ENAC EPL 2021 (physique)

On s'intéresse ici aux oscillations harmoniques d'un système simple constitué d'une masselotte, assimilée à un corpuscule $A$ (masse $m$), attachée à deux ressorts identiques (raideur $K$, longueur au repos ${\ell }_0$, masse négligeable) par une de leurs extrémités. L'autre extrémité de chaque ressort est fixée à un bâti. En outre, à l'équilibre, la longueur des ressorts est ${\ell }_e>{\ell }_0$ (Figure 1). On cherche la pulsation propre des oscillations d'un tel système dans différentes configurations. Pour toutes les situations considérées dans cet exercice, on néglige les frottements.

Un faisceau de lumière parallèle, modélisé par un cylindre de diamètre $D_i$, passe dans un système optique $\mathcal{S}$ constitué par trois lentilles minces, ${\mathcal{L}}_1$, ${\mathcal{L}}_2$ et ${\mathcal{L}}_3$, dans cet ordre. Le faisceau est parallèle à l'axe optique de $\mathcal{S}$. Les lentilles ont, respectivement, une distance focale image $f_1>0$, $f_2<0$ et $f_3>0$ ; leur centre optique respectif est noté $O_1$, $O_2$ et $O_3$. À la sortie de $\mathcal{S}$, le faisceau est toujours cylindrique, parallèle à l'axe optique, mais de diamètre $D_f$. On rappelle que, pour une lentille mince $\mathcal{L}$ de centre optique $O$ et de distance focale image $f$, plongée dans l'air (indice de réfraction $\approx 1$), qui forme l'image ponctuelle $A_i$ d'un objet ponctuel $A_o$, la formule de conjugaison de Descartes et le grandissement transversal $G_t$ associé sont : $\frac{1}{\overline{O{A}_i}}-\frac{1}{\overline{O{A}_o}}=\frac{1}{f}$ et $G_t=\frac{\overline{O{A}_i}}{\overline{O{A}_o}}$. Les distances sont algébriques, le sens positif étant celui de la lumière incidente. En outre, dans tout l'exercice, on admet que les conditions de Gauss sont satisfaites.

Un cadre métallique filiforme $ABCD$, de forme carrée (côté $a$), est abandonné sans vitesse initiale, par rapport au référentiel $\mathcal{R}$ du laboratoire supposé galiléen, dans le champ de pesanteur terrestre supposé uniforme (on note $\mathbf{g}$ le vecteur correspondant). On associe à $\mathcal{R}$ la base cartésienne orthonormée $\{O,{\mathbf{e}}_x,{\mathbf{e}}_y,{\mathbf{e}}_z\}$ où ${\mathbf{e}}_x$, ${\mathbf{e}}_y$ et ${\mathbf{e}}_z$ sont trois vecteurs unitaires portés, respectivement, par les axes $Ox$, $Oy$ et $Oz$. Le vecteur ${\mathbf{e}}_z$ désigne le sens de la verticale descendante. Au cours de sa chute, ce cadre pénètre soudainement, à un instant pris comme origine du temps, dans une région, supposée illimitée, de l'espace ($z>0$) où règne un champ magnétique ${\mathbf{B}}_a=-B_a{\mathbf{e}}_y$ ($B_a>0$) uniforme et stationnaire (Figure 3). Dans cet exercice, on désignera par $z_A$ la cote du point $A$. On considère en outre que l'inductance propre du cadre est négligeable.

La troposphère est la couche d'atmosphère comprise entre le sol et une altitude moyenne d'environ $10\text{km}$ sous les latitudes européennes. On s'intéresse au profil vertical de la température $T(z)$, $z$ étant la coordonnée verticale ascendante dont l'origine est située au niveau du sol. On assimile l'air troposphérique à un gaz parfait de masse molaire $M_a=29{\text{g.mol}}^{-1}$ et de masse volumique $\rho (z)$. On note $\gamma$ le rapport $C_p/C_v$ des capacités thermiques du gaz à pression et volume constants respectivement $C_p$ et $C_v$. En outre, $R\approx 8{\text{J.K}}^{-1}.{\text{mol}}^{-1}$ désigne la constante des gaz parfaits. Dans l'exercice, on négligera la variation avec $z$ du champ de pesanteur $g$ dont la valeur sera prise à $10{\text{m.s}}^{-2}$. La pression est notée $p$ ; sa valeur au niveau du sol est $10^5\text{Pa}$.

On considère un corpuscule $A$ (masse $m$) soumis à une force centrale attractive caractérisée par une énergie potentielle ${\mathcal{E}}_p(r)$, $r$ étant la distance de $A$ au centre attracteur $C$. Ce dernier est l'origine d'un référentiel $\mathcal{R}$ supposé galiléen. La force s'écrit : $\mathbf{F}=-\frac{K}{r^2}{\mathbf{e}}_r$ où ${\mathbf{e}}_r=\frac{\mathbf{CA}}{\Vert \mathbf{CA}\Vert }$ est le vecteur unitaire radial et $K$ est une constante positive.

Dans l'expérience de Zeilinger menée au laboratoire Laue-Langevin de Grenoble en 1988, on envoie des neutrons (masse $m_n\approx 1,7\times 10^{-27}\text{kg}$) sur une fente de largeur $\epsilon =90\mu \text{m}$. Le plan de la fente est perpendiculaire à la direction (axe $Oz$) des neutrons (cf. Figure 5). Les neutrons envoyés ont une vitesse $v_n=0,2{\text{km.s}}^{-1}$. On rappelle la valeur approximative de la constante de Planck, $h\approx 6,6\times 10^{-34}\text{SI}$. On néglige l'influence du champ de pesanteur terrestre.