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Chapitres couverts

École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2026

2026

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

L'ensemble des réels $x$ tels que $∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ = 1$ est
A ${0}$
B $\emptyset$
C ${2}$
D ${1}$
Fonctions, limites et développements limités
L'ensemble des réels $x$ tels que $∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ ⩾ 1$ est
A $] - \infty, - 2] \cup [0, 1]$
B $\emptyset$
Fonctions, limites et développements limités
Partie 1
On note $i$ le nombre complexe tel que $i^{2} = - 1$ .
Une racine carrée du nombre $4 + 3 i$ est
A $\frac{- 3 - i}{2}$
Nombres complexes
L'ensemble des solutions de l'équation $z^{2} - \frac{3}{2} (1 + i) z - 1 = 0$ est
Nombres complexes
On considère l'ensemble $E_{t}$ des solutions de l'équation $z^{2} - t (1 + i) z - 1 = 0$ .
APour tout $t$ réel, l'ensemble $E_{t}$ est constitué de deux nombres complexes distincts
Nombres complexes
Partie 2
Pour tout $n$ entier naturel, on définit $I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - t^{3})^{n} d t .$ Pour tout $x$ réel, on pose $f_{n} (x) = \int_{0}^{1} (1 - x t^{3})^{n} d t$ .
$I_{1}$ est égal à
A $- \frac{3}{4}$
B $1$
C $\frac{1}{2}$
Intégration
Soit $n \in N$ . La quantité $\int_{0}^{1} t^{3} (1 - t^{3})^{n} d t$ est égale à
Intégration
Soit $n \in N$ . À l'aide d'une intégration par parties, on montre que
A $I_{n + 1} = \frac{3 ( n + 1 )}{( 3 n + 4 )} I_{n}$
Intégration
Pour tout $n$ entier naturel non nul, la fonction $f_{n}$ est une fonction polynôme de degré
A $3^{n}$
B $1$
C $3 n$
D $n$
EAucune des propositions n'est exacte
Intégration
Pour tout $n$ entier naturel non nul, le coefficient dominant de $f_{n}$ est
A $\frac{1}{3 n + 1}$
B $\frac{1}{3}$
Intégration
Pour tout $n$ entier naturel non nul, on peut montrer que $I_{n}$ vaut
A $k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k}}{3 k + 1}$
Intégration
Partie 3 - A
On note $S = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 2 n )!}$ et $T = n = 0 \sum + \infty \frac{1}{( 2 n + 1 )!}$ .
La somme $S + T$ est égale à
A $\frac{e}{2}$
B $e$
Suites et séries numériques
La somme $S$ est égale à
A $e + e^{- 1}$
B $\frac{e - e ^{- 1}}{2}$
Suites et séries numériques
Partie 3 - B
Soit $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ une suite de réels positifs.
On suppose dans cette question que $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
A $\sum u_{n}$ converge
B $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ converge
Suites et séries numériques
On suppose dans cette question que $\sum u_{n}$ converge.
A $\sum \frac{u _{n} + u _{n + 1}}{2}$ converge
Suites et séries numériques
On suppose dans cette question que $\sum u_{n}^{2}$ converge.
A $\sum \frac{u _{n}}{n + 1}$ converge
Suites et séries numériques
Partie 4 - A
On pose $P (X) = X^{5} - 3 X^{4} + 5 X^{3} - 7 X^{2} + 10 X + 1$ et $F = {(X^{2} + 2) \times Q ∣ Q \in R [X]}$ . On note $R_{1} [X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $1$ .
Le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X^{2} + 2)$ est
A $4 X + 3$
B $2 X + 5$
C $4 X - 3$
Polynômes
A $P \in F$
B $(X^{2} + 2) ∣ P$
C $R [X] = Vect {P} \oplus F$
Polynômes
Le polynôme $R (X) = P (X) - (4 X + 3)$
Apossède une racine d'ordre 3
Bpossède 4 racines distinctes
Cest divisible par $4 X + 3$
Dest scindé sur $R$
E
Polynômes
Partie 4 - B
On considère $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie non nulle et $L (E, F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ .
On suppose dans cette question que $dim E < dim F$ . Alors,
A $\forall f \in L (E, F)$ , $f$ est surjective
B $\forall f \in L (E, F)$ , $f$ est injective
Algèbre linéaire et matrices
A $\forall f, g \in L (E, F)$ , $rg (f + g) ⩽ rg (f) + rg (g)$
B $\forall f \in L (E, F)$ , $E = Ker f \oplus Im f$
Algèbre linéaire et matrices
Partie 4 - C
On note $i$ le nombre complexe défini par $i^{2} = - 1$ et on pose $j = e^{i \frac{2 π}{3}}$ . On pose $C = 1 j j^{2}$ et $A = C C^{T}$ , où $C^{T}$ désigne la transposée de $C$ .
La quantité $1 + j + j^{2}$ est égale à
A $1$
B $\overline{j}$
C $0$
D $\overline{j^{2}}$
Nombres complexes
La matrice $A$ vaut
A $(1 + j + j^{2})$
B $1 j j^{2} j j^{2} 0 j^{2} 00$
Algèbre linéaire et matrices
La matrice $A^{2}$ vaut
A $((1 + j + j^{2})^{2})$
B $1 + j + j^{2} 1 + j j^{2} 1 + j j + j^{2} 1 j^{2} 11$
Algèbre linéaire et matrices
Le rang de $A^{2}$ est égal à
A $0$
B $1$
C $2$
D $3$
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
Partie 4 - D
On pose $e_{1} = (1, - 2, 5)$ , $e_{2} = (- 1, 2, 1)$ et $e_{3} = (2, 1, 0)$ . On munit $R^{3}$ de son produit scalaire canonique.
La famille $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est
Aune base orthonormée de $R^{3}$
Bune base de $R^{3}$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $F = Vect {e_{1}, e_{2}}$ .
ATout supplémentaire orthogonal de $F$ est un espace vectoriel de dimension $2$
B $F$ possède plusieurs supplémentaires orthogonaux
CL'unique supplémentaire orthogonal de $F$ est $Vect {(0, 0, 1)}$
Algèbre linéaire et matrices
La matrice dans la base canonique de la projection sur $Vect {e_{1}, e_{2}}$ parallèlement à $e_{3}$ est
A $- 1 20 2 - 4 0 00 - 10$
Algèbre linéaire et matrices
Partie 5 - A
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . Alice et Bob disposent chacun d'une pièce de monnaie équilibrée qui renvoie Pile avec probabilité $\frac{1}{2}$ et Face avec probabilité $\frac{1}{2}$ . Ils effectuent, chacun de leur côté, une série de $n$ lancers indépendants de cette pièce. On note $X$ le nombre de Piles obtenus par Alice et $Y$ le nombre de Piles obtenus par Bob. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont supposées définies sur un même espace probabilisé $(Ω, A, P)$ .
La loi de la variable aléatoire $X$ est
Aune loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$
Bune loi uniforme sur ${0, 1, \dots, n}$
Cune loi binomiale de paramètres $n$ et $\frac{1}{2}$
Probabilités et dénombrement
La probabilité qu'Alice et Bob aient obtenu le même nombre de Piles est égale à
A $k = 0 \sum n (P (X = k) + P (Y = k))$
B $k = 0 \sum n P (X = k ∣ Y = k)$
Probabilités et dénombrement
Partie 5 - B
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . On considère $n$ urnes numérotées de $1$ à $n$ telles que l'urne numéro $k$ contient $k$ boules rouges et $n - k$ boules noires. On choisit, selon une loi uniforme, un entier $i_{0}$ entre $1$ et $n$ puis on tire successivement et sans remise des boules dans l'urne $i_{0}$ .
La probabilité que la première boule tirée soit rouge est égale à
A $\frac{n + 1}{2 n}$
B $\frac{1}{2}$
C $\frac{n - 1}{n}$
Probabilités et dénombrement
Sachant que la première boule tirée est rouge, la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge est égale à
A $\frac{n + 1}{3 n}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{1}{2}$
Probabilités et dénombrement
Partie 6
On considère la fonction $f$ définie pour tout $(x, y) \in R^{2}$ par $f (x, y) = x^{2} - x y + 3.$
Le gradient $\nabla f (1, 0)$ au point de coordonnées $(1, 0)$ vaut
A $(- 2 0)$
B $3$
C $(2 - 1)$
Fonctions, limites et développements limités
Le plan tangent en $(3, 2)$ à la surface d'équation $z = f (x, y)$ a pour équation
A $z = - 4 x + 3 y - 6$
B $z = - 4 x + 3 y$
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $f$ possède
A0 point critique
B1 point critique
C2 points critiques
D3 points critiques
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités
La fonction $f$
Ane possède pas d'extremum local
Bpossède un maximum local
Cpossède un minimum local
Dest bornée
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités

Aperçu de l'épreuve

Partie 1

Partie 2

Partie 3 - A

Partie 3 - B

Partie 4 - A

Partie 4 - B

Partie 4 - C

Partie 4 - D

Partie 5 - A

Partie 5 - B

Partie 6