Probabilités et dénombrement

15 méthodes · 50 questions

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Signaux : une expérience en deux temps (urne, pièce ou atelier choisi, état au lancer précédent) et une probabilité demandée sur le résultat final.

1. Nommer le système complet $(A_{i})$ des issues de la première étape, de probabilités non nulles, souvent $(A, \overline{A})$ .
2. Chaque branche est un produit : $P (A_{i} \cap B) = P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)$ , avec $P_{A_{i}} (B) = 1 - P_{A_{i}} (\overline{B})$ si besoin.
3. Sommer : $P (B) = i \sum P (A_{i}) P_{A_{i}} (B)$ ; pour $A \cup B$ , découper en $B$ et $A \cap \overline{B}$ .

Intuition : une moyenne des $P_{A_{i}} (B)$ pondérée par le poids de chaque scénario.

Piège : $P_{A_{i}} (B)$ n'est pas $P (A_{i} \cap B)$ .

Questions corrigées (3)

Question 26 · ENAC EPL 2016

La probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 1 et soit défectueuse est :

A $p_{1} = \frac{3}{100}$
B $p_{1} = \frac{1}{60}$
CLa probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 2 et soit défectueuse est : $p_{2} = \frac{4}{100}$
D $p_{2} = \frac{1}{75}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

En notant

D

l'événement : « La pièce est défectueuse », la probabilité demandée est

p (A_{1} \cap D) = p (A_{1}) \times p_{A_{1}} (D) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{100} = \frac{1}{50}

, et de même,

p (A_{2} \cap D) = p (A_{2}) \times p_{A_{2}} (D) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{100} = \frac{4}{300} = \frac{1}{75}

. D est vrai et A, B et C sont faux.

Question 27 · ENAC EPL 2016

La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est :

A $p_{3} = \frac{7}{200} = 0, 035$
B $p_{3} = \frac{1}{30}$
CLa probabilité qu'une pièce provienne de l'atelier 1 sachant qu'elle est défectueuse est : $p_{4} = \frac{4}{7}$
D $p_{4} = \frac{5}{9}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B

D'après la formule des probabilités totales,

p (D) = p (A_{1} \cap D) + p (A_{2} \cap D) = \frac{1}{50} + \frac{1}{75} = \frac{3 + 2}{150} = \frac{1}{30}

. Donc, B est vrai et A est faux. Puis

p_{4} = p_{D} (A_{1}) = \frac{p ( A _{1} \cap D )}{p ( D )} = \frac{1/50}{1/30} = \frac{3}{5}

et donc C et D sont faux.

Question 15 · ENAC EPL 2017

AOn démontre que : $P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} + \frac{3}{5}$ .
BOn démontre que : $P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} + \frac{1}{5}$ .
COn démontre que : $P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} + \frac{1}{5}$ .
DOn démontre que : $P (F_{n}) = - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} + \frac{3}{5}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

Notons

C_{n}

l'événement « on joue avec la pièce

C

n

-ième lancer », de sorte que

P (C_{n}) = p_{n}

. La formule des probabilités totales donne

P (F_{n}) = P (C_{n}) P_{C_{n}} (F_{n}) + P (\overline{C_{n}}) P_{\overline{C_{n}}} (F_{n}) = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} (1 - p_{n}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} p_{n} .

Avec

p_{n} = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1}

(question précédente), on obtient

P (F_{n}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{15} - \frac{1}{6} \times \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n - 1} = \frac{3}{5} - \frac{1}{10} (\frac{1}{6})^{n} .

Vérification pour

n = 1

p_{1} = \frac{1}{2}

, donc

P (F_{1}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{12}

, et la formule donne bien

\frac{3}{5} - \frac{1}{60} = \frac{7}{12}

. Donc D) est vrai. A) est faux : pour

n = 1

, elle donne

\frac{3}{5} - \frac{1}{10} = \frac{1}{2} \neq = \frac{7}{12}

. B) et C) sont faux : elles donneraient une limite égale à

\frac{1}{5}

, alors que

P (F_{n})

tend vers

\frac{3}{5}