ENAC EPL 2021

$i$ désigne le nombre complexe tel que $i^2=-1$. Nous considérons le nombre complexe $z=1-(\tan \alpha {)}^2+(2\tan \alpha )\times i$ où $\alpha \in \left]-\frac{\pi }{4};0\right[$. Nous démontrons alors que :

Si l'écriture décimale d'un entier naturel $n$ se termine par 5, alors celle de $n^2$ se termine par :

$i$ désigne le nombre complexe tel que $i^2=-1$. Les imaginaires purs sont les nombres complexes de la forme : $ai$, $a$ étant un nombre réel.

Soit la fonction $F$ définie sur l'ensemble des nombres réels positifs par $F(x)={\int }_0^x(\sin t{)}^{2}dt$. L'équation $F(x)=100$ admet exactement :

Un concours propose un QCM comportant 4 questions. Pour chacune des questions, 3 réponses sont proposées et une seule est exacte. Un candidat répond au hasard. La probabilité pour qu'il donne au moins une réponse exacte vaut :

Nous considérons un pentagone régulier. Soit $\Delta$ l'ensemble des droites passant par deux sommets. Nous appelons diagonale toute droite passant par deux sommets non consécutifs. Nous avons alors :

Nous considérons un ensemble de 6 plaques rectangulaires numérotées de 1 à 6. Chacune des deux faces d'une plaque est peinte d'une couleur choisie aléatoirement parmi les 4 couleurs suivantes : noir, rouge, vert et jaune. Nous disposons les 6 plaques sur la table (une seule face est donc apparente) : Nous pouvons retourner une ou plusieurs plaques. Nous considérons les énoncés suivants :
(i) *si une plaque est rouge d'un côté alors elle est verte de l'autre.*
(ii) *pour qu'une plaque soit noire d'un côté, il suffit qu'elle soit jaune de l'autre.*

Dans un repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$, la droite $(d)$ d'équation $\sqrt{3}x+y=2$,

L'intégrale ${\int }_0^{\pi }{t}^2\cos tdt$ est égale à :

Soit $\alpha$ une racine de l'équation $x^2-x-1=0$. Alors nous avons :

Un client achète une marchandise, alors :

$|\cos (\pi x)|$ désigne la valeur absolue de $\cos (\pi x)$. La fonction $f$ définie par $f(x)=e^{-2x}\times |\cos (\pi x)|$ :

Soit $J(x)={\int }_0^x(\sin t{)}^5\times \cos tdt$ alors $I={\int }_0^{\pi /4}J(x)dx$ est égale à :

Soit la suite définie par : $u_0=1$ et pour tout nombre entier $n$, $u_{n+1}=2u_n-n+1$. Cette suite est :

$A$ et $B$ sont deux événements qui vérifient : $p(B)=0,2;p_B(A)=0,3;p_{\overline{B}}(A)=0,4$. Alors, la probabilité $p(A\cup B)$ est égale à :

Nous considérons trois figures géométriques de couleurs distinctes : un carré, un cercle et un losange qui sont rouge, vert ou bleu. Chaque couleur est attribuée une fois et une seule fois. Sachant que :
i) Si le carré est rouge alors le cercle est vert. ii) Si le carré est vert alors le cercle est bleu. iii) Si le cercle n'est pas rouge alors le losange est vert. iv) Si le losange est bleu alors le carré est vert. Alors nous savons que :

Nous désignons par $Y$ la variable aléatoire égale au gain algébrique d'un joueur par rapport à la banque. La loi de probabilité de $Y$ est donnée dans le tableau ci-dessous :$$\begin{array}{ccccccc}\text{Valeurs }Y& -10& -7& 0& 3& 12& 16\\ \text{Probabiliteˊ}& 0,15& 0,25& 0,20& 0,20& 0,15& 0,05\end{array}$$Le jeu proposé est :

Soient $x$ un nombre réel et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Nous posons : $J_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left(x+\frac{2k\pi }{n}\right)$. Nous démontrons que $J_n(x)$ est :

Soient $x$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul. Nous posons : $K_n(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left(\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right)$. Nous démontrons que $[\sin (x/2)]\times K_n(x)$ est :

Nous considérons les deux équations différentielles suivantes, notées $(E_1)$ et $(E_2)$ : $(E_1):x{y}^{\prime }+(1-x)y=1$ définie sur l'intervalle $I_1=\left]-\infty ;0\right[$ $(E_2):x{y}^{\prime }+(1-x)y=1$ définie sur l'intervalle $I_2=\left]0;+\infty \right[$. Nous supposerons que : si pour tout réel $x$, $y(x)=0$ alors $(E_1)$ et $(E_2)$ ne sont pas vérifiées. Nous démontrons alors que :

$p$ et $q$ désignent deux entiers naturels non nuls ; $p!$ désigne factorielle $p$. Nous notons $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$. Nous calculons $B(p,q)$ et nous trouvons alors :

$n!$ désigne factorielle $n$ ; $15!$ admet :

Le reste de la division par 13 du nombre $100^{1000}$ est :

Dans l'ensemble des nombres complexes, nous définissons la relation d'équivalence $\mathcal{R}$ par : $z\mathcal{R}{z}^{\prime }$ si et seulement si $|z|=|z^{\prime }|$. La classe d'équivalence de chaque nombre complexe $z$ est :

$\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ désignent respectivement l'ensemble des nombres rationnels et l'ensemble des nombres réels. Nous avons alors :

Soient $a,b$ et $c$ trois nombres réels et $M$ la matrice définie par $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b+c& c+a& a+b\\ bc& ca& ab\end{array}\right)$.

$k$ et $k^{\prime }$ étant deux nombres entiers relatifs, l'ensemble $S$ des solutions réelles de l'équation $2^{4(\cos x{)}^2+1}+16\times 2^{4(\sin x{)}^2-3}=20$, est :

Dans l'intervalle $[0;\pi ]$, l'équation $\tan x+\tan (2x)+\tan (3x)+\tan (4x)=0$ admet :

La décomposition en éléments simples de la fraction $\frac{2x^5-8x^3+8x^2-4x+1}{x^3(x-1{)}^2}$ est :

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par : $f(x)=\frac{1}{x}\ln (1+(\sin x{)}^2)$ si $x$ n'est pas nul et $f(0)=0$.

Pour tout entier naturel non nul $n$, nous posons : $I_n={\int }_0^1\frac{1}{(1+t^n{)}^2}dt$. Nous démontrons que la suite $(I_n)$ :

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1,u_1=2$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=\frac{3}{2}{u}_{n+1}-\frac{1}{2}{u}_n$. Nous démontrons alors que :

Soit la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $x$ différent de 1, par : $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ et soit ${\mathcal{C}}_f$ sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormé. Nous démontrons que :

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}$ est égale à :

L'assertion est vraie :

$A$ et $B$ sont deux événements qui vérifient : $p(A)=\frac{3}{5};p_A(B)=\frac{1}{4};p_{\overline{A}}(\overline{B})=\frac{1}{5}$ et $p(B)$ est non nul. Alors, la probabilité $p(B)$ est égale à :