Magnétisme et induction

8 méthodes · 22 questions

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Le geste central des exercices de circuit mobile : coupler la mécanique (théorème du moment cinétique ou principe fondamental) à l'électrocinétique (courant induit, action de Laplace), puis reconnaître l'équation obtenue. Une équation du premier ordre $\overset{v}{˙} + \frac{v}{τ} = cste$ décrit une relaxation exponentielle (freinage, vitesse limite) ; une équation du second ordre $\overset{x}{¨} + ω^{2} x = 0$ décrit une oscillation. Corollaire QCM : une grandeur proportionnelle à une autre qui oscille à la pulsation $ω$ oscille à la MÊME pulsation.

Déclencheur : un mobile conducteur dont on cherche l'équation du mouvement, une période, une vitesse limite ou une constante de temps.

Instances :
(i) Pendule : le théorème du moment cinétique avec $M_{L, z} = - \frac{B _{0} ℓ ^{2}}{2} i$ et $i = \frac{ℓ ^{2} C B _{0}}{2} \ddot{θ}$ donne une inertie effective augmentée, $ω_{1}^{2} = \frac{g}{ℓ ( 1 + \frac{ℓ ^{2} B _{0}^{2} C}{4 m} )}$ ; comme $i \propto \ddot{θ}$ , le courant oscille à $ω_{2} = ω_{1}$ ;
(ii) Cadre en chute : le principe fondamental projeté donne $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g$ avec $τ = \frac{m R _{c}}{B _{a}^{2} a ^{2}}$ , de solution $\overset{z}{˙}_{A} (t) = (v_{0} - g τ) e^{- t / τ} + g τ$ ;
(iii) Cadre en rotation : $J_{z} \ddot{θ} = - (\frac{m g ℓ}{2} + I L ℓ B) sin θ$ , d'où pour les petits angles $T_{0} = 2 π (\frac{2 J _{z}}{m g ℓ + 2 I L ℓ B})^{1/2}$ .

Questions corrigées (3)

Question 28 · ENAC EPL 2025 (physique)

Que vaut la période

T_{0}

du mouvement du cadre au voisinage de sa position d'équilibre stable ?

Schéma du cadre rectangulaire OADC, en perspective et en vue de côté : le côté CO horizontal est l'axe de rotation Delta orienté par ez ; le cadre, de longueur L (côtés CO et AD) et de largeur l (côtés OA et DC), fait un angle theta entre OA et la verticale descendante ; ey est vertical ascendant, g est dirigé vers le bas, le champ magnétique B est horizontal selon ex, un courant I circule dans le cadre dans le sens O-A-D-C, et un sens de rotation positif est indiqué.

A $T_{0} = (\frac{π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + I L ℓ B})^{1/2}$
B $T_{0} = (\frac{4 π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + I L ℓ B})^{1/2}$
C $T_{0} = (\frac{8 π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + 2 I L ℓ B})^{1/2}$
D $T_{0} = (\frac{2 J _{z}}{m g ℓ + 2 I L ℓ B})^{1/2}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :C

Le théorème du moment cinétique donne

J_{z} \ddot{θ} = - (\frac{m g ℓ}{2} + I L ℓ B) sin θ

. Au voisinage de

θ = 0

\ddot{θ} + ω_{0}^{2} θ = 0

avec

ω_{0}^{2} = \frac{m g ℓ + 2 I L ℓ B}{2 J _{z}}

. D'où

T_{0} = \frac{2 π}{ω _{0}} = (\frac{8 π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + 2 I L ℓ B})^{1/2}

. Réponse C.

Question 15 · ENAC EPL 2021 (physique)

Établir, par rapport à

R

, l'équation différentielle du mouvement de

A

, le cadre étant supposé être en translation rectiligne, au cours de sa chute pour les instants compris entre l'instant initial et

t_{1}

Figure 3 : cadre métallique carré ABCD (côté a) pénétrant dans une région à champ magnétique constant et stationnaire. Le cadre, placé dans le plan vertical, tombe (g dirigé vers le bas) ; ses sommets sont D en haut à gauche, C en haut à droite, A en bas à gauche, B en bas à droite. L'axe x est horizontal, l'axe z vertical descendant, l'axe Oy sort de la figure vers le lecteur (symbole point cercle). La région z > 0 (grisée, sous l'axe horizontal) porte le champ B_a représenté par le symbole croix (entrant, dirigé selon -e_y). Une flèche courbe marquée + indique le sens trigonométrique d'orientation du cadre.

A $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = - g$ avec $τ = \frac{m R _{c}}{B _{a} a ^{2}}$
B $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g$ avec $τ = \frac{m R _{c}}{B _{a}^{2} a ^{2}}$
C $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = - g$ avec $τ = \frac{B _{a}^{2} a ^{2}}{m R _{c}}$
D $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g$ avec $τ = \frac{B _{a}^{2} a ^{2}}{m R _{c}}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B

La relation fondamentale de la dynamique projetée sur

e_{z}

(verticale descendante) donne

m \overset{z}{¨}_{A} = m g - \frac{a ^{2} B _{a}^{2}}{R _{c}} \overset{z}{˙}_{A}

, soit

\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g

avec

τ = \frac{m R _{c}}{B _{a}^{2} a ^{2}}

. Réponse B.

Question 17 · ENAC EPL 2021 (physique)

Déduire de la question précédente la loi d'évolution de la vitesse

\overset{z}{˙}_{A} (t)

sachant que la vitesse initiale est

\overset{z}{˙}_{A} (0) = v_{0}

A $\overset{z}{˙}_{A} (t) = (v_{0} - g τ) exp (- \frac{t}{τ}) + g τ$
B $\overset{z}{˙}_{A} (t) = v_{0} exp (- \frac{t}{τ}) + g τ$
C $\overset{z}{˙}_{A} (t) = (v_{0} + g τ) exp (- \frac{t}{τ}) + g τ$
D $\overset{z}{˙}_{A} (t) = v_{0} exp (- \frac{t}{τ})$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :A

L'équation

\overset{v}{˙} + v / τ = g

(avec

v = \overset{z}{˙}_{A}

) a pour solution générale

v (t) = g τ + C exp (- t / τ)

. La condition initiale

v (0) = v_{0}

donne

C = v_{0} - g τ

, d'où

\overset{z}{˙}_{A} (t) = (v_{0} - g τ) exp (- \frac{t}{τ}) + g τ

. Réponse A.