Aperçu de l'épreuve

Questions

Corrigés rédigés

100%

Chapitres couverts

École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2023

2023

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

$\land$ et $\lor$ désignent respectivement les connecteurs logiques « et » et « ou », et $\exists!$ signifie : « il existe un ou une unique... ». Pour une proposition $A (x)$ dépendant d'une variable $x$ , on note $\neg A (x)$ sa négation. Sélectionner la/les assertion(s) vraie(s) :
ALa négation de $(\exists x \in E, A (x)) \Rightarrow (\forall x \in E, A (x))$ est $(\exists x \in E, A (x)) \land (\exists x \in E, \neg A (x))$ .
Fonctions, limites et développements limités
Sélectionner la/les assertion(s) vraie(s) :
A $\forall x \in R, \forall y \in R, x + y^{2} = 1$
B $\forall x \in R, \exists y \in R, x + y^{2} = 1$
Fonctions, limites et développements limités
Soit une fonction $f : R \to R$ continue et considérons les assertions $P$ , $Q$ et $R$ suivantes : $P : (\forall x \in R, f (x) = 0), Q : (\exists x \in R, f (x) = 0) et R : (\forall x \in R, f (x) > 0 \lor \forall x \in R, f (x) < 0) .$ $\neg P$ désigne la négation de $P$ . Sélectionner la/les assertion(s) vraie(s) :
Fonctions, limites et développements limités
Sélectionner la/les assertion(s) vraie(s) :
AUne restriction au départ d'une fonction injective est une fonction injective.
BUne restriction au départ d'une fonction surjective est une fonction surjective.
CUn prolongement au départ d'une fonction injective est une fonction injective.
DUn prolongement au départ d'une fonction surjective est une fonction surjective.
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
Soient $f$ et $g$ deux applications de $N$ dans $N$ définies par : $f (n) = n$ pour tout $n \in N$ et $g (n) = \frac{n}{2}$ si $n$ est pair, $g (n) = 0$ sinon.
Algèbre linéaire et matrices
La fonction $f$ définie par $f (x) = Arcsin (\frac{2 x - 1}{x})$ est dérivable sur :
Fonctions, limites et développements limités
$a$ et $b$ étant deux réels, l'ensemble des solutions du système $⎩ ⎨ ⎧ a x + b y + z = 1 x + ab y + z = b x + b y + a z = 1$ est :
Algèbre linéaire et matrices
Soit $D = {θ \in R ∣ sin (θ) \neq = 0}$ : pour $θ \in D$ on note $cotan (θ) = \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}$ et $i$ est le nombre complexe tel que $i^{2} = - 1$ . Pour tout $θ \in D$ , l'ensemble $S$ des $z \in C$ tels que $\frac{i - z}{i + z} = e^{i θ}$ est :
Nombres complexes
Après calculs, nous trouvons :
A $sin (5 θ) = 32 sin^{5} (θ) - 20 sin^{3} (θ) + 5 sin (θ)$
B $sin (5 θ) = 16 sin^{5} (θ) - 20 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)$
Trigonométrie
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $2 x y^{'} - 3 y = x$ sur $[0; + \infty [$ est :
Fonctions, limites et développements limités
L'égalité suivante est vraie :
A $\int_{0}^{1} ln (1 + x^{2}) d x = ln (2) + \frac{π}{2}$
Intégration
Dans $R$ , l'équation $3^{x} + 4^{x} = 5^{x}$ admet :
AExactement trois solutions
BExactement deux solutions
CUne unique solution.
DAucune solution.
EAucune des propositions n'est exacte
Fonctions, limites et développements limités
En utilisant la dérivée première puis la dérivée seconde de $f$ définie par $f (x) = (1 + x)^{n}$ , nous obtenons :
A $k = 0 \sum n k (k n) = n (n + 1) \times 2^{n - 2}$
Polynômes
Nous rappelons que $j = 1 \sum n j^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ . L'égalité suivante est vraie :
Suites et séries numériques
Dans $R$ , l'équation $\frac{1}{∣ x ∣} + \frac{1}{∣ x + 1∣} = 1$ admet :
AAucune solution
B
Fonctions, limites et développements limités
L'ensemble $S$ des solutions dans $N^{2}$ du système ${PGCD (x, y) = 5 PPCM (x, y) = 60$ est composé de :
A6 couples solutions
B
Polynômes
Nous définissons les suites $(a_{n})_{n \in N}$ , $(b_{n})_{n \in N}$ et $(c_{n})_{n \in N}$ par : $⎩ ⎨ ⎧ a_{n + 1} = 3 a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = 3 b_{n} + c_{n}, c_{n + 1} = 3 c_{n}, a_{0} = 1 b_{0} = 2 c_{0} = 7$ Après calculs de la puissance d'une certaine matrice, nous obtenons pour tout $n \in N$ :
Algèbre linéaire et matrices
$\forall m \in R$ , $M = 11 m 2 m 1 122$ et on note $r g (M)$ le rang de $M$ .
Algèbre linéaire et matrices
La famille formée des vecteurs suivants de $R^{3}$ est libre :
A $x_{1} = (1; 0; 1)$ et $x_{2} = (1; 2; 2)$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $F = {(x; y; z; t) \in R^{4} ∣ x + y + 3 z = 0}$ . Un supplémentaire de $F$ dans $R^{4}$ est :
Algèbre linéaire et matrices
$K$ est $R$ ou $C$ . Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel non réduit à un singleton.
AIl existe un projecteur $p$ de $E$ tel que $Ker (p) = Im (p)$ .
BIl existe un projecteur $p$ non nul de $E$ tel que $2 p$ soit un projecteur.
Algèbre linéaire et matrices
Soit $H = {(x, y, z) \in R^{3}, x + y + z = 0}$ et $L = Vect ((1, 2, 3))$ deux sous-espaces vectoriels de $R^{3}$ . L'image de $(x, y, z) \in R^{3}$ par la symétrie $s$ par rapport à $H$ parallèlement à $L$ est :
Algèbre linéaire et matrices
Soit la matrice réelle $M = 1 - 1 m m m 11 - 1 - 1 - m 11 m - m m - m$ . $M$ est inversible si et seulement si :
Algèbre linéaire et matrices
Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ . Nous les extrayons successivement sans remise. Nous disons qu'il y a rencontre au $i$ -ème tirage si la $i$ -ème boule tirée porte le numéro $i$ .
ALa probabilité qu'il y ait rencontre au $i$ -ème tirage est $\frac{1}{n}$
BLa probabilité qu'il y ait rencontre au $i$ -ème tirage est $\frac{1}{n - 1}$
Probabilités et dénombrement
Dans le jeu de $52$ cartes de la question qui suit, il y a $13$ cartes pour chacune des « couleurs » qui sont carreau, cœur, pique, trèfle. Chaque couleur comporte l'as, les cartes de $2$ à $10$ , et les trois « figures » qui sont le valet, la dame et le roi. Nous tirons une carte dans un jeu de $52$ cartes. Nous appelons $D$ l'événement « la carte tirée est une dame ». L'assertion suivante est vraie :
ASoit $A$ l'événement : « la carte est une figure ». Les événements $A$ et $D$ sont indépendants.
BSoit $A$ l'événement : « la carte n'est pas un as ». Les événements $A$ et $D$ sont indépendants.
Probabilités et dénombrement
$E = R^{3}$ est muni de son produit scalaire canonique noté $(\cdot ∣ \cdot)$ et de sa norme associée notée $∥ \cdot ∥$ . Soit $u = (4; - 1; 2)$ : on pose $F = {v \in E, (u ∣ v) = 0}$ . Soit $w \in E$ vérifiant $(u ∣ w) = 2$ : on note $d (w, F)$ la distance de $w$ à $F$ .
Algèbre linéaire et matrices
Sélectionner la ou les égalité(s) vraie(s) :
A $n \to \infty lim k = 1 \sum n sin (\frac{k π}{n}) = 0$
Intégration
Après avoir trouvé $a, b, c, d$ tels que $\frac{1}{x ^{2} ( 1 + x ) ^{2}} = \frac{a}{1 + x} + \frac{b}{( 1 + x ) ^{2}} + \frac{c}{x} + \frac{d}{x ^{2}}$ et sachant que $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ , nous trouvons :
Suites et séries numériques
En $0$ , l'égalité est vraie :
A $ln (2 + sin (x)) = ln (2) + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} - \frac{x ^{3}}{24} + o (x^{3})$
Fonctions, limites et développements limités
Soit $n$ un entier naturel au moins égal à $2$ . On pose $a = 2 n^{3} + n^{2} + 2 n + 5$ et $b = n^{2} + 1$ .
Polynômes
Nous définissons la suite $(u_{n})_{n \in N}$ complexe par $u_{0} \in C$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{5} (3 u_{n} - 2 \overline{u_{n}})$ où $\overline{u_{n}}$ désigne le conjugué de $u_{n}$ . Pour $z$ un complexe, $Im (z)$ désigne sa partie imaginaire et $Re (z)$ sa partie réelle.
Nombres complexes
Sélectionner la ou les affirmation(s) vraie(s) :
ALa somme de tous les entiers pairs compris entre $1$ et $100$ est égale à : $10100$ .
BLa somme de tous les entiers pairs compris entre $1$ et $100$ est égale à : $5150$ .
CLa somme de tous les entiers impairs compris entre $1$ et $100$ est égale à : $5050$ .
DLa somme de tous les entiers impairs compris entre $1$ et $100$ est égale à : $10000$ .
Suites et séries numériques
Sélectionner la ou les affirmation(s) vraie(s) :
APour tout entier naturel $n$ non nul, $n + 1 - n < \frac{1}{2 n} < n - n - 1$
Suites et séries numériques
Pour $λ \in R$ , soient les fonctions $f_{λ} : x \mapsto \frac{x + λ}{x ^{2} + 1}$ de courbes $C_{λ}$ .
Fonctions, limites et développements limités
Soit la fonction $f$ de $C$ dans $C$ définie par $f (z) = \frac{z - 2}{z + i}$ pour $z \neq = i$ .
Nombres complexes
Après avoir d'une part étudié la fonction $x \mapsto arccos (x) - arcsin (2 x)$ et d'autre part simplifié l'expression de $cos (arcsin (y))$ , nous démontrons que l'équation $arccos (x) = arcsin (2 x)$ :
An'admet pas de solution.
Badmet une infinité de solutions.
Cadmet une unique solution : $\frac{1}{3}$ .
Trigonométrie

BLa négation de

(\exists x \in E, A (x)) \Rightarrow (\forall x \in E, A (x))

est

(\exists x \in E, A (x)) \lor (\exists x \in E, \neg A (x))

CLa négation de

\forall N \in N, \exists n \in N, n ⩽ N

est

\exists N \in N, \forall n \in N, n ⩾ N

DLa négation de

\exists! x \in R, x = x^{2}

est

\forall x \in R, x \neq = x^{2}

EAucune des propositions n'est exacte

\exists x \in R, \forall y \in R, x + y^{2} = 1

\exists x \in R, \exists y \in R, x + y^{2} = 1

EAucune des propositions n'est exacte

A $\neg R \Rightarrow Q$
B $\neg Q \Rightarrow \neg P$
C $\neg P \Rightarrow \neg R$
D $Q \Rightarrow R$
EAucune des propositions n'est exacte

A $f$ est bijective.
B $g$ est bijective.
C $f \circ g$ est bijective.
D $g \circ f$ est bijective.
EAucune des propositions n'est exacte

A $[1; + \infty [$
B $] 1; + \infty [$
C $] 1; 2 [\cup] 2; + \infty [$
D $[2; + \infty [$
EAucune des propositions n'est exacte

AUn singleton si $a = 1$ et $b = 1$
BInfini si $a \neq = 1$ et $b = 0$
CInfini si $a = - 2$ et $b = - 2$
DVide si $a \neq = - 2$ , $a \neq = 1$ et $b \neq = 0$
EAucune des propositions n'est exacte

A $S = {cotan (\frac{θ}{2}) i}$
B $S = {tan (\frac{θ}{2}) i}$
C $S = {tan (\frac{θ}{2})}$
D $S = {cotan (\frac{θ}{2})}$
EAucune des propositions n'est exacte

sin (5 θ) = 16 sin^{5} (θ) - 10 sin^{3} (θ) + 5 sin (θ)

sin (5 θ) = 16 sin^{5} (θ) - 20 sin^{3} (θ) + 5 sin (θ)

EAucune des propositions n'est exacte

A $S = {x \mapsto λ x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x ∣ λ \in R}$
Bl'ensemble vide
C $S = {x \mapsto x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x}$
D $S = {x \mapsto λ x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x ∣ λ \in R}$
EAucune des propositions n'est exacte

\int_{0}^{1} ln (1 + x^{2}) d x = ln (2) - 2

\int_{0}^{l n (2)} \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x = \frac{2}{3}

\int_{0}^{l n (2)} \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x = \frac{2 2}{3}

EAucune des propositions n'est exacte

k = 0 \sum n k^{2} (k n) = n \times 2^{n - 1}

k = 0 \sum n k (k n) = n \times 2^{n}

k = 0 \sum n k^{2} (k n) = n (n + 1) \times 2^{n - 2}

EAucune des propositions n'est exacte

A $1 ⩽ i, j ⩽ n \sum (i + j)^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ( 3 n + 5 )}{6}$
B $1 ⩽ i, j ⩽ n \sum (i + j)^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 7 n + 5 )}{6}$
C $1 ⩽ i, j ⩽ n \sum (i + j)^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ( 7 n + 5 )}{6}$
D $1 ⩽ i, j ⩽ n \sum (i + j)^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 7 n + 5 )}{3}$
EAucune des propositions n'est exacte

CExactement deux solutions

DExactement trois solutions

EAucune des propositions n'est exacte

C2 couples solutions

EAucune des propositions n'est exacte

A $⎩ ⎨ ⎧ a_{n} = 3^{n} + 2 n \times 3^{n - 1} + 7 \times 3^{n - 2} \times \frac{n ( n - 1 )}{2} b_{n} = 2 \times 3^{n} + 7 n \times 3^{n - 1} c_{n} = 7 \times 3^{n}$
B $⎩ ⎨ ⎧ a_{n} = 3^{n} + 2 n \times 3^{n - 1} + 7 \times 3^{n - 2} \times \frac{n ( n - 1 )}{2} b_{n} = 2 \times 3^{n} + 7 n \times 3^{n} c_{n} = 7 \times 3^{n}$
C $⎩ ⎨ ⎧ a_{n} = 3^{n} + 2 n \times 3^{n - 1} + 7 \times 3^{n - 2} \times \frac{n ( n - 1 )}{2} b_{n} = 2 \times 3^{n} + 7 n \times 3^{n - 1} c_{n} = 7 n \times 3^{n - 1}$
D $⎩ ⎨ ⎧ a_{n} = 3^{n} + 2 n \times 3^{n - 1} + 7 \times 3^{n - 2} \times \frac{n}{2} b_{n} = 2 \times 3^{n} + 7 n \times 3^{n - 1} c_{n} = 7 \times 3^{n}$
EAucune des propositions n'est exacte

AIl existe un seul nombre réel $m$ pour lequel $r g (M) = 2$
BIl existe exactement trois nombres réels $m$ pour lesquels $r g (M) = 2$ .
CPour tous les nombres réels $m$ , $r g (M) = 3$ .
DPour tous les nombres réels $m$ privés d'un seul nombre, $r g (M) = 3$ .
EAucune des propositions n'est exacte

x_{1} = (1; 0; 0)

x_{2} = (1; 1; 0)

x_{3} = (1; 1; 1)

x_{1} = (1; 2; 1)

x_{2} = (2; 1; - 1)

x_{3} = (1; - 1; - 2)

x_{1} = (1; - 1; 1)

x_{2} = (2; - 1; 3)

x_{3} = (- 1; 1; - 1)

EAucune des propositions n'est exacte

A $G = Vect ((0; 0; 0; 1))$
B $G = Vect ((0; 0; 1; 0))$
C $G = Vect ((0; 1; 0; 0))$
D $G = Vect ((0; 0; 1; 0), (0; 1; 0; 0))$
EAucune des propositions n'est exacte

p

q = i d_{E} - p

étant deux projecteurs de

E

Ker (q) = Im (p)

DIl existe un projecteur

p

différent de l'identité de

E

tel que

2 i d_{E} - p

soit un projecteur.

EAucune des propositions n'est exacte

A $s (x, y, z) = (\frac{5}{3} x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z, - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y - \frac{2}{3} z, - \frac{5}{6} x - \frac{1}{6} y + \frac{1}{6} z)$
B $s (x, y, z) = (\frac{5}{6} x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z, - \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y - \frac{2}{3} z, - \frac{5}{6} x - \frac{1}{6} y + \frac{1}{6} z)$
C $s (x, y, z) = (\frac{5}{6} x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z, - \frac{2}{6} x + \frac{1}{6} y - \frac{2}{6} z, - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{3} z)$
D $s (x, y, z) = (\frac{5}{6} x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z, \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} y - \frac{2}{3} z, \frac{5}{6} x - \frac{5}{6} y + \frac{1}{6} z)$
EAucune des propositions n'est exacte

A $m \in R ∖ {0; - 1}$
B $m \in R ∖ {0; - 1; 1 - 2; 1 + 2}$
C $m \in R ∖ {1 - 2; 1 + 2}$
D $m \in R ∖ {- 1; 1 + 2}$
EAucune des propositions n'est exacte

CLe nombre moyen de rencontres est 2

DLe nombre moyen de rencontres est 3

EAucune des propositions n'est exacte

CSoit

A

l'événement « la carte est la dame de pique ». Les événements

A

D

sont indépendants.

DSoit

A

l'événement : « la carte est un pique ». Les événements

A

D

sont indépendants.

EAucune des propositions n'est exacte

A $F$ est un espace vectoriel de dimension $1$
B $d (w, F)$ tend vers $+ \infty$ lorsque $∥ w ∥$ tend vers $+ \infty$
C $d (w, F) = \frac{2}{21}$
D $d (w, F) = \frac{2}{21}$
EAucune des propositions n'est exacte

n \to \infty lim k = 1 \sum n sin (\frac{k π}{n}) = - \infty

n \to \infty lim k = 1 \sum n sin (\frac{k π}{n}) = \frac{2}{π}

n \to \infty lim k = 1 \sum n sin (\frac{k π}{n}) = + \infty

EAucune des propositions n'est exacte

A $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{3}$
B $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{3} - 3$
C $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{π}{3} - 3$
D $n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = π^{2} - 3$
EAucune des propositions n'est exacte

ln (2 + sin (x)) = \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} - \frac{x ^{3}}{24} + o (x^{3})

ln (2 + sin (x)) = 2 ln (2) + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} - \frac{x ^{3}}{24} + o (x^{3})

ln (2 + sin (x)) = ln (2) + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} - \frac{x ^{3}}{12} + o (x^{3})

EAucune des propositions n'est exacte

A $PGCD (a, b) = PGCD (b, 3)$
B $PGCD (a, b) = PGCD (b, 2)$
CSi $n$ est pair alors $PGCD (a, b) = 1$ et si $n$ est impair alors $PGCD (a, b) = 2$
DSi $n$ est pair alors $PGCD (a, b) = 2$ et si $n$ est impair alors $PGCD (a, b) = 1$
EAucune des propositions n'est exacte

A $n \to + \infty lim u_{n} = Re (u_{0})$
B $n \to + \infty lim u_{n} = i Im (u_{0})$
C $n \to + \infty lim u_{n} = u_{0}$
D $(u_{n})$ n'admet pas de limite en $+ \infty$ .
EAucune des propositions n'est exacte

EAucune des propositions n'est exacte

BPour tout entier naturel

n

non nul,

n + 1 - n < \frac{1}{n} < n - n - 1

CNous en déduisons que pour

n = 10000

la partie entière de

k = 1 \sum n \frac{1}{2 k}

est

99

DNous en déduisons que pour

n = 10000

la partie entière de

k = 1 \sum n \frac{1}{k}

est

99

EAucune des propositions n'est exacte

AToutes les tangentes aux courbes $C_{λ}$ aux points d'abscisses $x = 1$ sont concourantes.
BToutes les tangentes aux courbes $C_{λ}$ aux points d'abscisses $x = 1$ sont parallèles.
CToutes les tangentes aux courbes $C_{λ}$ aux points d'abscisses $x = 1$ sont confondues.
DIl n'est pas possible de savoir si toutes les tangentes aux $C_{λ}$ aux points d'abscisses $x = 1$ sont concourantes, parallèles ou confondues.
EAucune des propositions n'est exacte

AL'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tel que $∣ f (z) ∣ = 1$ est un cercle.
BL'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tel que $∣ f (z) ∣ = 1$ est une droite.
CL'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tel que $f (z)$ soit imaginaire pur est un cercle.
DL'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tel que $f (z)$ soit imaginaire pur est une droite
EAucune des propositions n'est exacte

Dadmet une unique solution :

\frac{1}{5}

EAucune des propositions n'est exacte