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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2024

2024

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Pour $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = k = 1 \sum n (- 1)^{k} k^{2}$ et $u_{n} = S_{2 n}$ . Pour tout $n \in N^{*}$ , on a :
Suites et séries numériques
APour tout $n ⩾ 1$ , $k = 0 \sum n (k 2 n + 1) = k = n + 1 \sum 2 n + 1 (k 2 n + 1) = 2^{2 n - 1}$
Probabilités et dénombrement
Partie II - A
Soit l'équation d'inconnue $z \in C$ : $z^{2} - 4 \overline{z} - 4 = 0$ .
ACette équation admet exactement deux solutions
BCette équation n'admet pas de solution dans $R$
CCette équation admet une unique solution dans $C ∖ R$
D $z$ solution implique $(z - \overline{z}) (z + \overline{z} + 4) = 0$
Nombres complexes
L'ensemble des solutions de l'équation précédente est :
A ${2 - 22; 2 + 22}$
Nombres complexes
Partie II - B
Pour $n \in N^{*}$ , on pose $ω_{n} = e^{i \frac{π}{n}}$ .
A ${ω_{n}^{k} ∣ k \in [[0, n]]}$ est l'ensemble des racines du polynôme $X^{2 n} - 1$
Nombres complexes
Pour tout $n ⩾ 1$ :
A $k = 1 \sum n ω_{n}^{k} = 0$
Nombres complexes
Pour tout $n \in N^{*}$ :
A $\frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} = \frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}}$ si et seulement si $n = 1$
Nombres complexes
Pour $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = k = 1 \sum n ∣1 - ω_{n}^{k} ∣^{2}$ . Pour tout $n ⩾ 1$ :
Nombres complexes
Partie III
Pour un réel $a$ quelconque, $⌊ a ⌋$ désigne la partie entière de $a$ .
Soit l'équation $(E_{1})$ : $⌊ 2 x ⌋ = x$ .
A $(E_{1})$ a les mêmes solutions que $⌊ 2 x ⌋ = ⌊ x ⌋$
Fonctions, limites et développements limités
Soit l'équation $(E_{2})$ : $⌊ 2 x ⌋ = x^{2}$ .
A $(E_{2})$ admet une infinité de solutions
B $x$ solution de $(E_{2})$ implique $x \in [0; 2]$
Fonctions, limites et développements limités
Soit, pour $n \in N^{*}$ , l'équation $(E_{n})$ : $⌊ 2 x ⌋ = x^{n}$ et $S_{n}$ l'ensemble de ses solutions.
Fonctions, limites et développements limités
Partie IV
Soit l'équation différentielle $x y^{'} + y = 0$ , d'ensemble de solutions $S_{H}$ sur $] 0; + \infty [$ .
A $S_{H} = {f_{λ} : x \mapsto \frac{λ}{x} e^{- x} ∣ λ \in R}$
Fonctions, limites et développements limités
Soit $f$ définie sur $] - 2; 2 [$ par $f (x) = arcsin (\frac{x}{2})$ . Une primitive $F$ de $f$ est définie sur $] - 2; 2 [$ par :
Intégration
Si $y$ est une solution quelconque de $x y^{'} + y = arcsin (\frac{x}{2})$ sur $] 0; 2 [$ , alors il existe $λ \in R$ tel que, au voisinage de $0$ , on ait :
Fonctions, limites et développements limités
On en déduit que pour l'équation $x y^{'} + y = arcsin (\frac{x}{2})$ :
AIl n'y a aucune solution définie sur $] - 2; 2 [$
Fonctions, limites et développements limités
Partie V
Pour toute suite $(u_{n})_{n}$ à termes dans $] 0; 1 [$ :
ALes séries $n \sum u_{n}$ et $n \sum ln (1 + u_{n})$ sont de même nature
Suites et séries numériques
Pour $a \in] 0; 1 [$ , on pose $p_{n} (a) = k = 0 \prod n (1 + a^{2^{k}})$ et $q_{n} (a) = k = 0 \prod n (1 - a^{2^{k}})$ .
Suites et séries numériques
Pour $a \in] 0; 1 [$ , on reprend $p_{n} (a) = k = 0 \prod n (1 + a^{2^{k}})$ et $q_{n} (a) = k = 0 \prod n (1 - a^{2^{k}})$ (question 17).
Suites et séries numériques
Soit $P = X^{5} - 3 X^{4} + 5 X^{3} - 7 X^{2} + 6 X - 2$ .
Polynômes
Pour $n \in N$ , on pose $E_{n} = {P \in R [X] ∣ \forall k \in [[0; n]], P^{(k)} (1) = 1}$ .
Polynômes
Partie VII
Dans cette partie, $E$ est un espace vectoriel non trivial. Pour une famille $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ de vecteurs de $E$ , on note $Vect (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ l'espace vectoriel engendré par cette famille ; $L (E)$ est l'ensemble des endomorphismes de $E$ et $I d_{E}$ est l'application identité de $E$ dans $E$ . On note $M_{n} (R)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels et $G L_{n} (R)$ l'ensemble des matrices de $M_{n} (R)$ qui sont inversibles. Pour toute $M \in M_{n} (R)$ , $det (M)$ est le déterminant de $M$ et $rg (M)$ est le rang de $M$ . La matrice $I_{n}$ est la matrice identité de $M_{n} (R)$ .
Soit $F = {(x; y; z) \in R^{3} ∣ x - y - z = 0}$ et $G = {(x; y; z) \in R^{3} ∣ x + y - z = 0}$ .
Algèbre linéaire et matrices
Pour $t \in R$ , $M_{t} = 11 t t 24 2 t 4$ .
Algèbre linéaire et matrices
Le système d'inconnues $x, y, z$ : $⎩ ⎨ ⎧ x + t y + 2 z = a x + 2 y + t z = b t x + 4 y + 4 z = c$
Algèbre linéaire et matrices
Pour tous hyperplans $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ deux à deux distincts d'un espace vectoriel $E$ de dimension $d > 3$ :
A $H_{1} \oplus H_{2} = H_{1} \oplus H_{3} = H_{2} \oplus H_{3} = E$
Algèbre linéaire et matrices
$f \in L (E)$ vérifie $f \neq = 0$ et $f \circ f = 2 f$ .
ACela revient à $f = 2 I d_{E}$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $N \in M_{n} (R)$ telle que $N \neq = 0$ , $N^{3} = 0$ et $A = I_{n} + N$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit $A = P 100 - 1 10 211 P^{- 1}$ où $P \in G L_{3} (R)$ .
Algèbre linéaire et matrices
Soit le déterminant $D (a, b, c) = a a b b c c ab a c b c$ . Pour tous réels $a, b, c$ , on a :
Algèbre linéaire et matrices
Partie VIII
L'espace euclidien $R^{3}$ est muni de son produit scalaire canonique noté $(\cdot ∣ \cdot)$ et de la norme qui y est associée notée $∥ \cdot ∥$ , la base canonique $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ de $R^{3}$ étant alors orthonormée.
A $(e_{1} - e_{2}, e_{1} + e_{2}, e_{3})$ est une base orthonormale de $R^{3}$
Algèbre linéaire et matrices
$p$ est la projection orthogonale sur $H = {(x; y; z) \in R^{3} ∣ 2 x - y - z = 0}$ .
Algèbre linéaire et matrices
Pour $α \in] 0; π [$ , on pose $u_{α} = cos (α) e_{1} + sin (α) e_{3}$ et $D_{α} = Vect (u_{α})$ . $p_{α}$ est la projection sur $F = Vect (e_{1}, e_{2})$ parallèlement à $D_{α}$ .
Algèbre linéaire et matrices
Partie IX - A
Une urne contient au départ huit boules numérotées de $1$ à $8$ , les boules $1, 2, 3$ sont rouges et les autres sont noires. Il est équiprobable de tirer n'importe laquelle de ces boules. On tire successivement cinq boules soit avec remise (c'est-à-dire que chaque boule tirée est remise dans l'urne avant tirage de la suivante), soit sans remise dans le cas où chaque boule tirée est définitivement retirée de l'urne.
ALa probabilité que sur les cinq boules tirées exactement trois soient rouges étant $p_{1}$ dans le cas sans remise et $p_{2}$ avec remise, on a $\frac{p _{1}}{p _{2}} = \frac{8 ^{4}}{7 \times 6 \times 5 \times 3 ^{3}}$
Probabilités et dénombrement
Chaque boule rouge tirée rapporte deux points, chaque boule noire enlève un point. $X$ est la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus après tirage sans remise de cinq boules.
A $E (X) = \frac{6 \times ( 2 5 ) + 4 \times ( 3 5 ) + 2 \times ( 4 5 )}{( 5 8 )}$
Probabilités et dénombrement
On lance $n$ fois, avec $n ⩾ 2$ , une pièce de monnaie équilibrée. Soient les événements $A$ : « on obtient au plus une fois face » et $B$ : « on obtient au moins une fois face et au moins une fois pile ».
AQuel que soit $n ⩾ 2$ , $P (A) = (\frac{1}{2})^{n} + n \times (\frac{1}{2})^{n - 1}$
Probabilités et dénombrement
Un virus est susceptible d'infecter les habitants d'une grande ville. Certains individus infectés peuvent rester chez eux, d'autres doivent être hospitalisés du fait de leur état. Un vaccin existe contre ce virus et $90 %$ des habitants sont vaccinés. On constate que $50 %$ des personnes hospitalisées à cause du virus étaient préalablement vaccinées. On note, pour un habitant choisi au hasard, $H$ l'événement « la personne est hospitalisée à cause du virus » et $V$ l'événement « la personne est vaccinée ».
A $H$ est indépendant de $V$
B $P_{V} (H) = P_{\overline{V}} (H) = 0, 5$
Probabilités et dénombrement
Un questionnaire comporte $20$ questions avec pour chacune quatre affirmations A, B, C et D à cocher dont exactement une est vraie. Cocher l'affirmation correcte rapporte $1$ point, en cocher une autre n'enlève ni ne rapporte aucun point. Un candidat coche au hasard une affirmation par question ; on note $X$ le nombre de points qu'il obtient au questionnaire.
A $X$ suit une loi uniforme
B $P (X = k + 1) ⩾ P (X = k) ⟺ k ⩽ 4, 25$
Probabilités et dénombrement

ASi $n$ est pair, $S_{n} = k = 1 \sum n k^{2}$
B $u_{n} = k = 1 \sum n (2 k)^{2} - k = 1 \sum n (2 k + 1)^{2}$
C $S_{2 n} > 0$ et $S_{2 n + 1} < 0$
D $u_{n + 1} = u_{n} - (2 n + 1)^{2}$
EAucune des propositions n'est exacte

BIl existe

n \in N

tel que

(n 2 n) > (n + 1 2 n + 1)

CPour tout

n ⩾ 3

et tout

2 ⩽ k ⩽ n - 2

, on a

(k n - 2) + 2 (k - 1 n - 2) + (k - 2 n - 2) = (k n - 1)

DPour tout

n \in N^{*}

(n 2 n) < 4^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

{2 - 22; 2 + 22; 2 - 22 i; 2 + 22 i}

{2 - 22; 2 + 22; - 2 - 22 i; - 2 + 22 i}

{- 2 - 22 i; - 2 + 22 i}

EAucune des propositions n'est exacte

ω_{n} \in U_{n}

pour tout

n \in N^{*}

CPour tout

n \in N^{*}

pair,

P = k = 1 \prod n (X - ω_{n}^{k})

appartient à

R [X]

DIl existe

k \in N

tel que

ω_{n}^{k}

soit racine de

X^{n} + 1

EAucune des propositions n'est exacte

k = 1 \sum n ω_{n}^{k} = \frac{1 - ω _{n}^{n}}{1 - ω _{n}}

(1 - ω_{n}^{k}) (1 - \overline{ω_{n}}^{k}) = 2 - 2 cos (\frac{k π}{n})

k = 1 \prod n ω_{n}^{k} = (- 1)^{n}

EAucune des propositions n'est exacte

\frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} + \frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} = 2

\frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} \times \frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} = 4

\frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} = \frac{i e ^{i \frac{π}{2 n}}}{sin ( \frac{π}{2 n} )}

EAucune des propositions n'est exacte

A $S_{n} ⩽ 2 n$
B $S_{n} = 2 n - \frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}} - \frac{2 ω _{n}}{1 - ω _{n}}$
C $S_{n} = k = 1 \sum n (1 - ω_{n}^{k}) \times k = 1 \sum n (1 - \overline{ω_{n}}^{k})$
D $S_{n + 1} = S_{n} + ∣1 - ω_{n}^{n + 1} ∣^{2}$
EAucune des propositions n'est exacte

(E_{1})

admet plusieurs solutions

x

solution de

(E_{1})

implique

x \in Z

x

solution de

(E_{1})

implique

2 x - 1 ⩽ x < 2 x

EAucune des propositions n'est exacte

x

solution de

(E_{2})

est équivalent à

x^{2} \in {0; 1; 2; 3; 4}

x

solution de

(E_{2})

implique

x ⩾ 0

EAucune des propositions n'est exacte

A $x$ solution de $(E_{n})$ implique $2 x - 1 < x^{n} ⩽ 2 x$
BSi $n$ est pair et $n ⩾ 4$ : $S_{n} = {0; 2^{\frac{1}{n}}; 3^{\frac{1}{n}}}$
CIl existe un entier $n ⩾ 4$ pair tel que $(E_{n})$ admette au moins une solution dans $] - \infty; 0 [$
DIl existe une suite $(x_{n})_{n}$ avec $x_{n} \in S_{n}$ telle que $n \to + \infty lim ∣ x_{n} ∣ = + \infty$
EAucune des propositions n'est exacte

S_{H}

est un espace vectoriel de dimension

2

CSi

y \in S_{H}

alors

x \to 0 lim y (x) = 0

y \in S_{H} ⟺ x y^{''} + 2 y^{'} = 0

EAucune des propositions n'est exacte

A $F (x) = 2 arccos (\frac{x}{2})$
B $F (x) = \frac{1}{2 1 - \frac{x ^{2}}{4}}$
C $F (x) = x arcsin (\frac{x}{2}) - 2 1 + \frac{x ^{2}}{4}$
D $F (x) = x arcsin (\frac{x}{2}) + 2 1 - \frac{x ^{2}}{4}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $y (x) = \frac{λ + 1}{x} + \frac{3}{8} x + o (x^{2})$
B $y (x) = \frac{λ + 2}{x} + λ + \frac{λ}{2} x + \frac{λ ^{2}}{4} x^{2} + o (x^{2})$
C $y (x) = \frac{λ + 2}{x} + \frac{1}{4} x + o (x^{2})$
D $y (x) = λ + x + \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})$
EAucune des propositions n'est exacte

BIl y a une infinité de solutions définies sur

] - 2; 2 [

CIl y a une unique solution définie sur

R

DToute solution

y

définie sur

] - 2; 2 [

vérifie

y^{'} (0) = \frac{1}{4}

EAucune des propositions n'est exacte

BLa série

n \sum ln (1 - u_{n})

converge si et seulement si la suite des sommes partielles

k = 1 \sum n ln (1 - u_{k})

est majorée

CLes séries

n \sum u_{n}

n \sum u_{n} (1 - u_{n})

sont de même nature

DSi

n \sum u_{n}

n \sum ln (1 + u_{n})

convergent alors

n = 0 \sum + \infty u_{n} = n = 0 \sum + \infty ln (1 + u_{n})

EAucune des propositions n'est exacte

A $n \to + \infty lim p_{n} (a) = + \infty$ car $\frac{p _{n + 1} ( a )}{p _{n} ( a )} > 1$ pour tout $n \in N$
B $(p_{n} (a))_{n}$ converge vers une limite $l (a) \in] 1; + \infty [$ car $(ln (p_{n} (a)))_{n}$ converge vers une limite $L (a) > 0$
C $(q_{n} (a))$ tend vers $0$
D $(q_{n} (a))$ tend vers une limite $m (a) > 0$
EAucune des propositions n'est exacte

A $p_{n} (a) \times q_{n} (a) = q_{n + 1} (a)$
B $n \to + \infty lim p_{n} (a) = \frac{1 + a}{1 - a}$
CPour tout $n ⩾ 3$ , $q_{n} (a)$ admet un développement limité à l'ordre $5$ lorsque $a$ tend vers $0$ qui s'écrit $q_{n} (a) = 1 - a - a^{2} + a^{3} - a^{4} + a^{5} + o (a^{5})$
DPour tout $n ⩾ 3$ , $q_{n} (a)$ admet un développement limité à l'ordre $5$ lorsque $a$ tend vers $0$ qui s'écrit $q_{n} (a) = 1 - a + a^{2} - a^{3} + a^{4} - a^{5} + o (a^{5})$
EAucune des propositions n'est exacte

A $1$ est racine de $P$ avec une multiplicité de $3$
B $P$ admet plusieurs racines réelles distinctes
CLe reste de la division euclidienne de $P$ par $X^{2} - 1$ est $R = 12 X - 12$
DLe reste de la division euclidienne de $P$ par $X^{2} - 1$ est $R = 2 X^{2} - 3 X + 1$
EAucune des propositions n'est exacte

APour tout $n \in N^{*}$ , $P \in E_{n} ⟺ P^{'} \in E_{n - 1}$
B $P \in E_{n}$ si et seulement si le reste $R$ de la division euclidienne de $P$ par $(X - 1)^{n + 1}$ appartient à $E_{n}$
C $P_{0} = k = 0 \sum n \frac{( X - 1 ) ^{k}}{k !}$ est l'unique élément de $E_{n}$
D $F_{n} = {P - P_{0} ∣ P \in E_{n}}$ est un espace vectoriel
EAucune des propositions n'est exacte

A $F \cup G$ est un espace vectoriel de dimension $3$
B $F \cap G$ est un espace vectoriel de base $((2; 0; 2))$
C $F + G = R^{3}$
DPour tout $(a; b; c) \in F ∖ {0}$ , $Vect ((a; b; c))$ et $G$ sont supplémentaires dans $R^{3}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $det (M_{t}) = 0 ⟺ t = - 4$
B $\forall t \in R$ , $rg (M_{t}) \in {2; 3}$
CSi $t = 0$ , $M_{t}$ est inversible
DIl existe un réel $t$ tel que $dim (Ker (M_{t})) = 2$
EAucune des propositions n'est exacte

Aadmet une solution unique ou une infinité de solutions suivant la valeur de $t$
Badmet des solutions lorsque $t = - 4$ si et seulement si $2 a + 2 b + c = 0$
Cadmet des solutions lorsque $t = 2$ si et seulement si $a = b = 1$ et $c = 2$
Dadmet un ensemble de solutions qui est toujours un espace vectoriel s'il est non vide
EAucune des propositions n'est exacte

H_{1} + (H_{2} \cap H_{3}) = E

dim (H_{1} \cap H_{2} \cap H_{3}) = d - 3

dim (H_{1} \cap H_{2} \cap H_{3}) = d - 2

EAucune des propositions n'est exacte

Ker (f) \cap Im (f) = {0}

f (x) = x ⟺ x \in Im (f)

DIl existe un réel

λ \neq = 0

tel que

λ f

soit une projection

EAucune des propositions n'est exacte

APour tout $k \in N^{*}$ , $A^{k} \in Vect (I_{n}, A, A^{2})$
B $A$ est inversible et $A^{- 1} = A^{2} + 3 A + I_{n}$
C $A^{4} = I_{n} + 4 N + 8 N^{2}$
DIl existe un unique $X = x_{1} ⋮ x_{n} \in M_{n, 1} (R)$ tel que $A X = X$
EAucune des propositions n'est exacte

A $(A - I_{3})^{2} = 0$
BIl existe un unique $k \in N^{*}$ tel que $A^{k} = P 100 a 10 0 b 1 P^{- 1}$ avec $a$ et $b$ non nuls
CSi $M = P (A - I_{3}) P^{- 1}$ alors $M^{3} = 0$
DPour tout $k \in N^{*}$ , $A^{k} = P 100 - k 10 k + 1 k 1 P^{- 1}$
EAucune des propositions n'est exacte

A $D (a, b, c) = D (c, b, a)$
B $D (a, b, c) = 0 ⟺ a = b$ ou $b = c$
C $D (a, b, c) = (a - c) (b - c) c$
D $D (a, b, c) = (a - b) (b - c) (c - a)$
EAucune des propositions n'est exacte

\forall (u, v) \in (R^{3})^{2}

∥ u + v ∥^{2} ⩾ \frac{1}{4} ∥ u ∥^{2} + \frac{1}{4} ∥ v ∥^{2}

\forall (u, v) \in (R^{3})^{2}

∥ u + v ∥ = ∥ u ∥ + ∥ v ∥ ⟺ (u ∣ v) = 0

DSi pour

u \in R^{3}

donné

(e_{1} + u, e_{2} + u, e_{3} + u)

est une base orthogonale alors elle est orthonormale

EAucune des propositions n'est exacte

p ((x; y; z)) - (x; y; z) \in Ker (p)

p ((1; 1; 1)) = (1; 2; 0)

Ker (p) = Vect ((2; - 1; 1))

DIl existe un unique

u \in R^{3}

tel que

p (u) = (0; 1; 1)

EAucune des propositions n'est exacte

APour tout $α \in] 0; π [$ , $p_{α}$ n'est pas une projection orthogonale
BPour tout $α \in] 0; π [$ , $p_{α} (e_{3}) = - sin (α) e_{1}$
CSi $α = \frac{π}{4}$ , $(p_{α} (x) ∣ x) = 0 ⟹ x \in Ker (p_{α})$
DSi $α \neq = \frac{π}{2}$ , l'ensemble $G = {x \in R^{3} ∣ ∥ p_{α} (x) ∥ = ∥ x ∥}$ contient un espace vectoriel de dimension $2$ autre que $F$
EAucune des propositions n'est exacte

BDans le cas sans remise, la probabilité que les trois premières boules tirées soient rouges n'est pas identique à la probabilité que les trois dernières boules tirées soient rouges

CDans le cas sans remise, la probabilité que sur les cinq boules tirées trois soient rouges est

\frac{( 3 5 )}{( 5 8 )}

DDans le cas du tirage de cinq boules avec remise, la probabilité que chaque boule tirée soit de couleur différente de la précédente est

\frac{3 ^{3} \times 5 ^{2}}{8 ^{5}}

EAucune des propositions n'est exacte

X

peut prendre toutes les valeurs de

[[- 5; 4]]

E (X) = \frac{35}{( 5 8 )}

EAucune des propositions n'est exacte

BQuel que soit

n ⩾ 2

P (A \cap B) = n \times (\frac{1}{2})^{n - 1}

CQuel que soit

n ⩾ 2

A

B

ne sont pas indépendants

\overline{A}

est « on obtient au moins une fois face »

EAucune des propositions n'est exacte

CUn habitant a neuf fois plus de chances d'être hospitalisé à cause du virus s'il n'est pas vacciné que s'il l'est

DUn habitant a dix fois plus de chances d'être hospitalisé à cause du virus s'il n'est pas vacciné que s'il l'est

EAucune des propositions n'est exacte

CLa note la plus probable du candidat est

E (X - 1)

P (X = 1) = \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{19}

EAucune des propositions n'est exacte

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Partie VIII

Partie IX - A