ENAC EPL 2025 (physique)

On étudie la trajectoire plane d'un mobile ponctuel $M$ dans le référentiel du laboratoire $\mathcal{R}$. On associe à ce référentiel matérialisé par un système d'axes la base cartésienne $({\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z)$. $O$ est un point fixe de $\mathcal{R}$. La position de $M$ est repérée par ses coordonnées polaires $(r,\theta )$ dans le plan de sa trajectoire. Les vecteurs sont exprimés dans la base polaire $({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta })$. On appelle respectivement composante radiale et composante orthoradiale, les composantes d'un vecteur dans cette base. On note ainsi $(v_r,v_{\theta })$ les composantes de la vitesse de $M$ et $(a_r,a_{\theta })$ celles de son accélération. On note par ailleurs $v$ la norme de la vitesse, $a$ celle de l'accélération. Les équations horaires du mouvement de $M$ sont : $r(t)=r_0{e}^{-t/\tau }$ et $\theta (t)=\Omega t$, avec $r_0$, $\tau$ et $\Omega$ des constantes strictement positives. Lors des applications numériques, on prendra : $r_0=1$ m ; $\tau =2,5$ s ; $\Omega =0,3\text{rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

On étudie un système optique formé de deux lentilles minces, de même axe optique et qu'on suppose utilisées dans les conditions de Gauss. On note respectivement $L_1$ et $L_2$ ces deux lentilles. Pour chacune (avec $k=1$ ou $2$) on note $O_k$ son centre optique, $V_k$ sa vergence, $f_k^{\prime }$ sa distance focale image, $F_k$ et $F_k^{\prime }$ ses foyers principaux, respectivement objet et image. L'axe optique est orienté suivant l'ordre de positionnement des lentilles, la lumière rencontre successivement $L_1$ puis $L_2$, la distance algébrique $d=\overline{O_1{O}_2}$ est donc positive. Dans tout l'exercice on choisit les lentilles de sorte que $V_2>0$ et $V_1<0$.

Le circuit représenté sur la figure ci-contre est constitué d'un générateur de tension idéal stationnaire de force électromotrice (ou tension électromotrice) $E$, de deux résistors de résistances identiques $R$ et de deux condensateurs de capacités $C_1$ et $C_2$. Les deux interrupteurs $K_1$ et $K_2$ sont initialement ouverts, le condensateur $C_2$ est déchargé, tandis que $C_1$ a été chargé préalablement de sorte que la tension à ses bornes vaut initialement $u_1=E/2$. À un instant pris comme origine temporelle ($t=0$, $t$ désignant le temps), on ferme $K_1$ tout en maintenant $K_2$ ouvert.

Un gaz, supposé parfait, contenant $n$ moles d'entités chimiques inertes, suit le cycle de transformations réversibles suivantes : $A\to B$ : une compression isochore de volume $V_A$ ; $B\to C$ : une détente isotherme à la température $T_B=T_C$ ; $C\to A$ : une compression isobare à la pression $p_C=p_A$. On désigne par $T_A$ la température de l'état $A$ et par $V_C$ le volume de l'état $C$. On introduit les écarts de températures $\Delta T=T_C-T_A$ et de volumes $\Delta V=V_C-V_A$. On note $R$ la constante des gaz parfaits, $C_V$ la capacité thermique à volume constant du gaz et $C_P$ sa capacité thermique à pression constante.

On considère un cadre métallique rectangulaire $OADC$, rigide et homogène (masse linéique uniforme), de longueur $L$ et de largeur $\ell$, capable de tourner autour d'un de ses longs côtés horizontaux $CO$. L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire $\mathcal{R}$, supposé galiléen, auquel on associe le repère cartésien $\{O,{\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z\}$. Le côté $CO$ est situé sur un axe de rotation $\Delta$ (horizontal) fixe dans $\mathcal{R}$, et orienté par le vecteur unitaire ${\mathbf{e}}_z$. On note $\mathbf{g}=-g{\mathbf{e}}_y$ le champ de pesanteur d'intensité $g=\Vert \mathbf{g}\Vert$, ${\mathbf{e}}_y$ étant un vecteur unitaire orienté dans le sens vertical ascendant. On note $\theta$ l'angle qui repère le vecteur $\mathbf{OA}$ par rapport à la verticale descendante. On néglige tout frottement, dont ceux de la liaison pivot, supposée parfaite. On note $m$ la masse du cadre et $J_z$ son moment d'inertie par rapport à l'axe $\Delta$. Une alimentation, non représentée sur la figure, impose un courant stationnaire, d'intensité $I$ le long du cadre, dans le sens indiqué sur la figure ($I>0$). Enfin, le cadre est immergé dans un champ magnétique uniforme et stationnaire $\mathbf{B}=B{\mathbf{e}}_x$ où $B>0$. On néglige l'auto-induction dans le cadre.

Dans cet exercice, on symbolise un filtre par un schéma (Fig. 1). On l'exploite en régime sinusoïdal forcé établi. Les tensions d'entrée et de sortie du filtre sont respectivement $u_e(t)$ et $u_s(t)$. On introduit leurs représentations complexes ${\underline{\text{u}}}_e$ et ${\underline{\text{u}}}_s$ et on définit la fonction de transfert complexe du filtre comme le rapport de ces deux grandeurs complexes. On note $j$ l'unité imaginaire ($j^2=-1$). On étudie un circuit formé de résistors, de condensateurs et d'un générateur de tension idéal, fournissant une tension sinusoïdale $e(t)=E\cos (\omega t)$ (Fig. 2), $E$ et $\omega$ étant des constantes. Le circuit comporte, entre les points $P$ (haut) et $M$ (bas), deux branches en dérivation alimentées par $e(t)$ : une première branche $P$-$R$-$A$-$C$-$M$ (le résistor $R$ puis le condensateur $C$, de point milieu $A$) et une seconde branche $P$-$C^{\prime }$-$B$-$R^{\prime }$-$M$ avec $C^{\prime }=C/2$ puis $R^{\prime }=2R$, de point milieu $B$. On définit alors, à partir de ce circuit, les filtres $F_1$, $F_2$ et $F$ dont les fonctions de transfert sont notées respectivement ${\underline{\text{H}}}_1={\underline{\text{u}}}_{AM}/\underline{\text{e}}$, ${\underline{\text{H}}}_2={\underline{\text{u}}}_{BM}/\underline{\text{e}}$ et $\underline{\text{H}}={\underline{\text{u}}}_{AB}/\underline{\text{e}}$ (Fig. 3).