Trigonométrie

7 méthodes · 26 questions

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Signaux : $cos (n θ)$ ou $sin (n θ)$ à écrire en puissances de $cos θ$ ou $sin θ$ , un polynôme de Tchebychev, un $sin^{3}$ à linéariser.

1. Écrire $cos (n θ) + i sin (n θ) = (c + i s)^{n}$ , avec $c = cos θ$ , $s = sin θ$ .
2. Développer par le binôme, garder la partie réelle (indices pairs) ou imaginaire (indices impairs).
3. Remplacer $s^{2}$ par $1 - c^{2}$ (ou l'inverse).
4. Contrôler en $θ = 0$ ou $θ = \frac{π}{2}$ .

Intuition : multiplier l'angle par $n$ , c'est élever $e^{i θ}$ à la puissance $n$ .

Piège : la partie réelle porte $(2 p n)$ , pas $(p n)$ .

Questions corrigées (3)

Question 33 · ENAC EPL 2007

On a pour tout entier

n

strictement positif

A $P_{n + 1} + P_{n - 1} = X P_{n}$
B $P_{n + 1} - P_{n - 1} = 2 X P_{n}$
C $P_{n} = 0 ⩽ 2 p ⩽ n \sum (- 1)^{p} (p n) X^{n - 2 p} (1 - X^{2})^{p}$
D $P_{n} = 0 ⩽ 2 p ⩽ n \sum (2 p n) X^{n - 2 p} (X^{2} - 1)^{p}$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

Pour tout réel

θ

cos ((n + 1) θ) + cos ((n - 1) θ) = 2 cos θ cos (n θ)

, donc

P_{n + 1} + P_{n - 1}

2 X P_{n}

coïncident sur

[- 1, 1]

, ensemble infini :

P_{n + 1} + P_{n - 1} = 2 X P_{n}

. A) et B) sont fausses. Par la formule de Moivre,

cos (n θ) = Re ((cos θ + i sin θ)^{n}) = 0 ⩽ 2 p ⩽ n \sum (2 p n) cos^{n - 2 p} θ (i sin θ)^{2 p}

, et

(i sin θ)^{2 p} = (- 1)^{p} (1 - cos^{2} θ)^{p} = (cos^{2} θ - 1)^{p}

. On en tire

P_{n} = 0 ⩽ 2 p ⩽ n \sum (2 p n) X^{n - 2 p} (X^{2} - 1)^{p}

: D) est vraie. C) utilise

(p n)

au lieu de

(2 p n)

: elle est fausse (pour

n = 2

, elle donne

X^{2} - 2 (1 - X^{2}) = 3 X^{2} - 2 \neq = 2 X^{2} - 1

Question 1 · ENAC EPL 2008

Dans les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

A $\forall θ \in R, cos 5 θ = 16 cos^{5} θ + 5 cos θ$ .
B $\forall θ \in R, cos 5 θ = 16 cos^{5} θ - 20 cos^{3} θ + 5 cos θ$ .
C $cos \frac{π}{10} = \frac{5 + 5}{8}$ .
D $cos \frac{π}{10} = \frac{5 - 5}{8}$ car $cos \frac{π}{10} ⩽ cos \frac{π}{3}$ .
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :B, C

A) est fausse : en

θ = 0

elle donne

1 = 21

.
B) La formule de Moivre donne

cos 5 θ = Re ((cos θ + i sin θ)^{5}) = c^{5} - 10 c^{3} s^{2} + 5 c s^{4}

avec

c = cos θ

s = sin θ

. En remplaçant

s^{2}

par

1 - c^{2}

c^{5} - 10 c^{3} (1 - c^{2}) + 5 c (1 - c^{2})^{2} = 16 c^{5} - 20 c^{3} + 5 c

. B) est vraie.
C) Pour

θ = π /10

cos 5 θ = 0

c = cos (π /10) \neq = 0

, donc

16 c^{4} - 20 c^{2} + 5 = 0

, soit

c^{2} = \frac{5 \pm 5}{8}

. Comme

π /10 < π /6

c > cos (π /6) = \frac{3}{2}

, donc

c^{2} > \frac{3}{4}

, ce qui exclut

\frac{5 - 5}{8} \approx 0, 35

. Ainsi

c = \frac{5 + 5}{8}

: C) est vraie.
D) est fausse : la valeur est la mauvaise racine, et la justification aussi est fausse (

π /10 < π /3

donne

cos (π /10) > cos (π /3)

Question 9 · ENAC EPL 2023

Après calculs, nous trouvons :

A $sin (5 θ) = 32 sin^{5} (θ) - 20 sin^{3} (θ) + 5 sin (θ)$
B $sin (5 θ) = 16 sin^{5} (θ) - 20 sin^{3} (θ) + 3 sin (θ)$
C $sin (5 θ) = 16 sin^{5} (θ) - 10 sin^{3} (θ) + 5 sin (θ)$
D $sin (5 θ) = 16 sin^{5} (θ) - 20 sin^{3} (θ) + 5 sin (θ)$
EAucune des propositions n'est exacte

Corrigé rédigé

Réponse :D

Par la formule de Moivre,

sin (5 θ) = Im ((c + i s)^{5}) = 5 c^{4} s - 10 c^{2} s^{3} + s^{5}

avec

c = cos θ

s = sin θ

. En remplaçant

c^{2} = 1 - s^{2}

sin (5 θ) = 5 (1 - s^{2})^{2} s - 10 (1 - s^{2}) s^{3} + s^{5} = 16 s^{5} - 20 s^{3} + 5 s .

D) est vrai. Contrôle rapide pour

θ = \frac{π}{2}

sin \frac{5 π}{2} = 1

16 - 20 + 5 = 1

, alors que A), B), C) donnent

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- 1

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