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École Nationale de l'Aviation Civile · France

ENAC EPL 2022

2022

36 questions. Chaque partie est annotée : consultez l'indication en cas de blocage, ou révélez le corrigé rédigé une fois votre démarche engagée.

Partie I
Pour tout entier $n$ vérifiant $n ⩾ 2$ , on définit les suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ par : $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} et y_{n} = 1 + \frac{1}{1 !} + \dots + \frac{1}{n !} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} .$
On peut établir :
A $x_{n} = 2 + p = 2 \sum n \frac{( n - p )!}{p ! n ^{p}}$
Suites et séries numériques
Pour tout entier $n ⩾ 2$ et tout entier $p \in {2, 3, \dots, n}$ , on a l'inégalité :
A $\frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - p + 1 )}{p ! n ^{p}} ⩽ \frac{( n + 1 ) n \dots ( n + 1 - p + 1 )}{p ! ( n + 1 ) ^{p}}$
Suites et séries numériques
On peut ainsi en déduire que :
APour tout entier $n > 2$ , la suite $x_{n}$ est croissante.
BPour tout entier $n > 2$ , la suite $x_{n}$ est décroissante.
CPour tout entier $n > 2$ , la suite $x_{n}$ n'est ni croissante, ni décroissante.
Suites et séries numériques
On établit que :
APour tout entier $p ⩾ 1$ , on a $\frac{1}{p !} ⩽ \frac{1}{2 ^{p + 1}}$ .
Suites et séries numériques
Des résultats précédents, on déduit :
ALa suite $x_{n}$ diverge vers $+ \infty$ .
BLa suite $x_{n}$ n'admet pas de limite.
CLa suite $x_{n}$ converge vers $\overset{x}{ˉ} = 3$ .
Suites et séries numériques
Pour tout entier $k ⩾ 2$ et tout entier $n ⩾ k$ , on peut établir que :
A $x_{n} ⩾ 2 + \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n}) + \dots + \frac{1}{k} (1 - \frac{1}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n})$
Suites et séries numériques
On note $\overset{x}{ˉ}$ la limite de la suite $(x_{n})$ (question 5). Ainsi, on en déduit :
ALa suite $y_{n}$ diverge vers $+ \infty$ .
BLa suite $y_{n}$ converge vers $\overset{y}{ˉ} = \overset{x}{ˉ}$ .
Suites et séries numériques
Partie II
On désigne par $M_{2} (R)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On note $I_{2}$ la matrice identité de $M_{2} (R)$ , $O_{2}$ la matrice nulle de $M_{2} (R)$ , et pour tout $(i, j) \in {1, 2}^{2}$ , $M_{i, j}$ est la matrice de $M_{2} (R)$ dont tous les coefficients sont nuls sauf celui à l'intersection de la $i$ -ème ligne et de la $j$ -ème colonne qui vaut $1$ . L'ensemble $G L_{2} (R)$ désigne le sous-ensemble de $M_{2} (R)$ constitué des matrices inversibles. L'ensemble des applications linéaires de $R^{2}$ dans lui-même est noté $L (R^{2})$ . L'application identité de $R^{2}$ est notée $Id$ . On note $S = (10 0 - 1)$ et $R = (- \frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - \frac{1}{2})$ , puis $G_{1} = {I_{2}, S}$ et $G_{2} = {I_{2}, R, R^{2}}$ . Les ensembles $V (G_{1})$ et $V (G_{2})$ désignent respectivement les sous-espaces vectoriels engendrés par $G_{1}$ et $G_{2}$ . Soit $u$ un vecteur non nul fixé de $R^{2}$ , on pose $H = {φ \in L (R^{2}), φ (u) \in R \cdot u}$ . Soit $v$ un vecteur de $R^{2}$ indépendant de $u$ ; on appelle $p$ la projection de $R^{2}$ sur $R \cdot u$ parallèlement à $R \cdot v$ , et $q$ la projection de $R^{2}$ sur $R \cdot u$ parallèlement à $R \cdot (u - v)$ .
On peut montrer que :
A $(M_{2} (R), +, \cdot)$ est un espace vectoriel de dimension $2$ sur $R$ .
B $(M_{2} (R), +, \cdot)$ est un espace vectoriel de dimension $4$ sur $R$ .
Algèbre linéaire et matrices
Pour tous $i, j, k, l \in {1, 2}$ , on a :
A $M_{i, j} \times M_{k, l} = M_{k, j}$ si $i = j = k$ et $M_{i, j} \times M_{k, l} = O_{2}$ sinon
Algèbre linéaire et matrices
On note $S = (10 0 - 1)$ et $R = (- \frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - \frac{1}{2})$ . Par calcul, on obtient :
Algèbre linéaire et matrices
On pose $G_{1} = {I_{2}, S}$ et $G_{2} = {I_{2}, R, R^{2}}$ :
Algèbre linéaire et matrices
Les ensembles $V (G_{1})$ et $V (G_{2})$ désignent respectivement les sous-espaces vectoriels engendrés par $G_{1}$ et $G_{2}$ . On montre que :
Algèbre linéaire et matrices
On montre que :
A $V (G_{2})$ est de dimension $1$
B $V (G_{2})$ est de dimension $2$
C $V (G_{2})$ est de dimension $3$
Algèbre linéaire et matrices
Soit $u$ un vecteur non nul fixé de $R^{2}$ , on pose : $H = {φ \in L (R^{2}), φ (u) \in R \cdot u} .$ L'ensemble $H$ vérifie :
Algèbre linéaire et matrices
Soit $v$ un vecteur de $R^{2}$ indépendant de $u$ , on appelle $p$ la projection de $R^{2}$ sur $R \cdot u$ parallèlement à $R \cdot v$ , et $q$ la projection de $R^{2}$ sur $R \cdot u$ parallèlement à $R \cdot (u - v)$ . La matrice de $p$ dans la base $(u, v)$ est :
Algèbre linéaire et matrices
La matrice de $q$ dans la base $(u, v)$ est :
A $M_{(u, v)} (p) = (1010)$
Algèbre linéaire et matrices
Ainsi, on peut montrer que :
A $H$ est de dimension $1$
B $H$ est de dimension $2$
C $H$ est de dimension $3$
D $H$ est de dimension $4$
EAucune des propositions n'est exacte
Algèbre linéaire et matrices
Le déterminant $b - c 0 d - a 0 - c 0 a - d b$ vaut :
Algèbre linéaire et matrices
Partie III - A
On dispose de $100$ dés dont $25$ sont pipés ; pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre $6$ lors d'un lancer vaut $\frac{1}{2}$ .
On tire un dé au hasard parmi les $100$ dés, et en le lançant on obtient le chiffre $6$ . La probabilité que ce dé soit pipé vaut :
A $\frac{1}{4}$
B $\frac{1}{8}$
C $\frac{1}{3}$
Probabilités et dénombrement
On tire un dé au hasard parmi les $100$ dés, et en le lançant $n$ fois on obtient $n$ fois le chiffre $6$ . La probabilité que ce dé soit pipé vaut :
A $\frac{1}{2 ^{n + 2}}$
B $\frac{1}{1 + \frac{1}{3 ^{n - 1}}}$
Probabilités et dénombrement
Partie III - B
On définit le sous-ensemble $T \subset R^{2}$ par le système d'inéquations : $⎩ ⎨ ⎧ x > 0 y > 0 x + y - 1 < 0$ Soit $(X, Y)$ un couple de variables aléatoires uniformes sur $T$ . Pour $K \subset R^{2}$ , on définit la fonction indicatrice $1_{K}$ par : $1_{K} (x, y) = {10 si (x, y) \in K sinon,$ et pour $I \subset R$ , on définit la fonction $1_{I}$ par : $1_{I} (x) = {10 si x \in I sinon.$
La densité $p_{(X, Y)}$ du couple $(X, Y)$ est donnée par :
A $p_{(X, Y)} (x, y) = 1_{T} (x, y)$
Probabilités et dénombrement
La densité marginale $p_{X}$ de $X$ est donnée par :
A $p_{X} (x) = (1 - x) \times 1_{[0, 1]} (x)$
Probabilités et dénombrement
On en déduit que la densité marginale $p_{Y}$ de $Y$ vaut :
A $p_{Y} (y) = y \times 1_{[0, 1]} (y)$
Probabilités et dénombrement
Les variables aléatoires $X$ et $Y$ :
Asont indépendantes car $p_{(X, Y)} (x, y) = p_{X} (x) \times p_{Y} (y)$
Probabilités et dénombrement
Un calcul donne :
A $E (X Y) = \frac{1}{3}$
B $E (X Y) = \frac{1}{4}$
Probabilités et dénombrement
L'équation $x^{3} - x^{2} + x + 1 = 0$ :
An'admet aucune solution dans $Q$ ,
Badmet une seule solution dans $Q$ ,
Cadmet deux solutions dans $Q$ ,
Polynômes
Partie IV
Soit $(u_{n})$ la suite d'entiers définie pour $n \in N$ par $u_{0} = 15$ et $u_{n + 1} = 5 u_{n} - 6$ .
On peut établir que :
Atout diviseur commun de $u_{n}$ et de $u_{n + 1}$ divise aussi $5$ ,
Btout diviseur commun de $u_{n}$ et de $u_{n + 1}$ divise aussi $6$ ,
Polynômes
On obtient alors :
APour tout $n \in N$ , $2$ divise $u_{n}$ ,
BPour tout $n \in N$ , $3$ divise $u_{n}$ ,
Polynômes
Ainsi, $PGCD (u_{n}, u_{n + 1})$ est constant et vaut :
A $1$
B $2$
C $5$
D $6$
Polynômes
Les entiers relatifs $n$ tels que $n - 4$ divise $3 n - 17$ sont :
A $1, 3, 5, 7$
B $- 3, 3, 5, 11$
C $- 1, 3, 5, 9$
Polynômes
Partie V
Pour $x \in R$ , on pose $f (x) = x e^{x^{2}}$ .
La fonction $f$ réalise une bijection de :
A $R^{+}$ dans $R$
B $R$ dans $R^{+}$
C $R^{-}$ dans $R$
Fonctions, limites et développements limités
Un développement limité d'ordre $4$ de $f$ en $0$ est :
A $f (x) = x + x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} + \frac{x ^{4}}{6} + o (x^{4})$
Fonctions, limites et développements limités
Un développement limité d'ordre $4$ de $f^{- 1}$ en $0$ est :
A $f^{- 1} (x) = x + x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} + \frac{x ^{4}}{6} + o (x^{4})$
Fonctions, limites et développements limités
On vérifie que :
ALa décomposition de $P (X) = X^{4} - 6 X^{3} + 9 X^{2}$ en produit de facteurs irréductibles dans $C [X]$ est : $P (X) = X^{2} (X - 3)^{2}$
Polynômes
Partie VI
Soit $P$ un polynôme de $R [X]$ de degré $n$ ayant $n$ racines réelles distinctes.
On établit que :
AToutes les racines de $P^{'}$ sont réelles et distinctes,
BToutes les racines de $P^{'}$ sont réelles mais pas forcément distinctes,
CToutes les racines de $P^{'}$ sont distinctes, mais certaines peuvent être complexes conjuguées,
DLes racines de $P^{'}$ ne sont ni forcément distinctes, ni forcément réelles.
Polynômes
Le polynôme $P^{2} + 1$ :
An'admet que des racines réelles et distinctes
Bn'admet que des racines complexes non réelles et distinctes
Cn'admet que des racines distinctes, certaines étant réelles et d'autres complexes conjuguées,
Dpeut admettre des racines multiples.
EAucune des propositions n'est exacte
Polynômes

x_{n} = 2 + p = 2 \sum n \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - p + 1 )}{p ! n ^{p}}

x_{n} = 2 + p = 2 \sum n \frac{p !}{( n - p )! n ^{p}}

x_{n} = 2 + p = 2 \sum n \frac{n !}{p ( n - p )! n ^{p}}

EAucune des propositions n'est exacte

\frac{n !}{p ( n - p )! n ^{p}} ⩽ \frac{( n + 1 )!}{( p + 1 ) ( n + 1 - p + 1 )! ( n + 1 ) ^{p}}

\frac{p !}{( n - p )! n ^{p}} ⩾ \frac{( p + 1 )!}{( n + 1 - p + 1 )! ( n + 1 ) ^{p}}

\frac{n !}{p ( n - p )! n ^{p}} ⩾ \frac{( n + 1 )!}{( p + 1 ) ( n + 1 - p + 1 )! ( n + 1 ) ^{p}}

EAucune des propositions n'est exacte

DIl existe un entier

k > 2

tel que la suite

(x_{n})

soit décroissante pour

n ⩽ k

, puis croissante pour

n > k

EAucune des propositions n'est exacte

BPour tout entier

p ⩾ 1

, on a

\frac{1}{p !} ⩾ \frac{1}{2 ^{p - 1}}

CPour tout entier

n ⩾ 2

, on a

0 ⩽ x_{n} ⩽ y_{n} < 3

DPour tout entier

n ⩾ 2

, on a

0 ⩽ y_{n} ⩽ x_{n} < 3

EAucune des propositions n'est exacte

DLa suite

x_{n}

converge vers une limite

\overset{x}{ˉ} < 3

EAucune des propositions n'est exacte

x_{n} ⩽ 2 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \dots + \frac{1}{k !} (1 - \frac{1}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n})

x_{n} ⩾ 2 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \dots + \frac{1}{k !} (1 - \frac{1}{n}) \times \dots \times (1 - \frac{k - 1}{n})

x_{n} ⩾ 2 + \frac{1}{2 !} (1 - \frac{1}{n}) + \dots + \frac{1}{k !} (1 - \frac{k - 1}{n})

EAucune des propositions n'est exacte

CLa suite

y_{n}

converge vers

\overset{y}{ˉ} = 3

DLa suite

y_{n}

converge vers une limite

\overset{y}{ˉ} > \overset{x}{ˉ}

EAucune des propositions n'est exacte

CQuelles que soient les matrices

M

N

G L_{2} (R)

, la somme

M + N

appartient à

G L_{2} (R)

DQuelles que soient les matrices

M

N

G L_{2} (R)

, le produit

M \times N

appartient à

G L_{2} (R)

EAucune des propositions n'est exacte

M_{i, j} \times M_{k, l} = M_{k, l}

i = k = l

M_{i, j} \times M_{k, l} = O_{2}

sinon

M_{i, j} \times M_{k, l} = M_{j, l}

i = j = l

M_{i, j} \times M_{k, l} = O_{2}

sinon

M_{i, j} \times M_{k, l} = M_{k, l}

j = k = l

M_{i, j} \times M_{k, l} = O_{2}

sinon

EAucune des propositions n'est exacte

A $S^{2} = I_{2}$ et ainsi, pour tout $n ⩾ 2$ , $S^{n} = I_{2}$
BPour tout $n ⩾ 2$ , $S^{n} = ((- 1)^{n} 0 0 (- 1)^{n})$
C $R^{2} = R$ et ainsi, pour tout $n ⩾ 2$ , $R^{n} = R$
D $R^{4} = R$ et ainsi, pour tout $k \in Z$ et pour tout $l \in {0, 1, 2}$ , on a $R^{3 k + l} = R^{l}$
EAucune des propositions n'est exacte

AQuelles que soient les matrices $M$ et $N$ de $G_{1}$ , la somme $M + N$ appartient à $G_{1}$ .
BQuelles que soient les matrices $M$ et $N$ de $G_{2}$ , la somme $M + N$ appartient à $G_{2}$ .
CQuelles que soient les matrices $M$ et $N$ de $G_{1}$ , le produit $M \times N$ appartient à $G_{1}$ .
DQuelles que soient les matrices $M$ et $N$ de $G_{2}$ , le produit $M \times N$ appartient à $G_{2}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

A $V (G_{1})$ est de dimension $1$
B $V (G_{1})$ est de dimension $2$
C $V (G_{1})$ est de dimension $3$
D $V (G_{1})$ est de dimension $4$
EAucune des propositions n'est exacte

V (G_{2})

est de dimension

4

EAucune des propositions n'est exacte

A $H$ est un sous-espace vectoriel de $M_{2} (R)$
B $H$ est un sous-espace vectoriel de $L (R^{2})$
C $H$ est un sous-espace affine de $M_{2} (R)$
D $H$ est un sous-espace affine de $L (R^{2})$
EAucune des propositions n'est exacte

A $M_{(u, v)} (p) = (1010)$
B $M_{(u, v)} (p) = (1000)$
C $M_{(u, v)} (q) = (10 - 1 1)$
D $M_{(u, v)} (q) = (1 - 1 - 1 1)$
EAucune des propositions n'est exacte

M_{(u, v)} (p) = (1000)

M_{(u, v)} (q) = (10 - 1 1)

M_{(u, v)} (q) = (1 - 1 - 1 1)

EAucune des propositions n'est exacte

A $b$
B $b c (a - d)$
C $0$
D $2 b c (a - d)$
EAucune des propositions n'est exacte

EAucune des propositions n'est exacte

\frac{1}{3 ^{n}}

\frac{1}{4} \times \frac{1}{2 ^{n}} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{6 ^{n}}

EAucune des propositions n'est exacte

p_{(X, Y)} (x, y) = \frac{1}{2} \times 1_{T} (x, y)

p_{(X, Y)} (x, y) = x y \times 1_{T} (x, y)

p_{(X, Y)} (x, y) = (1 - x) y \times 1_{T} (x, y)

EAucune des propositions n'est exacte

p_{X} (x) = \frac{1}{2} (1 - x) \times 1_{[0, 1]} (x)

p_{X} (x) = 2 (1 - x) \times 1_{[0, 1]} (x)

p_{X} (x) = x \times 1_{[0, 1]} (x)

EAucune des propositions n'est exacte

p_{Y} (y) = (1 - y) \times 1_{[0, 1]} (y)

p_{Y} (y) = \frac{1}{2} (1 - y) \times 1_{[0, 1]} (y)

p_{Y} (y) = 2 (1 - y) \times 1_{[0, 1]} (y)

EAucune des propositions n'est exacte

Bsont indépendantes car pour tous

I \subset R

J \subset R

, on a :

P (X \in I, Y \in J) = P (X \in I) P (Y \in J)

Cne sont pas indépendantes car

T

n'est pas symétrique par rapport à ses coordonnées

x

y

Dne sont pas indépendantes car il existe

I \subset R

J \subset R

tels que :

P (X \in I, Y \in J) \neq = P (X \in I) P (Y \in J)

EAucune des propositions n'est exacte

E (X Y) = \frac{1}{9}

E (X Y) = \frac{1}{12}

EAucune des propositions n'est exacte

Dadmet trois solutions dans

Q

EAucune des propositions n'est exacte

Ctout diviseur commun de

u_{n}

et de

u_{n + 1}

divise aussi

15

u_{n}

u_{n + 1}

sont premiers entre eux.

EAucune des propositions n'est exacte

CPour tout

n \in N

5

divise

u_{n}

DPour tout

n \in N

6

divise

u_{n}

EAucune des propositions n'est exacte

f (x) = x - x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} - \frac{x ^{4}}{6} + o (x^{4})

f (x) = x + x^{3} + o (x^{4})

f (x) = x - x^{3} + o (x^{4})

EAucune des propositions n'est exacte

f^{- 1} (x) = x - x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} - \frac{x ^{4}}{6} + o (x^{4})

f^{- 1} (x) = x + x^{3} + o (x^{4})

f^{- 1} (x) = x - x^{3} + o (x^{4})

EAucune des propositions n'est exacte

BLa décomposition de

Q (X) = X^{4} - 6 X^{3} + 9 X^{2} + 9

en produit de facteurs irréductibles dans

C [X]

est :

Q (X) = (X^{2} - 3 X - 3 i) (X^{2} - 3 X + 3 i)

CLa décomposition de

Q (X) = X^{4} - 6 X^{3} + 9 X^{2} + 9

en produit de facteurs irréductibles dans

R [X]

est :

Q (X) = (X^{2} - (23 + 3) X - 33 + 6) (X^{2} + (23 - 3) X + 33 + 6)

DLa décomposition de

Q (X) = X^{4} - 6 X^{3} + 9 X^{2} + 9

en produit de facteurs irréductibles dans

R [X]

est :

Q (X) = (X^{2} - (23 + 3) X + 33 + 6) (X^{2} + (23 - 3) X - 33 + 6)

EAucune des propositions n'est exacte

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