C_{e q} = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}

, chargés à travers

R

. La loi des mailles dérivée donne

R \frac{d i}{d t} + \frac{i}{C _{e q}} = 0

, soit

i (t) = A e^{- t / τ}

avec

τ = R C_{e q} = \frac{R C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}}

(réponse C). À

t = 0^{+}

E = R i (0^{+}) + u_{1} (0^{+}) + u_{2} (0^{+}) = R i (0^{+}) + E /2

, d'où

A = i (0^{+}) = \frac{E}{2 R}

(réponse B). Réponses B et C.