Polynômes

13 méthodes · 63 questions

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Avant d'engager un calcul formel ou une démonstration générale, on évalue la propriété pour les premiers entiers ( $n = 1, 2$ ) ou sur des polynômes très simples ( $X, X^{2} - 2$ ). Cela suffit souvent à éliminer 2 à 3 propositions fausses en quelques secondes.

Déclencheur : des propositions dépendant d'un indice $n$ ou affirmant une propriété universelle sur une famille de polynômes ou d'entiers.

Instances :
(i) Test du cas $n = 1$ sur un produit d'entiers consécutifs pour éliminer les diviseurs trop grands ;
(ii) Choix de polynômes simples comme contre-exemples pour invalider des propositions universelles sur les racines ;
(iii) Test des premiers indices d'une suite de polynômes définie par récurrence, par exemple les polynômes de Tchebychev ( $T_{0} (X) = 1$ , $T_{1} (X) = X$ , $T_{n + 2} = 2 X T_{n + 1} - T_{n}$ ), pour éliminer les mauvaises formules de degré ou de coefficient dominant.

Questions corrigées (3)

Question 2 · ENAC EPL 2015

Parmi les propositions suivantes, quelle(s) propriété(s) est (sont) vraie(s) ?

ASi $P$ est un polynôme à coefficients entiers et si $a \equiv b [n]$ alors $P (a) \equiv P (b) [n]$ .
BSi $a \times c \equiv b \times c [n]$ alors $a \equiv b [n]$ .
CSi $a \equiv b [n]$ et si un entier naturel $m$ divise $n$ alors $a \equiv b [m]$ .
DSi un nombre entier naturel $d$ divise $a$ et $b$ alors $\frac{a}{d} \equiv \frac{b}{d} [n]$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :A, C

A est vrai. B n'est pas vrai pour tout

c

. Par exemple,

1 \times 2 \equiv 3 \times 2 [4]

mais

1 \neq \equiv 3 [4]

(on peut effectivement simplifier par

c

quand

c

est premier à

n

). C est vrai. Si

b - a = k n

k \in Z

, et

n = k^{'} m

k^{'} \in Z

, alors

b - a = k k^{'} m

avec

k k^{'} \in Z

. D est évidemment faux en prenant par exemple

d = 1

a

b

non congrus modulo

n

Question 21 · ENAC EPL 2018

Le produit de quatre entiers consécutifs est nécessairement divisible par :

A16
B18
C20
D24
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24

n'est divisible ni par 16, ni par 18, ni par 20, donc A), B) et C) sont faux. Sur quatre entiers consécutifs

n, n + 1, n + 2, n + 3

, il y en a deux pairs, l'un des deux étant divisible par 4. Le produit est donc divisible par

2 \times 4 = 8

. De plus, l'un des trois premiers est divisible par 3. Puisque

8 \land 3 = 1

, le produit est divisible par

8 \times 3 = 24

. Donc, D) est vrai.

Question 1 · ENAC EPL 2019

APour tout $P$ ainsi défini, $P$ n'admet jamais de racine dans $Q$ .
BPour tout $P$ ainsi défini, $P$ admet toujours au moins une racine dans $Q$ .
CSi le rationnel $\frac{p}{q}$ , avec $p \in Z, q \in Z^{*}$ et $pgcd (p, q) = 1$ , est racine de $P$ alors $p$ divise $a_{0}$ et $q$ divise $a_{n}$ .
DSi le rationnel $\frac{p}{q}$ , avec $p \in Z, q \in Z^{*}$ et $pgcd (p, q) = 1$ , est racine de $P$ alors $p$ divise $a_{n}$ et $q$ divise $a_{0}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :C

Le polynôme

P = X

est dans

Z [X]

et admet le rationnel 0 pour racine. Donc, A) est faux. Le polynôme

P = X^{2} - 2

est dans

Z [X]

et admet pour racines les nombres irrationnels

2

- 2

. Donc, B) est faux.

Montrons que C) est vrai, sans hypothèse supplémentaire :

P (\frac{p}{q}) = 0 ⟹ a_{n} \frac{p ^{n}}{q ^{n}} + \dots + a_{1} \frac{p}{q} + a_{0} = 0

⟹ a_{n} p^{n} + a_{n - 1} p^{n - 1} q + \dots + a_{1} p q^{n - 1} + a_{0} q^{n} = 0 (en multipliant les deux membres par q^{n})

⟹ a_{n} p^{n} = q (- a_{n - 1} p^{n - 1} - \dots - a_{1} p q^{n - 2} - a_{0} q^{n - 1}) .

Ainsi,

q

divise

a_{n} p^{n}

q \land p^{n} = 1

. D'après le théorème de Gauss,

q

divise

a_{n}

. De même,

p

divise

a_{0}

(en écrivant

a_{0} q^{n} = p (- a_{n} p^{n - 1} - \dots - a_{1} q^{n - 1})

). Ces divisibilités valent aussi dans les cas limites : si

p = 0

, alors

a_{0} = P (0) = 0

0

divise

0

; si

a_{n} = 0

q

divise

0

. Donc, C) est vrai. D) est faux :

P = 2 X - 1

admet

\frac{1}{2}

pour racine, mais

q = 2

ne divise pas

a_{0} = - 1