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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2025

2025

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie 1
On définit une suite de polynômes $(T_{n})_{n \in N}$ par $T_{0} = 1$ , $T_{1} = X$ et $\forall n \in N$ , $T_{n + 2} = 2 X T_{n + 1} - T_{n}$ .
APour tout $n \in N$ , $T_{n} (- X) = - T_{n} (X)$
BPour tout $n \in N$ , $T_{n} (- X) = T_{n} (X)$
Polynômes
APour tout $n \in N$ et $θ \in R$ , $T_{n} (sin (θ)) = sin (n θ)$
BPour tout $n \in N$ et $θ \in R$ , $T_{n} (sin (θ)) = (sin (θ))^{n}$
Polynômes
On suppose que $n \in N^{*}$ et on note $α_{1}, \dots, α_{n}$ les racines complexes de $T_{n}$ comptées avec leur ordre de multiplicité.
Polynômes
On suppose que $n \in N^{*}$ et on note $α_{1}, \dots, α_{n}$ les racines complexes de $T_{n}$ comptées avec leur ordre de multiplicité.
Polynômes
APour tout $n \in N$ , $T_{n} (X) = k = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋ (2 k n) (X^{2} - 1)^{k} X^{n - 2 k}$
Polynômes
APour tout $n \in N$ et tout $x \in [- 1, 1]$ : $T_{n} (x) = \frac{1}{2} [(x + i 1 - x^{2})^{n} + (x - 1 - x^{2})^{n}]$
Polynômes
Partie 2
Si $n \in N^{*}$ , on note $U_{n} = {z \in C ∣ z^{n} = 1}$ . On rappelle que $U_{n} = {1, ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}}$ où $ω = e^{i 2 π / n}$ .
Dans cette question l'entier naturel $n$ est supposé supérieur ou égal à $2$ .
A $k = 0 \sum n - 1 (k + 1) ω^{k} = \frac{1}{ω - 1}$
Nombres complexes
Soit $n \in N^{*}$ .
A $z \in U_{n} \sum ∣ z - 1∣ = - 1$
Nombres complexes
Soit $(n, m) \in (N^{*})^{2}$ .
ASi $(z, z^{'}) \in (U_{n})^{2}$ alors $z + z^{'} \in U_{n}$
Nombres complexes
Soit $z = \frac{3 + 4 i}{5}$ . Pour tout $n \in N^{*}$ , on note $x_{n} = Re ((3 + 4 i)^{n})$ et $y_{n} = Im ((3 + 4 i)^{n})$ .
Nombres complexes
Soit $n \in N^{*}$ . On pose $ω = exp (i 2 π / (n + 1))$ . On se donne aussi $P = p = 0 \sum n a_{p} X^{p} \in C_{n} [X]$ quelconque et on note $M$ le réel défini par $M = max {P (ω^{k}) ∣ k \in [[0, n]]}$ .
Nombres complexes
Partie 3 - A
Soit la suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ telle que $u_{0} = 1$ et $\forall n \in N$ , $u_{n + 1} = \frac{3 + 2 u _{n}}{2 + u _{n}}$ .
A $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ est une suite croissante
B $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ est une suite décroissante
Suites et séries numériques
On définit aussi une suite $(v_{n})_{n ⩾ 0}$ telle que $\forall n \in N$ , $v_{n} = \frac{u _{n} - 3}{u _{n} + 3}$ .
Suites et séries numériques
Partie 3 - B
Pour $n \in N^{*}$ , on pose $u_{n} = ln (n) - k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ .
A $u_{n + 1} - u_{n} n \to + \infty = - \frac{1}{2 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})$
Suites et séries numériques
Si $f$ est une fonction de classe $C^{2}$ sur $R_{+}^{*}$ et $k \in N^{*}$ , on pose : $J_{k} = \frac{1}{2} \int_{k}^{k + 1} (t - k - \frac{1}{2})^{2} f^{''} (t) d t$ . On se donne $n \in N^{*}$ .
Intégration
On se donne $(n, p) \in (N^{*})^{2}$ tel que $n ⩽ p$ et on pose $f : t ⟼ \frac{1}{t}$ . Comme à la question 15, on note, pour $k \in N^{*}$ , $J_{k} = \frac{1}{2} \int_{k}^{k + 1} (t - k - \frac{1}{2})^{2} f^{''} (t) d t$ .
Intégration
AIl existe un réel $α$ tel que $u_{n} n \to + \infty = α + \frac{1}{2 n} + O (\frac{1}{n ^{2}})$
Suites et séries numériques
Partie 4 - A
Soit $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ une suite de réels strictement positifs. On pose, pour $n \in N$ , $S_{n} = k = 0 \sum n u_{k}$ .
On suppose que la série $\sum u_{n}$ converge.
ALa série $\sum \frac{u _{n}}{S _{n}}$ converge
Suites et séries numériques
On suppose que la série $\sum u_{n}$ diverge.
ASi $n \to + \infty lim \frac{S _{n - 1}}{S _{n}} = 1$ alors $\frac{u _{n}}{S _{n}} n \to + \infty \sim ln (\frac{S _{n - 1}}{S _{n}})$
Suites et séries numériques
On suppose que la série $\sum u_{n}$ diverge.
ALa série $\sum (\frac{1}{S _{n - 1}} - \frac{1}{S _{n}})$ converge
Suites et séries numériques
Partie 4 - B
Soient $x \in R$ et, pour $n \in N$ , $u_{n} = 3^{n} sin^{3} (\frac{x}{3 ^{n}})$ .
Après linéarisation :
A $sin^{3} (x) = \frac{3}{4} cos (x) - \frac{3}{4} cos (3 x)$
Trigonométrie
ALa série $\sum u_{n}$ diverge
BLa série $\sum u_{n}$ converge et $n = 0 \sum + \infty u_{n} = - \frac{1}{4} sin (x)$
Suites et séries numériques
Soit $θ \in R$ . On pose pour tout $n \in N$ : $u_{n} = \frac{sin ^{2} ( n θ )}{n !}$ .
Suites et séries numériques
Partie 5
$K$ désigne indifféremment $R$ ou $C$ .
Soit $n$ un entier naturel non nul.
A $(X, X^{4})$ est une base de $F = {a X^{4} + (a + b) X ∣ (a, b) \in R^{2}}$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n$ un entier naturel non nul.
ASi $F = Vect ((0, 1, 1), (1, 0, 2))$ et $G = Vect ((0, 1, 2))$ alors $R^{3} = F \oplus G$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $f$ l'application linéaire de $R^{2}$ vers $R^{3}$ dont la matrice relativement aux bases canoniques est $124243$ . On note $H$ l'ensemble des applications linéaires $g$ de $R^{3}$ vers $R^{2}$ telles que $f \circ g \circ f = 0$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $E$ un espace vectoriel non réduit à ${0_{E}}$ . Soit $f$ un endomorphisme de $E$ .
ASi $x \in E$ et $f (x) = 0_{E}$ alors $x = 0_{E}$ puisque $f$ est linéaire
Algèbre linéaire et matrices
Soit $D = (- 1 0 04)$ .
ASoit $M \in M_{2} (C)$ . Alors : $M D = D M ⟺ M$ est triangulaire
Algèbre linéaire et matrices
Soit $E$ un espace vectoriel non réduit à ${0_{E}}$ . Soient $p$ et $q$ des projecteurs de $E$ .
A $p + q$ est un projecteur
BIl existe un réel $α \neq = 0$ tel que $α p$ est un projecteur
Algèbre linéaire et matrices
On considère $R^{3}$ muni de sa structure euclidienne canonique et on note $p$ la projection orthogonale sur le plan $F$ d'équation $x + y + z = 0$ . On note $M$ la matrice de $p$ dans la base canonique.
A $M = \frac{1}{3} 2 - 1 - 1 - 1 2 - 1 - 1 - 1 2$
Algèbre linéaire et matrices
On considère $R^{3}$ muni de sa structure euclidienne canonique et on note $f$ l'endomorphisme de $R^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est $M = \frac{1}{2} 200 - 1 00 122$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie notée $n$ et non réduit à ${0_{E}}$ . Soit $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^{2} - 3 f + 2 id_{E} = 0$ et $f \neq = id_{E}$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $n \in N^{*}$ . On lance $2 n$ fois une pièce de monnaie équilibrée.
ALa probabilité d'avoir autant de « pile » que de « face » est égale à $(n 2 n) \frac{1}{2 ^{n}}$
Probabilités et dénombrement
On dispose de $2$ dés A et B. Le dé A a $4$ faces rouges et $2$ faces blanches. Le dé B a $2$ faces rouges et $4$ faces blanches. On commence par lancer une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d'obtenir « pile » soit $1/3$ .
- Si on obtient « pile » on décide de jouer uniquement avec le dé A ;
- Si on obtient « face » on décide de jouer uniquement avec le dé B.
ALa probabilité d'avoir une face rouge au premier lancer de dé est égale à $\frac{2}{9}$
BLa probabilité d'avoir deux faces rouges aux deux premiers lancers est égale à $\frac{2}{9}$
Probabilités et dénombrement
Soient $U_{1}$ et $U_{2}$ deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et suivant toutes deux une loi de Bernoulli de paramètre $p \in] 0, 1 [$ . On pose $T = U_{1} - U_{2}$ et $V = U_{1} + U_{2}$ .
Probabilités et dénombrement
On considère $b$ boules ( $b ⩾ 2$ ) numérotées de $1$ à $b$ réparties dans deux urnes $A$ et $B$ . Lors de chaque étape on tire au hasard un entier entre $1$ et $b$ , et on change d'urne la boule portant ce numéro. On note $X_{n}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de boules dans l'urne $A$ à l'étape $n$ (pour tout $n \in N$ ). Initialement il y a donc $X_{0}$ boules dans l'urne $A$ et $b - X_{0}$ boules dans l'urne $B$ .
Probabilités et dénombrement

CPour tout

n \in N

T_{n} (- X) = (- 1)^{n} T_{n} (X)

DPour tout

n \in N

T_{n} (- X) = T_{n}^{'} (X)

EAucune des propositions n'est exacte

CPour tout

n \in N

θ \in R

T_{n} (cos (θ)) = cos (n θ)

DPour tout

n \in N

θ \in R

T_{n} (cos (θ)) = (cos (θ))^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

APour tout $k \in [[1, n]]$ , on peut avoir $α_{k} = cos (\frac{( 2 k + 1 ) π}{2 n})$
BPour tout $k \in [[1, n]]$ , on peut avoir $α_{k} = cos (\frac{( 2 k - 1 ) π}{2 n})$
CPour tout $k \in [[1, n]]$ , on peut avoir $α_{k} = sin (\frac{( 2 k + 1 ) π}{2 n})$
DPour tout $k \in [[1, n]]$ , on peut avoir $α_{k} = sin (\frac{( 2 k - 1 ) π}{2 n})$
EAucune des propositions n'est exacte

A $k = 1 \prod n α_{k} = (- 1)^{n}$
B $k = 1 \prod n α_{k} = 1$
C $k = 1 \prod n α_{k} = 0$ si $n$ est pair et $k = 1 \prod n α_{k} = (- 1)^{(n - 1) /2}$ si $n$ est impair
D $k = 1 \prod n α_{k} = (- 1)^{n /2}$ si $n$ est pair et $k = 1 \prod n α_{k} = 0$ si $n$ est impair
EAucune des propositions n'est exacte

BPour tout

n \in N

T_{n} (X) = k = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋ (2 k n) (1 - X^{2})^{k} X^{n - 2 k}

CPour tout

n \in N

T_{n} (X) = k = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋ (2 k n) (X^{2} - 1)^{k} X^{2 n - k}

DPour tout

n \in N

T_{n} (X) = k = 0 \sum ⌊ n /2 ⌋ (2 k n) (1 - X^{2})^{k} X^{2 n - k}

EAucune des propositions n'est exacte

BPour tout

n \in N

et tout

x \in [- 1, 1]

T_{n} (x) = \frac{1}{2} [(x + 1 - x^{2})^{n} + (x - i 1 - x^{2})^{n}]

CPour tout

n \in N

et tout

x \in [- 1, 1]

T_{n} (x) = \frac{1}{2} [(x + 1 - x^{2})^{n} + (x - 1 - x^{2})^{n}]

DPour tout

n \in N

et tout

x \in [- 1, 1]

T_{n} (x) = \frac{1}{2} [(x + i 1 - x^{2})^{n} + (x - i 1 - x^{2})^{n}]

EAucune des propositions n'est exacte

k = 0 \sum n - 1 (k + 1) ω^{k} = \frac{n}{ω - 1}

k = 0 \sum n - 1 (k + 1) ω^{k} = n (k + 1) ω^{k}

k = 0 \sum n - 1 (k + 1) ω^{k} = \frac{k}{ω - 1}

EAucune des propositions n'est exacte

z \in U_{n} \sum ∣ z - 1∣ = arctan (\frac{π}{2 n})

z \in U_{n} \sum ∣ z - 1∣ = \frac{1}{tan ( \frac{π}{2 n} )}

z \in U_{n} \sum ∣ z - 1∣ = tan (\frac{π}{2 n})

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

z \in U_{n}

et si

z^{'} \in U_{m}

alors

z \times z^{'} \in U_{m a x (n, m)}

CSi

z \in U_{n}

et si

z^{'} \in U_{m}

alors

\frac{z}{z ^{'}} \in U_{m i n (n, m)}

DDans

C [X]

on a :

z \in U_{n} \prod (X - z) = X^{n} + 1

EAucune des propositions n'est exacte

APour tout $n \in N^{*}$ , $x_{n + 1} = 3 x_{n} + 4 y_{n}$ et $y_{n + 1} = 4 x_{n} + 3 y_{n}$
BPour tout $n \in N^{*}$ , il existe $(k_{n}, k_{n}^{'}) \in Z^{2}$ tel que $x_{n} = 3 + 5 k_{n}$ et $y_{n} = 4 + 5 k_{n}^{'}$
CPour tout $n \in N^{*}$ , il existe $(k_{n}, k_{n}^{'}) \in Z^{2}$ tel que $x_{n} = 4 + 5 k_{n}$ et $y_{n} = 3 + 5 k_{n}^{'}$
DOn a $∣ z ∣ = 1$ donc il existe $n \in N^{*}$ tel que $z \in U_{n}$
EAucune des propositions n'est exacte

AOn a $M > 0$
BPour tout $p \in Z$ on a $k = 0 \sum n (ω^{k})^{p} = 0$
COn a $k = 0 \sum n P (ω^{k}) ⩽ (n + 1) M$
DOn a $∣ a_{0} ∣ ⩽ M$
EAucune des propositions n'est exacte

(u_{n})_{n ⩾ 0}

est une suite bornée

(u_{n})_{n ⩾ 0}

n'est pas une suite majorée

EAucune des propositions n'est exacte

A $(v_{n})_{n ⩾ 0}$ est une suite arithmétique
B $(v_{n})_{n ⩾ 0}$ est une suite convergente
CSi $ℓ = n \to + \infty lim u_{n}$ alors $u_{n} - ℓ n \to + \infty \sim 23 (2 - 3)^{n}$
DSi $ℓ = n \to + \infty lim u_{n}$ alors $u_{n} - ℓ n \to + \infty \sim - 23 (2 - 3)^{n}$
EAucune des propositions n'est exacte

u_{n + 1} - u_{n} n \to + \infty = \frac{1}{2 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})

(u_{n})

est une suite convergente

u_{n} n \to + \infty \sim ln (n)

EAucune des propositions n'est exacte

A $k = 1 \sum n f (k) = \frac{f ( 1 ) - f ( n )}{2} + \frac{f ^{'} ( n ) - f ^{'} ( 1 )}{8} + \int_{1}^{n} f (t) d t - k = 1 \sum n - 1 J_{k}$
B $k = 1 \sum n f (k) = \frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2} + \frac{f ^{'} ( n ) - f ^{'} ( 1 )}{8} - \int_{1}^{n} f (t) d t - k = 1 \sum n - 1 J_{k}$
C $k = 1 \sum n f (k) = \frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2} + \frac{f ^{'} ( n ) - f ^{'} ( 1 )}{8} + \int_{1}^{n} f (t) d t + k = 1 \sum n - 1 J_{k}$
D $k = 1 \sum n f (k) = \frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2} + \frac{f ^{'} ( n ) - f ^{'} ( 1 )}{8} + \int_{1}^{n} f (t) d t - k = 1 \sum n - 1 J_{k}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $0 ⩽ k = n \sum p J_{k} ⩽ \frac{1}{8} (\frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{( p + 1 ) ^{2}})$
B $0 ⩽ k = n \sum p J_{k} ⩽ \frac{1}{8} (\frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}})$
C $0 ⩽ k = n \sum p J_{k} ⩽ \frac{1}{4} (\frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{( p + 1 ) ^{2}})$
D $0 ⩽ k = n \sum p J_{k} ⩽ \frac{1}{4} (\frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}})$
EAucune des propositions n'est exacte

BIl existe un réel

α

tel que

u_{n} n \to + \infty = α - \frac{1}{2 n} + O (\frac{1}{n ^{2}})

CIl existe un réel

α

tel que

u_{n} n \to + \infty = α + \frac{1}{2 n} + o (\frac{1}{n ^{2}})

DIl existe un réel

α

tel que

u_{n} n \to + \infty = α - \frac{1}{2 n} + o (\frac{1}{n ^{2}})

EAucune des propositions n'est exacte

BLa série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}}

diverge

CLa série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}^{2}}

converge

DLa série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}^{2}}

diverge

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

n \to + \infty lim \frac{S _{n - 1}}{S _{n}} = 1

alors la série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}}

diverge

CSi

n \to + \infty lim \frac{S _{n - 1}}{S _{n}} = 1

alors la série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}}

converge

DSi la suite

(\frac{S _{n - 1}}{S _{n}})_{n ⩾ 1}

ne converge pas vers

1

alors la série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}}

converge

EAucune des propositions n'est exacte

BLa série

\sum (\frac{1}{S _{n - 1}} - \frac{1}{S _{n}})

diverge

CLa série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}^{2}}

converge

DLa série

\sum \frac{u _{n}}{S _{n}^{2}}

diverge

EAucune des propositions n'est exacte

sin^{3} (x) = \frac{1}{4} sin (3 x) - \frac{3}{4} sin (x)

sin^{3} (x) = \frac{3}{4} sin (x) + \frac{1}{4} sin (3 x)

sin^{3} (x) = \frac{3}{4} sin (x) - \frac{1}{4} sin (3 x)

EAucune des propositions n'est exacte

CLa série

\sum u_{n}

converge et

n = 0 \sum + \infty u_{n} = \frac{3 x}{4} - \frac{1}{4} sin (3 x)

DLa série

\sum u_{n}

converge et

n = 0 \sum + \infty u_{n} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4} sin (x)

EAucune des propositions n'est exacte

ALa série $\sum u_{n}$ diverge
BLa série $\sum u_{n}$ converge et $n = 0 \sum + \infty u_{n} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} e^{c o s (2 θ)} cos (sin (2 θ))$
CLa série $\sum u_{n}$ converge et $n = 0 \sum + \infty u_{n} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} e^{c o s (2 θ)}$
DLa série $\sum u_{n}$ converge et $n = 0 \sum + \infty u_{n} = \frac{e}{2} - \frac{1}{2} e^{c o s (2 θ)} cos (2 θ)$
EAucune des propositions n'est exacte

BSi

(P_{1}, \dots, P_{n})

est une famille de polynômes de

K_{n} [X]

de degrés deux à deux distincts alors elle est une base de

K_{n} [X]

CSi

G = {P \in K [X] ∣ X^{3} divise P}

alors

K [X] = G \oplus K_{3} [X]

DLa famille

(X^{k} (X - 1)^{n - k})_{0 ⩽ k ⩽ n}

est libre dans

K [X]

EAucune des propositions n'est exacte

BSi

E

est un espace vectoriel de dimension finie et au moins égale à

2

et si

H

est un hyperplan de

E

, alors pour tout vecteur

x \in E

non nul on a

E = H \oplus Vect (x)

CSi

F

est l'ensemble des matrices symétriques de

M_{n} (R)

et si

G

est l'ensemble des matrices diagonales de

M_{n} (R)

alors

M_{n} (R) = F \oplus G

DSi

E

est un espace vectoriel de dimension finie au moins égale à

2

et si

x

y

sont des vecteurs distincts de

E

alors

Vect (x, y) = Vect (x) \oplus Vect (y)

EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est surjective
B $f$ est injective
CIl existe $g \in H$ telle que $g$ est injective
D $H$ est un sous-espace vectoriel de $L (R^{3}, R^{2})$ de dimension $2$
EAucune des propositions n'est exacte

Ker (f) \cap Im (f) = Ker (f^{2})

E = Ker (f) + Im (f)

DComme

f

est un endomorphisme on a

Im (f) \subseteq Im (f^{2})

EAucune des propositions n'est exacte

BL'équation

M^{3} - 2 M = D

d'inconnue

M \in M_{2} (C)

3

solutions

CL'équation

M^{3} - 2 M = D

d'inconnue

M \in M_{2} (C)

6

solutions

DL'équation

M^{3} - 2 M = D

d'inconnue

M \in M_{2} (C)

9

solutions

EAucune des propositions n'est exacte

COn a

Im (p) = Ker (q)

Ker (q) = Im (p)

Im (p) = Im (q)

si et seulement si

p \circ q = q

q \circ p = p

EAucune des propositions n'est exacte

M = \frac{1}{3} 211121112

CSi

u = (1, 2, 3)

alors la distance de

u

F

est

d (u, F) = 6

DSi

u = (1, 2, 3)

alors la distance de

u

F

est

d (u, F) = 2

EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est un projecteur orthogonal
B $f$ est une symétrie orthogonale
CLa symétrie orthogonale par rapport à $Im (f)$ est représentée dans la base canonique par $100001010$
DLa symétrie orthogonale par rapport à $Im (f)$ est représentée dans la base canonique par $100 - 1 - 1 0 121$
EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est un projecteur
B $Ker (f) \neq = {0_{E}}$
C $dim (Ker (f - id_{E})) + dim (Ker (f - 2 id_{E})) ⩾ n$
D $E \neq = Ker (f - id_{E}) + Ker (f - 2 id_{E})$
EAucune des propositions n'est exacte

BLa probabilité d'avoir une alternance de « pile » et de « face » commençant par « pile » (ie PFPFPF...PF) est égale à

\frac{1}{2 ^{n}}

CLa probabilité d'avoir au plus un « pile » est égale à

\frac{n + 1}{2 ^{n}}

DEn moyenne le nombre de « pile » obtenu est égal à

n

EAucune des propositions n'est exacte

CLes évènements « avoir une face rouge au premier lancer de dé » et « avoir une face rouge au second lancer de dé » sont indépendants

DSachant que les deux premiers lancers de dé ont donné deux faces rouges, la probabilité d'avoir une face rouge au troisième lancer de dé est égale à

\frac{2}{9}

EAucune des propositions n'est exacte

A $T$ et $V$ suivent une loi binomiale
BIl existe un $p \in] 0, 1 [$ pour lequel $T$ et $V$ suivent une loi uniforme
C $Cov (T, V) = 0$
D $T$ et $V$ sont indépendantes
EAucune des propositions n'est exacte

ALa variable aléatoire $X_{n + 1} - X_{n}$ prend ses valeurs dans ${- 1, 1}$
BPour tout $n \in N$ on a $P (X_{n + 1} - X_{n} = 1) = 1 - \frac{2}{b} E (X_{n})$
CPour tout $n \in N$ on a $E (X_{n + 1}) = (1 - \frac{1}{b}) E (X_{n}) + 1$
D $n \to + \infty lim E (X_{n}) = \frac{b}{2}$
EAucune des propositions n'est exacte

Aperçu de l'épreuve

Partie 1

Partie 2

Partie 3 - A

Partie 3 - B

Partie 4 - A

Partie 4 - B

Partie 5