ENAC EPL 2022 (physique)

On étudie un mobile $M_a$, assimilé à un point matériel (ou corpuscule), en mouvement uniforme dans le référentiel du laboratoire à la vitesse de $25\text{cm}\cdot {\text{s}}^{-1}$, sur une piste qui comporte quatre portions : un segment rectiligne $AB$ de longueur $1\text{m}$ ; un quart de cercle $BC$ de longueur $50\text{cm}$ ; un quart de cercle $CD$ de longueur $75\text{cm}$ ; un segment rectiligne $DE$ de longueur $2\text{m}$. La piste est parcourue par $M_a$ de $A$ vers $E$ (Fig. ci-après).

Un tremplin de saut en ski est constitué par l'association d'une portion rectiligne $L=AB=40\text{m}$ de piste inclinée d'un angle $\alpha =30^{\circ }$ par rapport à l'horizontale, suivie par une portion circulaire $\stackrel{⌢}{\mathrm{BO}}$ de centre $O^{\prime }$ et de rayon $b=20\text{m}$. La tangente en $O$ à la piste circulaire forme un angle $\beta =45^{\circ }$ avec l'horizontale (Fig. ci-après). Le point $C$ sur la piste circulaire est situé au-dessous et à la verticale de $O^{\prime }$. On munit le référentiel du laboratoire d'un repère $(O,{\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_z)$, ${\mathbf{e}}_z$ étant un vecteur unitaire orienté dans la direction et dans le sens de la verticale ascendante. On note $(x_A,z_A)$, $(x_B,z_B)$ et $(x_C,z_C)$ respectivement les coordonnées cartésiennes des points $A$, $B$ et $C$. On étudie le mouvement d'un skieur, initialement immobile en $A$, en l'assimilant à un corpuscule (ou « point matériel ») $S$ de masse $m=80\text{kg}$, de coordonnées cartésiennes $(x,z)$. On désigne par $\mathbf{g}=-g{\mathbf{e}}_z$ le vecteur champ de pesanteur et $g\approx 10\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$ son intensité. On néglige tout frottement.

Dans le circuit $LRC$ représenté sur la figure ci-après, les interrupteurs $K$ et $K^{\prime }$ sont initialement ouverts. On désigne respectivement par $u_R$, $u_L$ et $u_C$ les tensions aux bornes du résistor de résistance $R$, de la bobine d'inductance $L$ et du condensateur de capacité $C$. On note $i_R$, $i_L$ et $i_C$ les intensités du courant électrique qui traversent respectivement ces dipôles. Le générateur est idéal, de tension électromotrice (on dit aussi force électromotrice) $E$ stationnaire. Le condensateur est initialement chargé de sorte que $u_C(0)=E/3$.

Un générateur de résistance interne $r_i$ délivre des signaux sinusoïdaux $e(t)$, de pulsation $\omega$, et d'amplitude complexe ${\underline{\text{e}}}_m=e_m$, ici réelle (phase à l'origine nulle). Ce générateur alimente un circuit série constitué d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r_L$, d'un résistor de résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$. Le circuit est étudié en régime établi (dit aussi permanent). On note ${\underline{\text{u}}}_{L,m}$ et ${\underline{\text{u}}}_{C,m}$ les amplitudes complexes des tensions $u_L$ aux bornes de la bobine et $u_C$ aux bornes du condensateur respectivement. On désigne par ${\underline{\text{u}}}_{e,m}$ l'amplitude complexe de la tension $u_e$ aux bornes du générateur, et ${\underline{\text{i}}}_m$, celle de l'intensité $i$ du courant dans le circuit (Fig. ci-après).

Une lunette astronomique est utilisée pour observer les étoiles. On l'assimile à un système de deux lentilles minces convergentes ${\mathcal{L}}_1$ et ${\mathcal{L}}_2$ de centres respectifs $O_1$ et $O_2$, de même axe optique, et de distances focales images respectives $f_1^{\prime }>0$ et $f_2^{\prime }>0$. L'œil, supposé emmétrope (c'est-à-dire, sans défaut), est placé juste derrière l'oculaire (Fig. ci-après). On note $d_m=25\text{cm}$ la distance entre l'œil et son punctum proximum, c'est-à-dire, la distance minimale de vision nette. Les foyers principaux objets et images de ${\mathcal{L}}_1$ et ${\mathcal{L}}_2$ sont notés respectivement $F_{o,1}$, $F_{i,1}$ et $F_{o,2}$, $F_{i,2}$. Dans tout l'exercice, on admet que les conditions de Gauss sont satisfaites. On donne la relation de conjugaison de Descartes, celle de Newton et deux expressions du grandissement transversal $G_t$ pour une lentille mince de distance focale image $f_i$ : $$-\frac{1}{p_o}+\frac{1}{p_i}=\frac{1}{f_i}{\sigma }_o{\sigma }_i=-f_i^2{G}_t=\frac{p_i}{p_o}=-\frac{{\sigma }_i}{f_i}$$ où $p_o$ et $p_i$ sont respectivement les distances algébriques de l'objet et de son image au centre de la lentille. En outre, ${\sigma }_o$ et ${\sigma }_i$ sont les distances algébriques respectives de l'objet au foyer principal objet et de l'image au foyer principal image.

Deux gaz, supposés parfaits, sont enfermés dans deux compartiments (1) et (2) séparés par un piston mobile athermane (on dit aussi calorifugé) qui coulisse sans frottement. Le compartiment (1) est entièrement calorifugé tandis que le compartiment (2) peut échanger de l'énergie par chaleur (transfert thermique) avec le milieu extérieur, assimilé à un thermostat de température $T_0$, à travers une paroi diathermane (non calorifugée). Les deux compartiments contiennent chacun $n$ moles de gaz, et sont, dans l'état initial, à la température $T_0$. Le volume total des deux compartiments est $V_t=2V_0$, $V_0$ désignant les volumes, initialement égaux, de chacun des deux compartiments (Fig. ci-après). À un instant pris comme origine temporelle, le compartiment (1) reçoit de la chaleur par l'intermédiaire d'un résistor (résistance $r$) alimenté pendant une durée $\tau$, par un générateur qui délivre un courant d'intensité $i$ constante. L'état final est l'état d'équilibre thermodynamique du système qui succède à ce chauffage. On le caractérise par les variables d'état $p_k$, $V_k$ et $T_k$ qui représentent les pressions, volumes et températures des compartiments $(k)$, où $k=1$ ou $2$. On note $R$ la constante des gaz parfaits et $\gamma =C_{pm}/C_{vm}$, le rapport de la capacité thermique molaire à pression constante sur la capacité thermique molaire à volume constant, identique pour les gaz des deux compartiments.