ENAC EPL 2024 (physique)

L'entrée d'un périscope est constituée de deux miroirs plans ${\mathcal{M}}_1$ et ${\mathcal{M}}_2$, circulaires et de centres respectifs $S_1$ et $S_2$. Après réflexions sur ${\mathcal{M}}_1$ et ${\mathcal{M}}_2$, la lumière entre dans un système de deux lentilles ${\mathcal{L}}_1$ et ${\mathcal{L}}_2$, assimilées à des lentilles minces de centres respectifs $O_1$ et $O_2$. Les miroirs sont inclinés d'un angle de $45^{\circ }$ par rapport à l'axe optique du système. Les distances focales images algébrisées de ${\mathcal{L}}_1$ et ${\mathcal{L}}_2$ sont respectivement $f_1^{\prime }=1$ m et $f_2^{\prime }=-0,125$ m. Un œil emmétrope (sans défaut) est placé juste derrière ${\mathcal{L}}_2$. Le périscope ${\mathcal{S}}_p$ est l'ensemble catadioptrique $\{{\mathcal{M}}_1,{\mathcal{M}}_2,{\mathcal{L}}_1,{\mathcal{L}}_2\}$. On observe un objet $AB$ placé dans un plan transversal, en avant de ${\mathcal{S}}_p$. On introduit les distances $a=\overline{S_2{S}_1}>0$, $b=\overline{S_2{O}_1}>0$, $e=\overline{O_1{O}_2}>0$ et $d=\overline{A{S}_1}>0$. Dans tout l'exercice, on admet que les lentilles fonctionnent dans les conditions de Gauss.

Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, un projectile $A$ assimilé à un corpuscule (i.e. point matériel), est tiré à l'instant initial dans un plan vertical ${\mathcal{P}}_v$ depuis l'origine $O$ d'un repère cartésien $(O,{\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_z)$, ${\mathbf{e}}_z$ donnant le sens de la verticale ascendante. Le vecteur vitesse initiale ${\mathbf{v}}_0$ de $A$, de norme $v_0=\Vert {\mathbf{v}}_0\Vert$, forme un angle $\theta$ avec l'axe $O{\mathbf{e}}_x$ (Fig. ci-après). On désigne par $\mathbf{g}=-g{\mathbf{e}}_z$ le vecteur champ de pesanteur ($g\approx 10{\text{m.s}}^{-2}$) et on néglige tout frottement. On considère une cible $C$ placée à la distance $d$ de $O$ et à une hauteur $h$, dans ${\mathcal{P}}_v$.

Une tige homogène $\mathcal{T}$, de masse $m$ et de longueur $MN=3b$, est initialement à l'équilibre avec une position horizontale dans le champ de pesanteur $\mathbf{g}=g{\mathbf{e}}_x$ où $g\approx 10{\text{m.s}}^{-2}$ et ${\mathbf{e}}_x$ est un vecteur unitaire dirigé dans le sens de la verticale descendante. On l'astreint à tourner autour d'un axe horizontal $(K\Delta )$ fixe dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen) et orthogonal à $\mathcal{T}$ et donc au plan de la figure (Fig. ci-après). L'axe de rotation, orienté positivement vers le lecteur, sépare la tige en deux parties de longueurs $MK=2b$ et $KN=b$. Les frottements sont négligés. Le moment d'inertie de $\mathcal{T}$ par rapport à $\Delta$ vaut $m{b}^2$. L'extrémité $M$ (gauche) de la tige est fixée à un ressort vertical, de raideur $K$ et de longueur à vide ${\ell }_0$. L'autre extrémité du ressort est solidaire d'un bâti, fixe dans le référentiel du laboratoire. La coordonnée $x$ de $M$ est repérée par l'axe $O{\mathbf{e}}_x$. Initialement, $M$ coïncide avec l'origine $O$ du repère, et donc $x(t=0)=0$.

Un gaz, supposé parfait ($n$ moles), suit le cycle de transformations réversibles ($E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_4$) suivantes (Fig. ci-après). On désigne par $p_k$, $V_k$ et $T_k$ les pressions, volumes et températures des états $E_k$, où $k=1,2,3$ ou $4$. On note $R$ la constante des gaz parfaits et $\gamma =C_{pm}/C_{vm}$, le rapport de la capacité thermique molaire à pression constante sur la capacité thermique molaire à volume constant. On note respectivement $W_{ij}$ et $Q_{ij}$ le travail et la chaleur (transfert thermique) algébriquement reçu par le gaz lors de la transformation menant de l'état $E_i$ à l'état $E_j$. On désigne par $W$ le travail algébriquement reçu par le gaz sur le cycle. Les températures $T_1$ et $T_3$ sont égales. On pose $\kappa =p_1/p_3$.

On associe, en dérivation, $N$ condensateurs identiques de capacités $C$. Le dipôle obtenu est alors monté en série avec un résistor de résistance $R$, un générateur de tension continue de force électromotrice (tension) $E$, et un interrupteur $K$ que l'on ferme à un instant pris comme origine temporelle ($t=0$). On note $i$ l'intensité du courant électrique débité par le générateur et $i_k$, $k$ allant de $1$ à $N$, l'intensité du courant électrique dans le $k$-ième condensateur (Fig. ci-après). On désigne $u_C$ la tension aux bornes des condensateurs. Avant la fermeture de $K$ ($t<0$) : $u_C(t)=U_0$, où $U_0$ est la tension de charge des condensateurs.

Un filtre composé d'un résistor de résistance $R$, d'une bobine d'inductance $L$ et de deux condensateurs identiques de capacités $C$, est alimenté par une tension d'entrée sinusoïdale $u_e(t)$, de pulsation $\omega$, et d'amplitude complexe ${\underline{\text{u}}}_{e,m}$. On se place en régime sinusoïdal forcé établi (i.e. permanent) et on prélève la tension de sortie $u_s$ aux bornes du résistor. On désigne par ${\underline{\text{u}}}_{s,m}$ l'amplitude complexe de la tension $u_s$. Deux interrupteurs $K_1$ et $K_2$ permettent de modifier la constitution du circuit (Fig. ci-après). On note $\mathcal{H}={\underline{\text{u}}}_{s,m}/{\underline{\text{u}}}_{e,m}$ la fonction de transfert du filtre et $j$, l'unité imaginaire ($j^2=-1$).