Fonctions, limites et développements limités

Pour tout réel $x$, on pose$$k(x)-\left(x-\frac{x^2}{2}\right)=\frac{x^2}{2}-\ln (1+x^2)=l(x)$$et il s'agit d'étudier le signe de $l$. La fonction $l$ est paire et dérivable sur $\mathbb{R}$, avec$$l^{\prime }(x)=x-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{x^3-x}{1+x^2}=\frac{x(x-1)(x+1)}{1+x^2}$$Sur $[0,+\infty [$, $l^{\prime }(x)$ a le signe de $x-1$ : $l$ est décroissante sur $[0,1]$ et croissante sur $[1,+\infty [$. De plus, $l(0)=0$, $l(1)=\frac{1}{2}-\ln 2\approx 0,5-0,69=-0,19<0$, et $l(x)=x^2\left(\frac{1}{2}-\frac{\ln (1+x^2)}{x^2}\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, car $\frac{\ln (1+x^2)}{x^2}$ tend vers $0$ (croissances comparées). D'où le tableau de variations de $l$ sur $[0,+\infty [$ :$$\begin{array}{cccccc}x& 0& & 1& & +\infty \\ l^{\prime }(x)& 0& -& 0& +& \\ l(x)& 0& \searrow & \frac{1}{2}-\ln 2& \nearrow & +\infty \end{array}$$Sur $[0,1]$, $l$ est décroissante, donc $l(x)⩽l(0)=0$, et même $l(x)<0$ pour $x\in ]0,1]$. Sur $[1,+\infty [$, $l$ est continue et strictement croissante de $l(1)<0$ à $+\infty$ : elle s'annule en un unique réel $\beta \in ]1,+\infty [$ ($\beta \approx 1,585$), avec $l<0$ sur $[1,\beta [$ et $l>0$ sur $]\beta ,+\infty [$. Par parité, $l$ s'annule exactement en $-\beta$, $0$ et $\beta$ ; elle est négative sur $[-\beta ,\beta ]$ et strictement positive sur $]-\infty ,-\beta [\cup ]\beta ,+\infty [$.

Donc, pour tout réel $x$ de $[-\beta ,\beta ]$, $k(x)⩽x-\frac{x^2}{2}$ et en particulier, pour tout réel $x$ de $[0,1]$, $k(x)⩽x-\frac{x^2}{2}$. Donc, A est vrai.

Par contre, B, C et D sont faux : chacun de leurs intervalles contient $x=2>\beta$. Pour $x=2$, $k(2)=2-\ln 5$ et $2-\frac{2^2}{2}=0$ ; or $\ln 5<2$ car $5<e^2\approx 7,39$, donc $k(2)\approx 0,39>0$ et l'inégalité $k(x)⩽x-\frac{x^2}{2}$ est fausse en $x=2$.

Le plan $(NBR)$ a pour équation $x+y+z=15$ car les trois points non alignés $N$, $B$ et $R$ appartiennent au plan d'équation $x+y+z=15$. B) est vrai et le reste est faux.

$f_1(x)=\frac{1}{1+x}$. Donc, A), B) et D) sont faux. Montrons par récurrence que pour tout $n⩾1$, $f_n(x)=\frac{1+(n-1)x}{1+nx}$.
• C'est vrai pour $n=1$ (et même pour $n=0$).
• Soit $n⩾1$. Si $f_n(x)=\frac{1+(n-1)x}{1+nx}$, alors$$f_{n+1}(x)=\frac{1}{2-\frac{1+(n-1)x}{1+nx}}=\frac{1+nx}{2(1+nx)-(1+(n-1)x)}=\frac{1+nx}{1+(n+1)x}.$$Le résultat est démontré par récurrence. C) est vrai.