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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2023 (physique)

2023

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie 1 : Cinématique de la valve d'une roue de vélo
On s'intéresse à la trajectoire et aux grandeurs cinématiques (vitesse, accélération) de la valve d'une roue (centre $C$ , rayon $R$ ) de vélo dans le référentiel du laboratoire $R$ . Cette valve est assimilée à un point $M$ (Fig. 1). Le mouvement de $M$ est analysé dans $R$ ; on suppose qu'il s'effectue dans le plan $O x y$ , où $O$ est l'origine du repère cartésien dont la base est ${e_{x}, e_{y}}$ , $e_{x}$ et $e_{y}$ étant des vecteurs unitaires ; $x$ et $y$ désignent les coordonnées cartésiennes de $M$ . Le vecteur position de $M$ est donné par : $OM = R [ω t - sin (ω t)] e_{x} + R [1 - cos (ω t)] e_{y}$ , où $ω$ est une grandeur constante, $t$ désignant le temps.
Quelle est l'expression du vecteur vitesse $v$ de $M$ dans $R$ ?
A $v = R ω [1 - cos (ω t)] e_{x} + R ω sin (ω t) e_{y}$
Mécanique
Déduire la norme $v = ∥ v ∥$ du vecteur vitesse.
A $v = 2 R ω cos (ω t)$
Mécanique
Quelle est l'expression du vecteur accélération $a$ de $M$ dans $R$ ?
A $a = R ω^{2} cos (ω t) e_{x} + R ω^{2} sin (ω t) e_{y}$
Mécanique
Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?
ALa vitesse de $M$ ne s'annule jamais.
BL'accélération de $M$ ne s'annule jamais.
CLes composantes $a_{y}$ et $v_{x}$ s'annulent aux mêmes instants.
DLa vitesse de $M$ s'annule aux instants $t = n 2 π / ω$ , où $n$ est un entier naturel.
Mécanique
Quelle est la distance parcourue par le centre $C$ de la roue lorsque $t = 2 π / ω$ ?
A $π R$
B $2 π R$
C $2 R$
D $R$
Mécanique
On appelle rayon de courbure, $ρ (t)$ , à la trajectoire en un point $M$ à l'instant $t$ , le rayon d'un cercle tangent particulier appelé cercle osculateur. Ce cercle unique « épouse au mieux la courbe en $M$ » (aucune connaissance sur cette notion n'est nécessaire pour répondre à la question). On admet que l'expression du rayon de courbure est, ici : $ρ (t) = \frac{( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) ^{3/2}}{x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨}$ . L'espace étant orienté, cette grandeur est algébrique et peut donc prendre des valeurs positives ou négatives. Donner l'expression de $ρ (t)$ pour le mouvement de $M$ .
Mécanique
Partie 2 : Réglage d'un appareil photographique
Dans une version simplifiée, un appareil photographique est modélisé par une lentille (l'objectif) mince convergente $L$ , de vergence $V = 10 δ$ , à la distance de laquelle se trouve un écran (l'élément photosensible). Les distances sont algébriques, le sens positif étant celui de la lumière incidente. Dans tout l'exercice, on admet que les conditions de Gauss sont satisfaites.
À quelle distance de la lentille doit se trouver l'écran si on veut photographier des objets très éloignés ?
A $10 cm$
B $1 cm$
C $1 mm$
DOn ne peut rien dire a priori.
EAucune des propositions n'est exacte
Optique géométrique
Après avoir effectué la mise au point à l'infini, on souhaite photographier un objet $A_{o}$ , supposé ponctuel, situé sur l'axe optique à $4, 10 m$ de la lentille. Dans quel sens, et de quelle distance, faut-il déplacer l'écran afin de réaliser la mise au point ?
AIl faut déplacer l'écran de $2, 5 mm$ en le rapprochant de l'objectif.
BIl faut déplacer l'écran de $2, 5 mm$ en l'éloignant de l'objectif.
CIl faut ne pas déplacer l'écran.
DIl faut déplacer l'écran de $4 mm$ en l'éloignant de l'objectif.
Optique géométrique
La construction de l'appareil impose une distance maximale entre la lentille et l'écran de $10, 5 cm$ . À quelle distance minimale $d_{m}$ de la lentille doit se trouver $A_{o}$ pour que celle-ci en donne une image nette $A_{i}$ sur l'écran ?
A $d_{m} = 1 m$
Optique géométrique
Pour caractériser la profondeur de champ de cet appareil, on tolère que l'image sur l'écran ne soit pas ponctuelle, mais forme une tache de diamètre $D_{t}$ (Fig. 2). La tolérance recherchée ici s'obtient en considérant les objets $A_{o}$ et $A_{o}^{'}$ , situés sur l'axe optique, dont les images conjuguées, respectivement $A_{i}$ et $A_{i}^{'}$ , fixent la valeur de $D_{t}$ (Fig. 2). Sur cette figure, et parmi les propositions ci-dessous, $D_{o}$ désigne le diamètre de la lentille et $e$ la distance maximale à laquelle on peut éloigner l'écran au-delà du foyer image de la lentille. Quelle est, en fonction de $D_{o}$ , $D_{t}$ , $V$ et $e$ , l'expression de la distance $\overline{A_{i} A_{i}^{'}}$ ?
Optique géométrique
En déduire l'expression de $d_{m}^{'}$ .
A $d_{m}^{'} = \frac{D _{o} ( e + 1/ V )}{D _{t} + D _{o} V e}$
Optique géométrique
Comment varie $d_{m}^{'}$ si on modifie $D_{o}$ ?
A $d_{m}^{'}$ diminue si $D_{o}$ diminue.
Optique géométrique
Partie 3 : Décharge d'un condensateur dans un autre condensateur
On considère le montage de la figure 3 dans lequel un générateur est une source idéale de tension $E$ constante, avec $R = 1 k Ω$ et $C_{0} = 10 nF$ . Initialement les circuits sont ouverts (interrupteur $K$ en position milieu) et les condensateurs sont déchargés. À l'instant initial, on ferme $K$ en position 1. Dans tout l'exercice $t$ désigne le temps.
Quelle est l'équation différentielle décrivant l'évolution de la charge $q_{0} (t)$ portée par l'armature de $C_{0}$ en contact avec $K$ (cf. figure 3) ? Donner la solution de cette équation.
A $\frac{d q _{0}}{d t} - \frac{q _{0}}{R C _{0}} = - \frac{E}{R}$
Électricité (électrocinétique)
Le régime établi (dit aussi permanent) étant atteint, on bascule $K$ en position 2 à un nouvel instant pris comme nouvelle origine temporelle. Quelle est l'équation différentielle vérifiée par $q_{0}$ ?
A $\frac{d q _{0}}{d t} - \frac{q _{0}}{τ} = \frac{C _{0}}{C _{1}} \frac{E}{R}$ avec $τ = R \frac{C _{0} C _{1}}{C _{0} + C _{1}}$
Électricité (électrocinétique)
Quelle est alors, pour $t > 0$ , l'expression de $q_{0} (t)$ ?
A $q_{0} (t) = E \frac{C _{0}}{C _{0} + C _{1}} [exp (- \frac{t}{τ}) - 1]$ avec $τ = R \frac{C _{0} C _{1}}{C _{0} + C _{1}}$
Électricité (électrocinétique)
Exprimer la charge $q_{1} (t)$ portée par l'armature de $C_{1}$ en contact avec $K$ (cf. figure 3).
A $q_{1} (t) = E \frac{C _{0} C _{1}}{C _{0} + C _{1}} [1 - exp (- \frac{t}{τ})]$ avec $τ = R \frac{C _{0} C _{1}}{C _{0} + C _{1}}$
Électricité (électrocinétique)
Déterminer, au bout d'une durée suffisamment longue ( $t ≫ t_{b}$ ), le rapport $r_{E} = E_{1} / E_{0}$ entre l'énergie emmagasinée, $E_{1}$ , par le condensateur $C_{1}$ et l'énergie $E_{0}$ qu'avait emmagasiné le condensateur $C_{0}$ juste avant le basculement de $K$ en position 2.
Électricité (électrocinétique)
Le condensateur $C_{1}$ est en fait le condensateur équivalent à $n$ condensateurs de même capacité $C_{0}$ placés en parallèle. Que devient alors le rapport précédent ?
A $r_{E} = \frac{n}{2 ( 1 + n ) ^{2}}$
Électricité (électrocinétique)
Partie 4 : Transformations thermodynamiques du diazote
Une quantité de $n$ moles de diazote, gaz supposé parfait, subit, successivement, les transformations thermodynamiques suivantes : T1 : une transformation adiabatique réversible de l'état initial $E_{i}$ (température $T_{i}$ , pression $p_{i}$ ) à l'état $E^{'}$ (température $T^{'}$ , pression $p_{i} (1 + ε)$ ) ; T2 : une transformation isobare de l'état $E^{'}$ à l'état final $E_{f}$ (température $T_{f} = T_{i}$ , pression $p_{f}$ ). On note : $V_{i}$ , $V^{'}$ et $V_{f}$ les volumes occupés par le gaz dans les états $E_{i}$ , $E^{'}$ et $E_{f}$ respectivement ; $γ$ le rapport $C_{p} / C_{v}$ des capacités thermiques du gaz à pression constante ( $C_{p}$ ) et volume constant ( $C_{v}$ ) ; $R \approx 8 J.K^{- 1} . mol^{- 1}$ la constante des gaz parfaits.
Quelles sont, en fonction de $V_{i}$ , $ε$ et $γ$ , les expressions de $V^{'}$ et de $V_{f}$ ?
A $V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{- 1/ γ}$
Thermodynamique
Donner l'expression de $T^{'}$ en fonction de $T_{i}$ , $ε$ et $γ$ .
A $T^{'} = T_{i} (1 + ε)^{- 1/ γ}$
Thermodynamique
Déterminer le travail (algébrique) $W_{E_{i} E^{'}}$ reçu par le gaz au cours de la transformation T1.
A $W_{E_{i} E^{'}} = \frac{p _{i} V _{i}}{1 - γ} [(1 + ε)^{1 - 1/ γ} - 1]$
Thermodynamique
Déterminer le travail (algébrique) $W_{E^{'} E_{f}}$ reçu par le gaz au cours de la transformation T2.
A $W_{E^{'} E_{f}} = - p_{i} V_{i} [1 + (1 + ε)^{1 - 1/ γ}]$
Thermodynamique
Après avoir donné l'expression du bilan d'énergie interne $Δ U$ entre les états $E_{i}$ et $E_{f}$ , déterminer la chaleur, ou transfert thermique (algébrique), $Q$ , reçue par le gaz au cours de la série de transformations qui l'amène de $E_{i}$ à $E_{f}$ .
Thermodynamique
Que deviennent les expressions du travail total $W = W_{E_{i} E^{'}} + W_{E^{'} E_{f}}$ et de $Q$ si $ε ≪ 1$ ?
Thermodynamique
Partie 5 : Glissade d'un corpuscule sur un hémisphère
Un corpuscule matériel $A$ (masse $m$ ) glisse, sans frottement, sous l'action de son poids sur la surface d'un hémisphère de rayon $r$ . On suppose que le mouvement de $A$ s'effectue dans un plan vertical (Fig. 4). Le référentiel terrestre, lié à l'hémisphère dans lequel on étudie le mouvement de $A$ , est supposé galiléen. Ce dernier est doté d'un repère cartésien d'origine $O$ et de base $B = {e_{x}, e_{y}}$ , $e_{x}$ et $e_{y}$ étant deux vecteurs unitaires portés par les axes $O x$ et $O y$ , $x$ et $y$ désignant les coordonnées cartésiennes de $A$ . La position de $A$ est définie par l'angle polaire $φ (t)$ ; la base polaire ${e_{ρ}, e_{φ}}$ est représentée sur le schéma. À l'instant initial, $A$ est situé au sommet $S$ de l'hémisphère et possède un vecteur vitesse $v_{0}$ tangent à l'hémisphère. Dans tout l'exercice, on note $g$ le champ de pesanteur ; $g \approx 10 m.s^{- 2}$ est sa norme.
Quelles sont les équations du mouvement de $A$ ? Dans les expressions ci-dessous, $R_{n}$ désigne la composante normale de la force de réaction du support hémisphérique.
A ${- m r \overset{φ}{˙}^{2} = - m g sin φ + R_{n} r \overset{φ}{¨} = - g cos φ$
Mécanique
Quelles sont l'énergie cinétique, $E_{k}$ , et l'énergie potentielle, $E_{p}$ , de $A$ ? Pour le calcul de cette dernière, la référence est prise à $0$ en $y = 0$ .
Mécanique
Donner l'expression de la vitesse $v$ de $A$ en fonction de sa position. Dans les propositions ci-dessous, $v_{0}$ est la norme du vecteur vitesse initial ( $v_{0} = ∥ v_{0} ∥$ ).
Mécanique
Déduire de ce qui précède l'expression de la composante normale $R_{n}$ de la force de réaction.
A $R_{n} = m [g (3 sin φ - 2) - \frac{v _{0}^{2}}{r}]$
Mécanique
Quel est le sinus de l'angle $φ$ pour lequel $A$ quitte la piste hémisphérique si $v_{0} = 0$ . Dans la suite de l'exercice, on prendra $v_{0} = 0$ .
Mécanique
Une fois le contact rompu, $A$ évolue alors sans frottement dans le champ de pesanteur uniforme. Parmi les affirmations ci-dessous, identifier celles qui sont exactes.
ALa trajectoire de $A$ est rectiligne.
BLa vitesse de $A$ selon l'axe $O x$ est nulle.
CL'accélération de $A$ possède deux composantes cartésiennes non nulles.
DLa vitesse de $A$ lorsqu'il touche le sol est $2 g r$ .
Mécanique
Partie 6 : Électron accéléré et champ magnétostatique
Dans un canon de microscope électronique, un électron $A$ (masse $m_{e}$ , charge électrique $- e$ ) est émis, avec une vitesse initiale négligeable, le long d'un axe $O x$ , par une plaque métallique $P_{1}$ portée à un potentiel nul. Cet électron est accéléré, dans le vide, grâce à une grille métallique $P_{2}$ portée à un potentiel constant $V_{a} = 100 V$ (Fig. 5). Les plaques $P_{1}$ et $P_{2}$ sont habituellement appelées cathode et anode, respectivement.
Quelle est la vitesse $v$ de $A$ lorsqu'il atteint l'anode ?
A $v = (\frac{e V _{a}}{m _{e}})^{1/2}$
Magnétisme et induction
Calculer $v$ . On indique les valeurs approximatives des constantes fondamentales suivantes : $m_{e} \approx 9 \times 1 0^{- 31} kg$ et $e \approx 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ (charge élémentaire).
Magnétisme et induction
Quelle est la longueur d'onde de De Broglie, $λ_{D B}$ , d'un électron de vitesse $v$ ? Parmi les expressions proposées, $h \approx 6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ désigne la constante de Planck.
A $λ_{D B} = \frac{h}{( 2 e m _{e} V _{a} ) ^{1/2}}$
Compléments
Une fois la vitesse $v$ acquise, on s'arrange à la sortie (non représentée sur la figure) du canon pour que l'électron pénètre dans une région où règne seulement un champ magnétique $B$ , stationnaire et uniforme, dont la direction est perpendiculaire à la direction de la vitesse incidente de l'électron. Que dire quant à la trajectoire de l'électron dans cette région ?
AL'électron n'est pas dévié et suit donc une trajectoire rectiligne.
BLa trajectoire de l'électron est une parabole.
CLa trajectoire de l'électron est circulaire de rayon proportionnel à $B$ .
DLa trajectoire de l'électron est circulaire de rayon proportionnel à $V_{a}^{1/2} / B$ .
Magnétisme et induction
Lorsque l'électron quitte la région où règne le champ magnétique, que peut-on dire de son vecteur vitesse $v_{s}$ et de sa trajectoire (on négligera l'influence du poids) ?
ALe vecteur $v_{s}$ possède une norme égale à $6 \times 1 0^{6} m \cdot s^{- 1}$ .
Magnétisme et induction
On s'intéresse à l'angle $θ_{m}$ , dit de déflexion magnétique, que forme la direction de $v_{s}$ avec l'axe $O x$ lorsque $A$ sort de la région du champ magnétique. Cet angle est : $θ_{m} = (\frac{e}{2 m _{e} V _{a}})^{1/2} B L^{α}$ où $α$ est un nombre réel et $L$ une longueur ; précisément, $L$ est la longueur de la trajectoire de l'électron dans la région du champ magnétique. À l'aide d'une analyse dimensionnelle, déterminer $α$ .
Magnétisme et induction

Aperçu de l'épreuve

Partie 1 : Cinématique de la valve d'une roue de vélo

Partie 2 : Réglage d'un appareil photographique

Partie 3 : Décharge d'un condensateur dans un autre condensateur

Partie 4 : Transformations thermodynamiques du diazote

Partie 5 : Glissade d'un corpuscule sur un hémisphère

Partie 6 : Électron accéléré et champ magnétostatique