Suites et séries numériques

17 méthodes · 124 questions

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L'EPL ne pénalise pas une réponse fausse : la voie la plus rapide n'est donc pas de démontrer une proposition, mais de la faire tomber. Devant une affirmation valable pour toute suite, pour tout paramètre, ou présentée comme nécessaire et suffisante, cherche l'instance générique : si la proposition n'est vraie que sous une hypothèse supplémentaire que l'énoncé ne donne pas, elle est fausse, et un exemple d'une ligne suffit à le voir.

Déclencheur : une proposition quantifiée universellement, une condition annoncée nécessaire et suffisante, ou une nature de suite annoncée sans condition sur les paramètres.

Instances :
(i) Nature annoncée trop précise : géométrique au lieu d'arithmético-géométrique n'est vraie que si le terme constant est nul, donc fausse en général ;
(ii) Condition nécessaire présentée comme suffisante : calculer deux termes d'une instance bien choisie la met en défaut ;
(iii) Contre-exemples de service : $(- 1)^{n}$ , $- 2^{n}$ et $\frac{1}{n}$ règlent la plupart des assertions générales sur la monotonie ou la convergence.

Questions corrigées (3)

Question 7 · ENAC EPL 2019

Pour tout

(a, b) \in R^{2} ∖ {(0, 0)}

, si

c = 0

d \neq = 0

alors

(u_{n})_{n \in N}

est une suite :

Agéométrique.
Barithmético-géométrique.
Carithmétique.
Dconstante.
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B

Pour tout

n \in N

u_{n + 1} = \frac{a}{d} u_{n} + \frac{b}{d}

. Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique. Elle n'est pas, pour tout choix, géométrique, arithmétique ou constante : avec

a = b = d = 1

u_{0} = 0

u_{n} = n

n'est ni géométrique ni constante ; avec

a = 2

b = d = 1

u_{0} = 0

, les premiers termes

0

1

3

ne sont pas en progression arithmétique. B) est vrai et A), C) et D) sont faux.

Question 8 · ENAC EPL 2019

Pour toute la suite du sujet, nous nous plaçons dans le cas où

c \neq = 0

. Soit

f : x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}

la fonction associée à

(u_{n})_{n \in N}

. Si

a d - b c = 0

alors

(u_{n})_{n \in N}

est une suite :

Atelle que $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ .
Bnon définie.
Cconstante.
Dtelle que $n \to + \infty lim u_{n} = \frac{a}{c}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

Puisque

(c, d) \neq = (0, 0)

a d - b c = 0 ⟹ \exists λ \in R

tel que

(a, b) = λ (c, d)

. Pour

n \in N

, on a alors

u_{n + 1} = \frac{λ ( c u _{n} + d )}{c u _{n} + d} = λ

. Donc, la suite

(u_{n})_{n \in N}

est constante à partir du rang 1 et, en particulier, convergente de limite

λ

. Donc, A) est faux.

Si

u_{0} \neq = λ

, la suite

(u_{n})

n'est pas constante. C) est faux. Puisque

λ = \frac{a}{c}

n \to + \infty lim u_{n} = \frac{a}{c}

. D) est vrai pour une suite définie, ce que le sujet suppose implicitement : il faut

u_{0} \neq = - \frac{d}{c}

\frac{a}{c} \neq = - \frac{d}{c}

, c'est-à-dire

a + d \neq = 0

(sinon

u_{1}

u_{2}

n'existe pas, par exemple

u_{2}

pour

a = c = 1

b = d = - 1

). Enfin, si par exemple

u_{0}, a, b, c

d

sont des réels strictement positifs tels que

a d - b c = 0

, la suite

(u_{n})_{n \in N}

est définie. Donc, B) est faux.

Question 35 · ENAC EPL 2021

L'assertion est vraie :

ASi une suite numérique $(u_{n})$ est telle que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ est non nul et $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ⩾ 1$ alors cette suite est croissante.
BPour tout entier naturel $n ⩾ 3$ , nous avons : $n^{3} ⩾ 3^{n}$ .
CSoit une suite numérique $(v_{n})$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n + 1} - v_{n} > 0, 1$ . La suite $(v_{n})$ converge vers 0.
DSoient deux suites $(w_{n})$ et $(x_{n})$ définies pour tout entier naturel $n$ par : $w_{0} = 1, w_{n + 1} = w_{n} - 2$ et $x_{n} = e^{w_{n}}$ . La suite $(x_{n})$ converge vers 0.
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

Si pour tout

n \in N

u_{n} = - 2^{n}

, alors pour tout

n \in N

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = 2 ⩾ 1

. Mais la suite

(u_{n})_{n \in N}

est strictement décroissante. Donc, A) est faux. D'après un théorème de croissances comparées,

n \to + \infty lim \frac{n ^{3}}{3 ^{n}} = 0

. Donc, il existe un rang

n_{0}

tel que, pour

n ⩾ n_{0}

\frac{n ^{3}}{3 ^{n}} < 1

. B) est faux. Si

(v_{n})

converge vers

ℓ

et si pour tout

n \in N

v_{n + 1} - v_{n} > 0, 1

, quand

n

tend vers

+ \infty

, on obtient

0 = ℓ - ℓ ⩾ 0, 1

ce qui est faux. Donc, C) est faux. La suite

(w_{n})

est arithmétique de premier terme

w_{0} = 1

et de raison

r = - 2

. Donc, pour tout

n \in N

x_{n} = e^{w_{n}} = e^{- 2 n + 1}

. Par suite,

n \to + \infty lim x_{n} = 0

. D) est vrai.